10.4.1线段的垂直平分线及其作图 同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线及其作图
知识梳理
1.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段__________的距离相等.
2.定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的＿＿＿上.
基础练习
1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为( )
A.8 B. 11 C. 16 D. 17
第1题图 第2题图
2.如图，点P在线段AB外，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法不正确的是（ ）
A.作∠APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PC⊥AB于点C，且AC=BC
C.取AB的中点C，连接PC D.过点P作PC⊥AB，垂足为C
3.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC，AB于点D和点E.若∠B=50°，则∠CAD的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
第3题图 第4题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=4，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，则BM的长为__________.
5.某地区拟在新竣工的长方形广场的内部修建―个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A，B间距离的一半，A，B，C的位置如图所示.请在图中利用尺规作出音乐喷泉M的位置（要求：不写作法，保留作图痕迹）.
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接BE，交CD于点F.求证：BE垂直平分CD.
巩固提高
7.如图，AB=AC=4，BD=DC.若∠ABC=60°，AD与BC相交于点E，且AD=5，则四边形ABDC的面积为( )
A.5 B. 10 C. 15 D. 20
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC=4，△ABC的面积为10，则BM+MD的最小值为( )
B.3 C.4 D.5
9.如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若∠1=39°，则∠AOC=_________.
第9题图 第10题图
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为___________.
11.如图，在△ABC中，∠BAC=106°，MP，NQ分别垂直平分AB，AC.
(1)当AB=AC时，∠1的度数为__________.
(2)若AB+AC，请问(1)中的结论还成立吗 请通过计算说明.
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，连接DE交AC于点F.求证：点E在AF 的垂直平分线上.
13.如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B=22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M.求证：EM=EC.
参考答案
[知识梳理]
1.两个端点 2.垂直平分线
[基础练习]
1.B 2.B 3.A 4.3
5.音乐喷泉M的位置如图所示
6.∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ACB=∠BDE=90°.在Rt△BDE和Rt△BCE中， ∴ Rt△BDE≌Rt△BCE.∴ED=EC.∵BD=BC，∴BE垂直平分CD .
[巩固提高]
7.B 8.D 9.78° 10.
11.(1)32°
(2)成立 ∵∠BAC=106°，∴∠B+∠C=180°-106°=74°.∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC，∴PB=PA,QC=QA.∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C.∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=74°.∴∠1=∠BAC－(PAB+△QAC)=106°-74°=32°.
12.∵E是BD垂直平分线上的一点，∴EB=ED.∴∠B=∠D.又∵∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠B，∠CFD=90°-∠D.∴∠CFD=∠A.又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AFE=∠A.∴EF=EA.∴点E在AF的垂直平分线上.
13.连接AD.∵DN是AB的垂直平分线，∴AD=BD.∴∠B=∠DAB，又∵∠B=22.5°，∴∠ADE=∠B+∠DAB=45°.∵AE⊥BC，∴∠AED=90°.∴∠DAE=45°=∠ADE.∴DE=AE.∵AE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEM=∠AEC=∠AFM=90°.又∵∠DME=∠AMF，∴∠MDE=∠CAE.
在△DEM和△AEC中，∴△DEM≌△AEC.∴EM=EC .
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