2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学下册8.6三角形内角和定理解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《8-6三角形内角和定理》解答题专题训练（附答案）
1．综合与探究
数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含30°的三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，三角尺COD中，∠COD＝90°，∠C＝60°，∠D＝30°．过点O作射线OE．
（1）∠AOC的补角是 　 　，∠COE的余角是 　 　；（直接写出答案）
（2）如图2，“启航”小组根据学习几何积累的活动经验：特殊的位置可以得到特殊的结论，在图1的基础上继续展开探究，他们提出的问题是：调整三角尺的位置，当OD平分∠BOE时，OC平分∠AOE．请你证明启航小组提出的问题；
（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角尺的位置，当OE平分∠BOC时，∠AOC与∠DOE有怎样的数量关系？请说明理由．
2．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点G．
求证：∠BGC＝90°+∠A．
3．如图1，△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，沿直线DE折叠三角形纸片．
（1）如果折成图1的形状，求∠BDA′与∠A的关系；
（2）如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA'和∠A的关系，并说明理由；
（3）如果折成图3的形状，直接写出∠BDA'、∠CEA′和∠A的关系．
4．如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．
5．如图所示，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DAC的度数．
6．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　°；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．
7．如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．
（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；
（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．
8．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：
（①）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（②）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
（③）如图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
9．如图，在△ABC中，CD为△ABC的高，AE为△ABC的角平分线，CD交AE于点G，∠BCD＝50°，∠BEA＝110°，求∠ACD的大小．
10．在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）如图1，若∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的度数．
（2）探索∠B，∠C，∠DAE之间的数量关系（如图1，∠B＞∠C），请证明你的结论．
（3）如图2、3，设点F为AE所在直线上一动点，当它在AE上运动，AD变成FD时，探索∠DFE，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．
11．如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．
（1）当∠B＝35°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；
（2）若∠B＝α，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不用说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）
（3）如图2，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
12．如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝　 　°，∠DBC+∠DCB＝　 　°，∠ABD+∠ACD＝　 　°．
（2）若∠A＝55°则∠ABD+∠ACD＝　 　°．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
13．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求：
（1）直接写出∠BAC＝　 　．
（2）求∠BAH的度数．
14．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE是角平分线，AD是高，BE、AD相交于点F，求证：∠1＝∠2．
15．如图，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，FD的延长线交BE于点E．
（1）若∠BAC＝56°，∠DCA＝22°，∠EBD＝23°，求∠BEF的度数；
（2）若∠BAC＝α，∠DCA＝β，∠BEF＝γ，请直接写出α、β、γ三者之间的关系．
16．已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．
（1）求∠M的度数；
（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；
（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．
17．如图，△ABC中，BE为AC边上的高，CD平分∠ACB，CD、BE相交于点F．若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BFC的度数．
（1）问题发现
如图1，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A＝　 　．
由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是 　 　．
用语言叙述为：三角形一个外角等于 　 　．
（2）结论运用
如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，求∠BDC的度数．
19．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上，AE平分∠MAB，BE平分∠NBA．当点A，B在OM，ON上的位置变化时，∠E的大小是否变化？若∠E的大小保持不变，请说明理由；若∠E的大小变化，求出变化范围．
20．如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F．
（1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度数；
（2）求证：2∠BFC＝∠A+180°．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC中AD边上的高，求∠ABE的度数．
参考答案
1．解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC的补角是∠BOC；
∵∠COD＝90°，
∴∠COE+∠EOD＝90°，
∴∠COE的余角是∠EOD；
故答案为：∠BOC，∠EOD；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠COE+∠EOD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠EOD＝∠BOD，
∴∠COE＝∠AOC，
∴OC平分∠AOE；
（3）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE，
又∵∠AOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝180°﹣2∠COE，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE，
