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4.5 利用三角形全等测距离
第四章 三角形
七年级数学下册同步（北师大版）
1．能说出利用三角形全等测距离的道理.
2．能在具体情境中构造全等三角形解决实际问题．
学习目标
1.证明两个三角形全等的方法有哪些？
（1）“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等.
（2）“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个
三角形全等.
（3）“AAS”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
（4）“SAS”：两边及其夹角分别相等的两个
三角形全等.
复习引入
2.全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等.
复习引入
讲授新课
一位经历过战争的老人讲
述过这样一个故事：在抗日战
争期间，我军阵地与敌军碉堡
隔河相望.为了炸掉这个碉堡，
需要知道碉堡与我军阵地的距
离。在不能过河测量又没有任
何测量工具的情况下，我八路
军一位战士想出了一个办法，
为成功炸毁碉堡立了一功。
这位聪明的八路军战士的方法如下：
步测距离
碉堡距离
从战士的作法中你能发现哪些相等的量？
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。
∴BC= DC（ ）
A
C
B
D
？
理由：在△ACB与△ACD中，
∠BAC=∠DAC
AC=AC（公共边）
∠ACB=∠ACD=90°
∴△ACB≌△ACD（ ）
全等三角形的对应边相等
步测距离
碉堡距离
如何求不可直接测量的距离？
理论依据：全等三角形的性质
方法：构造全等三角形
ASA
因此：士兵与岸上这一点的距离，就是他与碉堡的距离。
想一想：如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？
典例精析
连接AC并延长到D，使AC=CD，
C
D
E
·
·
·
B
A
·
·
连接BC并延长到E，使CE=CB，
连接DE并测量出它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离.
延长全等法
方法点播
先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，
试一试
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
B
试一试
2.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
A.AO=CO
B.BO=DO
C.AC=BD
D.AO=CO且BO=DO
O
D
C
B
A
D
3.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离.
在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接
AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，
使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得
CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定
△ABO≌△CDO的理由是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
D
D
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
C
5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
1.利用三角形全等测距离：
方法：构造全等三角形
理论依据：全等三角形的性质
2.方法：延长全等法构造全等三角形；
课堂小结
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4.5 利用三角形全等测距离
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.能利用三角形全等解决测量距离的实际问题,进一步体会数学与实际问题的联系;
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
【过程与方法】
经历探究用三角形全等测距离的过程,提高运用所学的数学知识解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过三角形全等测距离的教学引导学生从现实的生活经历与体验出发,激发学生的学习兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能应用所学的知识设计可行的方案来测量距离,能运用有关知识进行说明.
【教学难点】
用所学的知识设计可行的测量方案.
◇教学过程◇
一、情境导入
在一次战役中,为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡,需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离.由于没有任何测量工具,我军战士为此绞尽脑汁,这时一位聪明的战士想出了一个办法,成功地炸毁了碉堡.
你知道聪明的战士用的是什么方法吗 你能解释其中的原理吗
二、合作探究
探究点 利用三角形全等测距离
典例1 在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望,为了炸掉敌军的碉堡,要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,一名战士想出了这样一个办法:他面向碉堡站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部,然后,他转身向后,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己这岸的某一点上,接着,他用步测的办法测量出了自己与该点的距离,这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗 请画图,并结合图形说明理由.
[解析] 有道理.图形及理由如下:
如图所示,AB为战士、CD为碉堡,AC为过帽檐、碉堡底部的视线.
由题意知,∠EAB=∠CAB,
在△EAB和△CAB中,
所以△EAB≌△CAB(ASA),
所以BE=BC,
故这名战士的方法有道理.
利用三角形全等测距离,就要构造全等三角形,构造全等三角形就要根据三角形全等的四种判定方法,来考虑需要测量而又不能测量的量,再利用全等三角形的性质,测量与问题中所求量的对应的量(且能够测量),即等于问题中要测量的量.
典例2 小强为了测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P,如图所示.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测得楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米.小强计算出了楼高,楼高AB是多少米
[解析] 因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠PBA=90°,所以∠PCD=∠APB=54°.
在△CPD和△PAB中,
所以△CPD≌△PAB(ASA),所以PD=AB.
因为DB=36,PB=10,
所以AB=36-10=26.
答:楼高AB是26米.
变式训练 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两条平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.
[解析] 因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO.
因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°,
所以∠ABO=90°,即OB⊥AB.
因为相邻两条平行线间的距离相等,所以OD=OB,
在△ABO与△CDO中,
所以△ABO≌△CDO(ASA),
所以CD=AB=20米.
三、板书设计
利用三角形全等测距离
利用三角
形全等测
距离
◇教学反思◇
在本节课里,首先创设了一个“现实情境”,使学生的实践具有“真实”解决问题的作用,然后用角色模拟的方法进行自由交流活动.通过这样的交流,可以激发学生的好奇心和求知欲,刺激他们思维的多向性与逻辑性,同时也培养了学生倾听别人思路、拓展自己思维、修正自己不足的良好习惯,使他们在积极的互动中掌握知识,发展分析问题、解决问题的能力.注重教学中师生间的对话、教师对学生的引导以及及时的反馈与评价.
注意时间的把握,应给学生充分的思考时间,题目难易程度不同,分配的时间应不同,交流中及时发现问题并解决,力争课堂高效率、高质量.
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