18.2.1 矩形 同步课时练习（含解析）

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人教版2022年八年级下册18.2.1 矩形 同步课时练习
一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等
2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）．
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
4．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它斜边上的中线长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
6．如图，折叠矩形ABCD，使点D落在点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长（ ）
A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，，请你添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，你添加的条件是______________（填一个即可）.
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___．
11．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为______．
12．在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，且．若，则BC长为_________．
13．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．
14．在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线交直线AB于点E．若BC＝4，AE＝3，则BD的长为 _____．
15．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE交对角线AC于点F，若，，，则线段AC的长为______．
16．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上OA=5；OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．则D坐标为_______．
三、解答题
17．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．
19．已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形．
(2)如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，且BD=BE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠DBC=30°，BO=6，求四边形ABED的面积．
21．如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
(1)求证：．
(2)四边形是矩形．
22．（1）问题：如图1，P是矩形ABCD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为 ．
（2）探究：如图2，P是矩形ABCD外任意一点，上面的结论是否成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求AB的最小值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和平行四边形的性质进行判断．
【详解】
解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故选D
【点睛】
本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解答本题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】
解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②对角线相等的四边形可以是等腰梯形，故②不符合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故③符合题意；
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故④符合题意．
∴正确的是③④．
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，解题关键是熟记矩形的判定定理，准确进行判断．
3．B
【解析】
【分析】
利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，能熟练掌握和运用矩形的判定定理是解决本题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
解：∵两条直角边的边长分别为6和8，根据勾股定理得：
斜边长为：，
∴斜边上的中线的长为：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据矩形的对角线相等且互相平分，以及，可得是等边三角形，进而在中可得，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求得矩形的面积．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
，
，
∴，
是等边三角形，
，
在中，，
矩形的面积是
故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质判定，掌握矩形的性质是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据矩形及折叠的性质可得，，在中，利用勾股定理得出，，在中，设，则，继续利用勾股定理求解即可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，且经过折叠，，，
∴，，
在中，
，
，
在中，设，则，
∴，
∴即，
解得：，
即，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查矩形及折叠的性质、勾股定理的应用，理解题意，结合图形，熟练运用勾股定理是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得 ，再由矩形的性质可得 ，从而得到 ，然后设 ，则 ，在 中，由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ，
在矩形纸片中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
即 ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠图形的性质是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
由矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=，再由三角形的面积和差关系求解即可.
【详解】
解：∵AB=3，BC=4，
∴矩形ABCD的面积为3×4=12，
BD=AC=，
∴OA=OC=OB=OD=，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的面积关系，正确理解并掌握矩形的性质是解题的关键.
9．
【解析】
【分析】
由，得到四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定法则即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当OA=OB时，此时平行四边形ABCD的对角线相等，
得到：平行四边形ABCD为矩形，
故答案为：OA=OB，(答案不唯一) ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定方法及矩形的判定方法，属于基础题，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决本类题的关键．
10．4
【解析】
【分析】
根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OA＝OB，又由∠AOB＝60°，得到△AOB是等边三角形，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝ AC，OB＝ BD＝4，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝4；
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
11．8
【解析】
【分析】
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，D是AB边的中点，
，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12．
【解析】
【分析】
根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝3，求出AC，再根据勾股定理求出BC即可．
【详解】
解：根据题意画出图形，如图所示：
，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解决此题的关键．
13．
【解析】
【分析】
根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝6，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．
14．或
【解析】
【分析】
根据题意可知，需要分两种情况讨论，当点E在AD的上方时，当点E在AD的下方时，画出对应图形，借助勾股定理及垂直平分线的性质可得结论．
【详解】
解：根据题意，需要分两种情况：
①当点E在AD的上方时，如图，
则AE＝3，AD＝BC＝4，
又∠EAD＝90°，由勾股定理可得ED＝5，
∵OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE＝5，
∴AB＝2，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，
由勾股定理可知，BD＝；
②当点E在AD的下方时，如图，
则AE＝3，AD＝BC＝4，
又∠EAD＝90°，由勾股定理可得ED＝5，
∵OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE＝5，
∴AB＝8，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，
由勾股定理可知，BD＝ ；
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理的应用，作出正确辅助线是关键．
15．
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可得，，，，设，可得，勾股定理求得，进而求得，即可求得的长．
【详解】
解：连接，如图，
设，
四边形是矩形
，，，
，
，则
在中，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等角对等边，求得的长是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】
由折叠的性质可知OA=AE=5，然后根据勾股定理可得BE=3，则有CE=2，设D（0，x），则OD=DE=x，CD=4-x，进而根据勾股定理可建立方程求解．
【详解】
解：∵四边形OABC是矩形，OA=5；OC=4．
∴，，
由折叠的性质可得：OA=AE=5，OD=DE，
在Rt△ABE中，，
∴，
设D（0，x），则OD=DE=x，CD=4-x，
∴在Rt△DCE中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形、矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键．
17．四边形AECF是平行四边形，证明见解析．
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得出，可得出∠DFA=∠BAF，进而得出∠DCE=∠DFA，证得，再根据平行四边形的判定得出即可．
【详解】
解：四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠DFA=∠BAF，
又∵∠DCE=∠BAF，
∴∠DCE=∠DFA
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
18．见解析
【解析】
【分析】
根据垂直的性质可得，利用各角之间的等量关系可得，再由矩形的判定定理即可证明．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】
题目主要考查矩形的判定定理及各角之间的等量代换，理解题意，结合图形，熟练运用矩形的判定定理是解题关键．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理可得DE∥AB，再由已知AF∥BC即可判定四边形ABDF是平行四边形；
（2）由（1）及AD为中线可得四边形ADCF是平行四边形，再由平行条件及平分条件可得AB=AC，从而可得AD⊥BC，即可得结论．
(1)
∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB．
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形．
(2)
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AF平分∠MAC，
∴∠MAF＝∠CAF．
∵AF∥BC，
∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)四边形ABED的面积为54．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件推知四边形ABEC是平行四边形，则对边相等：AC=BE，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；
（2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB是等边三角形，则易求OB=AB=6，所以通过勾股定理求得BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵点E在DC的延长线上，
∴AB∥CE，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
又BD=BE，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)
解：∵在矩形ABCD中，∠DBC=30°，OA=OB，
∴∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=BO=6，
∴BD=2BO=2×6=12，
又∵四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB=6，
∴DE=CD+CE=12，
在Rt△ABC中，BC=，
∴四边形ABED的面积=（6+12）×6=54．
【点睛】
本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，熟记性质是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线定义得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是矩形.
(1)
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
(2)
解：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴．
，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．（1）；（2）成立，证明见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N，又勾股定理得到边之间的关系，再根据四边形AMNB、四边形DMNC为矩形，等量代换边，进而得到结论；
（2）过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N，又勾股定理得到边之间的关系，再根据四边形AMNB、四边形DMNC为矩形，等量代换边，进而得到结论；
（3）以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，由题意得， ，计算得出 的值，当C、D、E三点共线时，DE最小，即AB最小，计算得出结果即可．
【详解】
（1）如图，
过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N
由勾股定理得，
，，，
又 四边形ABCD为矩形
四边形AMNB、四边形DMNC为矩形
，
；
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
如图，
过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N
由勾股定理得，
，，，
又 四边形ABCD为矩形
四边形AMNB、四边形DMNC为矩形
，
，仍然成立；
（3）如图，
以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE
由题意得，
，，
解得
当C、D、E三点共线时，DE最小，即AB最小
的最小值 的最小值 ．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理即线段最小值问题，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
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