18.2.3 正方形 同步课时练习（含解析）

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人教版2022年八年级下册18.2.3 正方形 同步课时练习
一、选择题
1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分内角
3．正方形的对角线长为2，则其面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．35
5．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，若，，那么BE的长为（ ）
A． B． C．1 D．
6．如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图，点P是线段AB上任意一点，在AB同侧作正方形ACDP、正方形PEFB，连接DF、PF，已知AB＝10，当△PDF的面积为8时，AP的长为（　　）
A．2 B．8 C．2或8 D．4
8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF交于点O，则下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③O为AE中点；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．有一个角是_______的菱形是正方形，对角线_________的菱形是正方形．
10．如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可）
11．如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是_______．
13．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．
三、解答题
14．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，求证：BE＝FD．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为CD中点，F为AD中点，AE与BF交于点G．
(1)求证：△ABF≌△DAE；
(2)连结BE，记BE中点为H，求GH的长．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
（1）求证：BE＝FM；
（2）求BE的长度．
17．如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F．
(1)求证：四边形AEDF是正方形．
(2)当时，求正方形AEDF的边长．
18．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．
(1)当旋转至图1位置时，连接BE，DG，线段BE和DG是否相等且垂直？请说明理由；
(2)在图1中，连接BD，BF，DF，请直接写出在旋转过程中的面积最大值；
(3)在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段BE的长．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据正方形和矩形的性质，即可求解．
【详解】
解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，均相等，故A不符合题意；
B、正方形的四条边相等，但矩形的对边相等，但邻边不一定相等，故B符合题意；
C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意；
D、正方形和矩形的对角线均相等，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质，特殊平行四边形都肯定具有，可判断出正确选项．
【详解】
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，熟练掌握并区分这些性质是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据正方形是特殊的菱形，所以正方形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【详解】
解：正方形的对角线长为2，
面积为：
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
4．B
【解析】
【分析】
先根据正方形的边长可求出的长，再根据四边形EFGH的面积等于正方形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积即可得．
【详解】
∵正方形ABCD的边长为7，
四边形ABCD是正方形
∴四边形EFGH的面积为
故选：B
【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形的面积公式，熟记正方形的性质是解题关键．
5．D
【解析】
【分析】
根据题意求出正方形ABCD的边长，又因为，所以可求出CE的长，BE=BC-CE．
【详解】
解：在正方形ABCD中，
∵，
∴，
∴BC=CD=，
又∵，
∴在Rt△CDE中，，
∴CE=1，
BE=BC-CE=，
故选：D．
【点睛】
本题主要利用正方形的性质以及勾股定理解题，注意线段之间的等量关系即可得出结论．
6．C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，再由正方形的可得∠BAD＝90°，从而在∠BAC+∠DAC＝90°，从而可求解．
【详解】
解：由题意得：∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠EAF∠BAC∠DAC
（∠BAC+∠DAC）
＝45°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查角的计算，解答的关键是熟记折叠的性质，明确角与角之间的关系．
7．C
【解析】
【分析】
设，则，根据正方形的性质可知，将的面积用表示为一个等式，求出值，即可求解．
【详解】
解：设，则，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
即，解得或，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的的性质以及方程的应用，熟练掌握数形结合思想是解决问题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，即可得AE与BF的关系；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则得AE与BF位置关系；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA与OE关系；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB与S四边形DEOF的关系．
【详解】
解：连结BE，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以①正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以②正确；
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以④正确．
正确的有3个．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．
9． 直角 相等
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和菱形的性质即可得出答案．