∴2∠DOE＝180°﹣2∠COE，
∴∠AOC＝2∠DOE．
2．证明：∵∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点G，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∵∠BGC+∠EBC+∠FCB＝180°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BGC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠BGC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．
3．解：（1）根据折叠的性质可知∠DA'E＝∠A，
∵∠DA'E+∠A＝∠BDA'，
∴∠BDA'＝2∠A；
（2）∠BDA'+∠CEA'＝2∠A，理由如下：
∵∠BDA'+∠ADA'＝180°，∠CEA'+∠A'EA＝180°，
∴∠BDA'+∠CEA'＝360°﹣∠ADA'﹣∠A'EA，
∴∠BDA'+∠CEA'＝∠A+∠DA'E，
∵△A'DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA'E，
∴∠BDA'+∠CEA'＝2∠A；
（3）∠BDA'﹣∠CEA'＝2∠A，理由如下：
设DA'交AC于点F，
∵∠BDA'＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A'+∠CEA'，
∴∠BDA'＝∠A+∠A'+∠CEA'，
∴∠BDA'﹣∠CEA'＝∠A+∠A'，
∵△A'DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA'E，
∴∠BDA'﹣∠CEA'＝2∠A．
4．解：（1）∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠CBD＝27°，
∴∠BFE＝180°﹣27°﹣60°＝93°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝87°；
（2）∵∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝93°，
∴3∠ABF＝93°，
∴∠ABF＝31°，
∴∠BAF＝62°．
5．解：∵∠3＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4＝2∠1．
∵∠DAC+∠3+∠4＝180°，
∴∠DAC＝180°﹣2∠3
＝180°﹣2×2∠1
＝180°﹣4∠1．
∵∠DAC+∠1＝∠BAC＝66°，
∴180°﹣4∠1+∠1＝66°．
∴∠1＝38°．
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1
＝66°﹣38°
＝28°．
答：∠DAC的度数为28°．
6．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．
7．解：（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，
根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：
∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，
∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，
∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．
∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，
∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．
同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，
∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，
①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，
①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，
④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，
2∠P＝35°+29°，
解得∠P＝32°；
（2）∠P＝（∠C+∠D），理由如下：
由（1）同理可知：
2∠P＝∠C+∠D，
解得∠P＝（∠C+∠D）．
8．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）①如图2：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3＝∠2+∠B①，
∠P+∠1＝∠4+∠D②，
①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°．
②∠P＝26°．
如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）的结论得：∠PAD+∠P＝∠PCD+∠D①，∠PAB+∠P＝∠PCB+∠B②，
∵∠PAB＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠PAB＝∠2，
∴∠2+∠P＝∠3+∠B③，
①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P＝∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°＝∠B+∠D+180°，
∴∠P＝（∠B+∠D ）＝26°．
③如图4，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴（180°﹣2∠1）+∠B＝（180°﹣2∠4）+∠D，
在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，
在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，
∴2∠P+∠B+∠D＝360°，
∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
9．解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠B＝40°，
∵∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAC＝2∠BAE＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°．
10．解：（1）在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝34°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣34°＝76°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝×76°＝38°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣34°＝56°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝56°﹣38°＝18°；
（2）如图1，∠B，∠C，∠DAE的关系为：∠DAE＝（∠B﹣∠C），
证明∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣∠B﹣∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣∠C﹣（90°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C）；
（3）∠DFE，∠B，∠C之间的数量关系为：∠DFE＝（∠B﹣∠C），
证明：分两种情况：①如图2，当点F在AE上时，作AH⊥BC于H，
由（2）得：∠HAE＝（∠B﹣∠C），
∵AH⊥BC，FD⊥BC，
∵AH∥FD，
∴∠DFE＝∠HAE，
∴∠DFE＝（∠B﹣∠C），
②如图3，当点F在AE上时，作AH⊥BC于H，
由（2）得：∠HAE＝（∠B﹣∠C），
∵AH⊥BC，FD⊥BC，
∴AH∥FD，
∴∠DFE＝∠HAE，
∴∠DFE＝（∠B﹣∠C），
