18.2.2 菱形 同步课时练习（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2022年八年级下册18.2.2 菱形 同步课时练习
一、选择题
1．萎形不一定具备的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．矩形和菱形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角
3．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB⊥BC D．AC＝BD
5．下列命题中，假命题是（　　）
A．对角线垂直的平行四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分且平分一组内角的四边形是菱形
D．对角线相等且垂直的四边形是菱形
6．如图，在菱形中，点、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ）
A．16 B．24 C．28 D．32
7．若菱形ABCD的边长为2，其中∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　）
A．5 B．10 C．6 D．8
二、填空题
9．在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是___．
10．菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为_______cm2．
11．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”，这是个______命题．（填“真”、“假”）
12．如图，在中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且，，请你添加一个________条件，使四边形AEDF是菱形．
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=45°，DE是AB边上的高，BE=2，则AB的长是____．
14．如图，在菱形ABCD中，，点E是AD的中点，连接OE，则OE=_____________．
15．如图，在矩形中，边的长为3，点，分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，且，则边的长为______．
16．如图，菱形中，E、F分别在边上，，且是等边三角形，则_______．
三、解答题
17．如图，平行四边形中，对角线平分．求证：平行四边形是菱形．
18．如图，在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
19．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CEBD，DEAC，AD=，DE=2，求四边形OCED的面积．
20．如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作交AB的延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求CE的长．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F．
(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
(2)若，，求菱形ABCD的面积．
22．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．
(1)如图1，若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长及面积；
(2)如图2，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；
(3)如图3，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
本题考查菱形的性质，菱形两组对边平行，四条边相等，两组对角相等，对角线互相垂直平分，以此可以求解．
【详解】
解：A、菱形的对边平行且四边相等，此选项说法正确，不符合题意；
B、菱形的两组对角相等，此选项说法正确，不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，此选项说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角线不相等，此选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，熟悉菱形的性质是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据菱形和矩形的性质对各选项分别进行判断．
【详解】
解：A、菱形的对角线互相垂直平分，而矩形的对角线互相平分且相等，所以A选项错误；
B、菱形和矩形的对角线都互相平分，所以B选项正确；
C、菱形的对角线互相垂直平分，而矩形的对角线互相平分且相等，所以C选项错误；
D、菱形的对角线互相垂直平分且平分每组对角，而矩形的对角线互相平分且相等，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角也考查了矩形的性质．解题关键是掌握菱形的性质及矩形的性质．
3．C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【详解】
解：A、 ABCD中，本来就有AB=CD，故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD=BC，故本选项错误；
C、 ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形，故本选项正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4．A
【解析】
【分析】
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
利用菱形的判定定理分别对每个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】
解：A、正确，是真命题；
B、正确，是真命题；
C、正确，是真命题；
D、对角线相等且垂直的四边形也可能是等腰梯形，故错误，是假命题，
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定定理，属于基础题，比较简单．
6．D
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理易得BC=2EF，那么菱形的周长等于4BC
【详解】
解：点、分别是、的中点，，
，
四边形是菱形，
菱形的周长是：．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理和菱形周长，掌握这两个知识点是关键．
7．D
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质得BE＝1，再求出AE的长，然后由菱形的面积公式即可得解．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
则∠AEB＝90°，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝1，
∴AE＝BE＝，
∴菱形的面积＝BC×AE＝2×＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
【详解】
解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴PQ∥AD，
而点Q是AB的中点，
故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，
同理可得，PM是△ABC的中位线，
故点P是AC的中点，
即点P是菱形ABCD对角线的交点，
∵四边形ABCD是菱形，
则△BPC为直角三角形，
,
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
9．8cm
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可直接进行求解．
【详解】
解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm，
故答案为：8cm．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．24
【解析】
【分析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求其面积即可．
【详解】
解：菱形面积是6×8÷2＝24cm2；
故答案为24．
【点睛】
本题考查的是菱形的面积的计算，掌握“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解本题的关键.
