人教版2022年八年级下册第18章《平行四边形》单元检测卷（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2022年八年级下册第18章《平行四边形》单元检测卷
满分100分
一、选择题(共30分)
1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
2．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　)
A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形
4．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米
5．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是( )
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点．若OE＝3cm，则AD的长是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=，且AB=AE，则DE的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(共24分)
11．如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE=_____cm．
12．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为________．
13．若菱形的周长为，一个内角为，则菱形的面积为________．
14．如图，中，对角线交于O，且，则的周长为_________．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=_____s时，△PAB为等腰三角形．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．
三、解答题(共46分)
17．(6分)如图，在中，点，分别在、上，且，连接，交于点．求证：．
18．(7分)中，点E、F是上的两点，并且．求证：四边形是平行四边形．
19．(7分)如图，在中，，，是的中位线，连接，．求证：．
20．(8分)如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
21．(8分)如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
22．(10分)已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2AB，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒．当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的速度分别为v1、v2（cm/s），点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究a与b满足的数量关系．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断；
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【点睛】
此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．
2．D
【解析】
【详解】
解：因为平行四边形的对角相等，∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角，
所以∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是7∶5∶7∶5，
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，不符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
4．A
【解析】
【详解】
分析：本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.
解析：因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为，所以∠BAO=30°，∴OA=米,∴AC= 米.
故选A.
5．D
【解析】
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【详解】
解：如图，设AB=10，对角线相交于点E，
它的两条对角线的长为4和6时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为6和8时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为8和12时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形．
6．D
【解析】
【分析】
根据题意只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
【详解】
解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，
∴∠CAD＝25°，
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，问题得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=3cm，
∴AD=6cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，是基础知识比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．
8．A
【解析】
【分析】
根据∠ABE=15°，AB=AE，易得∠AEB=∠ABE=15°，再根据AD∥BC，可得∠EBC=75°，∠AFE=105°，∠DAE=60°，进而可得ADE=∠AED=60°，故△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE的长．
【详解】
如图：AD交BE于点F,∵∠ABE=15°，AB=AE
∴∠AEB=∠ABE=15°
∴∠EFD=∠AFB=90° 15°=75°
故∠AFE=180° 75°=105°
∴∠DAE=180° 105° 15°=60°
又∵AB=AE
∴△ADE是等边三角形，
所以DE=AD=3cm.
故选A.
【点睛】
此题考查了正方形的性质以及等边三角形的判定与性质，证得△ADE是等边三角形是解题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=，∠BCD=90°．
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD
∴OA=OD=OC=OB
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°.
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°.
∴∠DOC=60°.
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形.
∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°.
∴∠DAC=∠ACB=30°.
∴AC=2AB.
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC.
∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE.
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD.
∴BE=BO.
∴∠BOE=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=135°.
∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等可知，
∴④正确；
故正确答案是C.
【点睛】
本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用.
11．2
【解析】
【分析】
由 ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC=∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE=CD，由AD=BC=8cm，AB=CD=6cm即可求出BE．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADE=∠DEC
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=∠CDE
∴CD=CE
∵CD=AB=6cm
∴CE=6cm
∵BC=AD=8cm
∴BE=BC-EC=8-6=2cm．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
12．
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，得到CD=CF，，根据矩形的性质证得∠CED=90°，再根据直角三角形30度角的性质求出答案．
【详解】
解：如图，由题意得CD=CF，，
∴，
∵原四边形为矩形，
∴∠BCF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠BCF=90°，
∴∠D=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查矩形与平行四边形的概念及其性质，直角三角形30度角的性质，熟记矩形及平行四边形的性质是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
由菱形的性质和已知条件得出cm，，，由含30°角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出OA，可得BD，AC的长度，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
如图所示:、
∵AB= BC= CD= DA，
，，
∵菱形的周长为16cm,
∴cm，
∴cm，
∴cm
∴cm
cm
∴菱形的面积=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30° 角的直角三角形的性质、勾股定理;熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
14．
【解析】
【分析】
由题意得△ABC是等边三角形，根据平行四边形的性质BO⊥AC，从而由勾股定理求得OB的长，即可求得△BOC的周长．
【详解】
∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴BC=AB=4
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴BO⊥AC，∠OBC=
∴由勾股定理得：
∴△OBC的周长为：BC+OC+OB=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，判定△ABC是等边三角形是关键．
15．5或8或
【解析】
【分析】
求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA=AB=5cm时，②当P和C重合时，PB=AB=5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，求出即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm，
∴AC⊥BD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm，
由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm，
分为三种情况：①如图1，当PA=AB=5cm时，t=5÷1=5（s）；
②如图2，当P和C重合时，PB=AB=5cm，t=8÷1=8（s）；
③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，
在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2，
AP2=32+（4﹣AP）2，
AP=；
t=÷1=（s），
故答案为5或8或．
【点睛】
考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况．
16．
【解析】
【分析】
连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA PE+OB PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【详解】
解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA PE+OB PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17．见解析
【解析】
【分析】
利用AAS证得后即可证得结论．
【详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AOE和△COF全等，难度不大．
18．证明见解析
【解析】
【分析】
如图，连接 交于 证明再证明从而可得结论.
【详解】
证明：如图，连接 交于
,
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质与判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是证题的关键.
19．见解析
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DF∥AC，得到四边形DEAF是平行四边形，得到四边形DEAF是矩形，根据矩形的性质证明即可．
【详解】
证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵∠CAB＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）90°
【解析】
【分析】
（1）由四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，得AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，利用SAS可证得△ABP≌△CBP即可证明PC＝PE．
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，从而得∠DAP＝∠DCP，再由PA＝PE即可证出∠DCP＝∠E，进而可证出∠CPE＝∠EDF＝90°．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．进而利用菱形的判定证明即可；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形，进而根据菱形和正方形的判定证明即可．
【详解】
证明：（1）∵ ABCD，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一）
即 BD⊥AC，
∴ ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵ ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
【点睛】
本题考查菱形和正方形的判定，解题关键是要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理．
22．（1）证明见解析，AF＝5；（2）①t＝秒；②
【解析】
【分析】
（1）先证明△AOE≌△COF得到OE＝OF， 然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求AF的长；
（2）①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②由①的结论用v1、v2表示出A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时所需的时间，计算即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC．
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴AF＝5；
（2）①解：根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形，
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得：t＝，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒；
②如图3，由①得，PC＝QA时，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
设运动时间为y秒，
则yv1＝12﹣yv2，
解得，y＝，
∴a＝×v1，b＝×v2，
∴，
如图4，当AP＝CQ时．四边形APCQ是平行四边形，
则yv2＝12﹣yv1，
解得：y＝，
同理可得，，
如图5，当AP＝CQ时，四边形APCQ是平行四边形，
则yv1＝12﹣yv2，
解得，y＝，
∴a＝×v1，b＝×v2，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)