综上所述，∠DFE，∠B，∠C之间的数量关系为：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．
11．解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（35°+75°）＝70°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝．
∴∠FED＝∠B+∠BAE＝35°+35°＝70°．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣∠EDF﹣∠FED＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（α+β）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝＝90°﹣．
∴∠FED＝∠B+∠BAE＝α+90°﹣＝90°+．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣∠EDF﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°+）＝．
（3）成立，理由如下：
由（2）知：∠FED＝∠B+∠BAE＝90°+，∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣（∠FED+∠EDF）＝180°﹣（90°++90°）＝．
12．解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°．
又∵∠EDF＝90°，∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣90°＝90°．
∴∠ABD+∠ACD
＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）
＝140°﹣90°
＝50°．
故答案为：140，90，50．
（2）由（1）知：∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB），∠DBC+∠DCB＝90°．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
∴∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠A﹣90°＝90°﹣∠A．
∴当∠A＝55°，∠ABD+∠ACD＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35．
（3）由（2）可知：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
13．解：（1）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴∠ACD＝∠ACB＝35°，
∵∠ADC＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°，
故答案为：65°；
（2）由（1）知，∠BAC＝65°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．
14．证明：∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠2+∠ABE＝180°，
∴∠2+∠ABE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BFD+∠ADB+∠DBF＝180°，
∴∠BFD+∠DBF＝90°，
∵BE是角平分线，
∴∠ABE＝∠DBF，
∴∠2＝∠BFD，
∵∠BFD＝∠1，
∴∠1＝∠2．
15．解：（1）连接BC，如图所示：
∵BE平分∠ABD，∠EBD＝23°，
∴∠ABD＝46°，
∵∠BAC＝56°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝124°，
∵∠ABC﹣∠ABD+∠ACB﹣∠ACD＝∠DBC+∠DCB，
∴124°﹣46°﹣22°＝∠DBC+∠DCB，
得∠DBC+∠DCB＝56°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝124°，
∵DF平分∠BDC，
∴∠BDF＝62°，
∴∠BEF＝∠BDF﹣∠EBD＝39°．
故∠BEF的度数是39°；
（2）延长CD交AB于点G，如图所示：
∵∠BGD是△ACG的一个外角，∠BDC是△BDG的一个外角，
∴∠BGD＝∠BAC+∠DCA＝α+β，∠BDC＝∠ABD+∠BGD，
∴∠BDC＝∠ABD+α+β，
∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝∠ABD，∠BDF＝（∠ABD+α+β），
∵∠BDF是△BDE的一个外角，
∴∠BDF＝∠EBD+∠BEF，
∴（∠ABD+α+β）＝∠ABD+γ，
整理得：．
16．解：（1）如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF＝∠AEF，∠EFM＝∠CFE，
∴∠MEF+∠MFE＝（∠AEF+∠CFE）＝90°，
∴∠M＝180°﹣90°＝90°；
（2）结论：∠M1＝∠M．
理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．
∵AB∥CD，M1J∥AB，
∴M1J∥CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1＝∠AEM，∠CFM1＝∠CFM，
∵∠EM1J＝∠AEM1，∠JM1F＝∠CFM1
∴∠EM1F＝∠AEM1+∠CFM1＝（∠AEM+∠CFM）＝×90°＝45°；
（3）由（2）可知，∠M1＝×90°，
同法可知，∠M2＝∠M1＝∠M，
，
∠Mn＝（）n×90°，
当n＝2021时，∠M2021＝（）2021×90°．
17．解：∵∠ABC＝60°，∠A＝70°，
∴∠ACB＝50°，
∵BE为AC边上的高，
∴∠CBF＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCB＝∠ACB＝25°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠FCB）＝180°﹣（40°+25°）＝115°．
18．解：（1）∵∠1+∠CBA＝180°，
∠C+∠A+∠CBA＝180°，
∴∠1＝∠A+∠C．
∴∠A＝∠1﹣∠C
＝100°﹣70°
＝30°．
故答案为：30°，∠1＝∠A+∠C，它不相邻的两个内角的和．
（2）∵△CBD沿CD折叠得到△CED，
∴△CBD≌△CED．
∴∠DCA＝∠BCA＝45°．
∴∠BDC＝∠A+∠DCA
＝22°+45°
＝67°．
19．解：∠E的大小保持不变，等于45°．
理由：∵∠MON＝90°，
∴∠OAB+∠EBA＝90°，
∵∠OAB+∠MAB＝180°，∠OBA+∠ABN＝180°，
∴∠MAB+∠ABN＝270°，
∵AE、EB分别平分∠MAB和∠NBA，
∴∠EAB＝∠MAB，∠EBA＝∠ABN，
∴∠EAB+∠EBA＝135°，
∴∠E＝45°，
∴∠E的大小保持不变，等于45°．
20．（1）解：∵∠A＝54°，∠ABC＝50°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣54°＝76°，
∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F，
∴∠CBF＝∠ABC＝25°，∠BCF＝∠ACB＝38°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣25°﹣38°＝117°，
∴∠CFD＝180°﹣117°＝63°；
（2）证明：∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F，
∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣（ABC+ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BFC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
即2∠BFC＝180°+∠A．
21．解：∵∠ABC＝30°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∵BE是△ABC中AD边上的高，
∴∠E＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣∠BAE﹣∠E＝55°．
故∠ABE的度数为55°．