11．假．
【解析】
【分析】
利用菱形的判定定理判断后即可确定正确的答案．
【详解】
对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误，是假命题．
故答案为：假．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．
12．（不唯一）
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得．
【详解】
解：，
四边形是平行四边形，
则当时，平行四边形是菱形，
故答案为：（不唯一）．
【点睛】
本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
13．．
【解析】
【分析】
设AB=x，根据勾股定理列方程为：AD2=AE2+DE2，则x2=(x 2)2+(x 2)2，解方程可解答．
【详解】
解：设AB=x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=x．
∵DE是AB边上的高，
∴∠AED=90°．
∵∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ADE=45°，
∴AE=ED=x﹣2，
由勾股定理得：AD=AE2+DE2，
∴x2=(x﹣2)2+(x﹣2)2，
解得：x1=4+2，x2=4﹣2，
∵BE=2，
∴AB＞2，
∴AB=x=4+2．
故答案为：4+2．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14．3
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=6，
∴△AOD为直角三角形．
∵点E为线段AD的中点，AD=6，
∴OE=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，本题属于基础题，难度不大．
15．
【解析】
【分析】
根据矩形和菱形的性质可利用“HL”间接证明，即得出AE=CF．由，即可证明AE=OE，继而可再次利用“HL”证明，即得出，从而可求出，最后由含角的直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，．
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=DF，OE=OF，
∴在和中 ，
∴，
∴AE=CF．
∵，即
∴AE=OE，
∴在和中 ，
∴，
∴
∴．
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查矩形、菱形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，综合性强．掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
16．
【解析】
【分析】
根据菱形性质可得AB=AD=BC=CD，∠C=∠BAD，∠B+∠BAD=180°，由是等边三角形，可得∠EAF=60°，AE=AF，由AB=AE，可得∠B=∠BEA=∠AFD=∠D，可求∠BAE=∠DAF，设∠BAE=∠DAF =m°，根据两直线平行同旁内角互补可列方程+60°+2m°=180°求解即可．
【详解】
解：在菱形中，AB=AD=BC=CD，∠C=∠BAD，∠B+∠BAD=180°，
∵是等边三角形，
∴∠EAF=60°，AE=AF，
∵AB=AE，
∴AD=AF=AB=AE，
∴∠B=∠BEA=∠AFD=∠D，
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-∠AFD-∠D=∠DAF，
设∠BAE=∠DAF =m°，
∴∠B=，∠BAD=60°+2m°，
∴+60°+2m°=180°，
解得m=20°，
∴∠C=∠BAD=60°+40°=100°．
故答案为100°．
【点睛】
本题考查菱形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，利用同旁内角互补建构方程是解题关键．
17．证明见解析
【解析】
【分析】
根据题意可得：，从而，即可解答．
【详解】
证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，平行四边形的性质定理，并能灵活运用相关知识进行证明．
18．证明见解析
【解析】
【分析】
证△DOE≌△BOF（ASA），得OE=OF，再证四边形EBFD是平行四边形，然后由EF⊥BD即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，证明△DOE≌△BOF是解题的关键．
19．
【解析】
【分析】
连接OE，与DC交于点F，只要证明四边形ODEC是菱形，四边形ADEO是平行四边形即可解决问题．
【详解】
解：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形.
∴OD=EC，OC=DE.
∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴OD=OC.
∴平行四边形OCED是菱形.
连接OE，
∵DE=2，
∴AC=2OC=2DE=4，
∵AD=，
∴DC=，
∵DE∥AC，AO=OC=DE，
∴四边形AOED是平行四边形.
∴OE=AD=2.
∴四边形OCED的面积为
【点睛】
本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题．
20．(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）先判断出，进而判断出，得出，此题得证；
（2）根据菱形的性质得到，，，由勾股定理可以求出AB的长，然后通过菱形的面积公式可以求出CE的长．
(1)
证明：∵，
∴，
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∵AB=AD，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC=8，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理可知，
，
∴菱形的面积，
∵，
∴菱形面积，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)四边形AEBO是矩形，理由见解析；
(2)24．
【解析】
【分析】
（1）根据，可先证明四边形AEBO是平行四边形，再利用菱形对角线互相垂直平分可得，即可证明四边形AEBO是矩形；
（2）利用菱形对角线互相平分的性质可知，利用勾股定理可求出，进一步得，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．
(1)
解：四边形AEBO是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴四边形AEBO是矩形．
(2)
解：∵，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的面积．
【点睛】
本题考查菱形的性质和面积，矩形的判定定理，勾股定理解三角形，掌握矩形的判定定理：有一个角等于的平行四边形是矩形，是解本题的关键之一，另一个关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
22．(1)周长为 ，面积为
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质可得 ，再由勾股定理可得 ，从而得到 ，即可求解；
（2）根据菱形的性质和AE⊥BC，AF⊥CD，可得△ABE≌△ADF，从而得到BE=DF，进而得到CE=CF，则有∠CBF=∠CBD=（180°-∠C），即可求证；
（3）连接CG，可先证明△ADG≌△CDG，可得到AG=CG，△ADG和△CDG的面积相等，从而得到S1﹣S2=S△CEG，再由勾股定理可得 ，然后设 ，则 ，根据勾股定理可得 ，即可求解．
(1)
解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴ ，
∵AE＝3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴菱形ABCD的周长为 ，面积为 ；
(2)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠ADF，AB=AD=BC=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
∵∠ABE=∠ADF，∠AEB=∠AFD，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠CBF=∠CBD=（180°-∠C），
∴EF∥BD；
(3)
解：连接CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADG=∠CDG，AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG， DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴AG=CG，△ADG和△CDG的面积相等，
∴S1﹣S2=S△CEG，
∵CE＝4，BE＝8，
∴AB=BC=CE+BE=12，
∵AE⊥BC，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)