菱形的性质：四条边都相等，两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相垂直且平分；
正方形的性质：四条边都相等，两组对边分别平行，四个角都为直角，对角线互相垂直平分且相等．
【详解】
解：有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形．
故答案为：直角；相等．
【点睛】
本题考查了正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由平行线的性质可知，，即易证，得出，由此可证明四边形ABCD为平行四边形．由角平分线的性质可知，即得出，从而证明，即平行四边形ABCD为菱形．故在四边形ABCD为菱形的基础上，添加条件使其为正方形即可．
【详解】
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴再添加或等，即可证明菱形ABCD为正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，平行四边形、菱形、正方形的判定．掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
过点作的延长线于点，连接，根据题意求得，进而勾股定理即可求得
【详解】
如图，过点作的延长线于点，过作于，
是等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形，
，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键．
12．
【解析】
【分析】
要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：如图，连接AE，PA，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE=2，
∴AE=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
13．5
【解析】
【分析】
连接OE，根据正方形的性质可得BO=OC=5，再由S△BOE+S△COE=S△BOC即可求得EG＋EF的值．
【详解】
如图，连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，AC=10，
∴AC⊥BD，BO=OC=5，
∵EG⊥OB，EF⊥OC，S△BOE+S△COE=S△BOC，
∴ BO EG+ OC EF= OB OC，
∴×5×EG+×5×EF=×5×5，
∴EG+EF=5．
故答案为：5
【点睛】
本题考查正方形的性质，利用面积法是解决问题的关键，熟练运用等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高这一结论可以使运算过程简单．
14．见解析
【解析】
【分析】
由正方形四个角都是直角，四个边都相等，得AB=AD，由E是AD的中点，得：AF=AB，AE=AF，即可证明Rt△ADF≌Rt△ABE，可得BE=DF．
【详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=AD，
∵AF=AB，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠DAB=∠DAF=90°，
∴AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质．解本题的关键要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质的基本知识点．
15．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先有正方形的性质及E为CD中点，F为AD中点得AF＝DE，然后利用“边角边”证明△ABF≌△DAE；
（2）由△ABF≌△DAE得∠DAE＝∠ABF，从而得到∠BGE＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GH＝BE＝．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，
∵E为CD中点，F为AD中点，
∴AF＝DE＝2，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
(2)
解：∵BC＝4，EC＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠DAE＝∠ABF，
∵∠DAE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BGE＝90°，
∵点H是BE的中点，
∴GH＝BE＝．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）—4
【解析】
【分析】
（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可；
（2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可．
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF
∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF
∠FAM＝∠EAB
∵FM⊥AC
∠FMA＝∠B＝90°
≌（AAS）
BE＝FM
（2）在正方形ABCD中，边长为4
AC＝，∠DCA＝45°
≌
∴AM＝AB＝4
MC＝AC—AM＝—4
∵是等腰直角三角形
BE＝MF＝MC＝—4
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理．
17．(1)证明见解析
(2)正方形AEDF的边长是
【解析】
【分析】
（1）由题意知 ，，可知四边形AEDF是矩形，，可得，进而可说明四边形AEDF是正方形．
（2）解：由题意得，，设，可得，求出的值，根据正方形的边长是计算求解即可．
(1)
证明：∵，
∴
∵
∴四边形AEDF是矩形
∵
∴
在和中
∴
∴四边形AEDF是正方形．
(2)
解：∵，，
∴，
设
得
解得：
∴正方形AEDF的边长是．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质，三角形全等，含30°的直角三角形中边的数量关系．解题的关键在于熟练掌握正方形的判定与性质．
18．(1)相等且垂直，理由见解析
(2)30
(3)BE的长为或
【解析】
【分析】
（1）如图，证明，可得结论；
（2）如图，取的中点，连接、、，过点作于点，根据三角形的三边关系，推出的最大值，由此可得结论；
（3）分两种情形：如图，当点在线段上时．如图当点在线段的延长线上时，利用勾股定理即可得出结论．
(1)
解：（1）数量关系：，位置关系：，
理由如下：如图，设 与交于点，连接，
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，，
∴即，
在和中，
，
，
，，
，
即，
，
故与的数量关系为：，位置关系为：；
(2)
解：如图，取的中点，连接、、，过点作于点，
，为中点，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
即的最大值为，
，
当最大时，的面积也最大，
面积的最大值为；
(3)
解：当点在线段上时，如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
当点在线段的延长线上时，如图，连接交于点，
同理可得：，
在中，由勾股定理得，
，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
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