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选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的极值
一、单选题
1．（2022·昆明模拟）若是函数的极值点，则的极大值为（ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为，
故可得，
因为是函数的极值点，故可得，
即，解得，
此时
令，解得，
由可得或；由可得，
所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极大值点为，
则的极大值为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，再结合 是函数的极值点，进而求出a的值，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值。
2．（2022·红河模拟）已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）
①函数的图象关于点对称；
②函数由三个零点；
③是函数的极值点；
④不等式的解集是.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；图形的对称性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】，
令，则，
所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故①正确：
又因为，
所以在R上单调递减，所以在R上单调递减，
所以只有一个零点且无极值点，故②③错误；
由得，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故④正确：综上所述，正确的个数是2个。
故答案为：B
【分析】利用，令，再利用奇函数的定义，从而判断出函数是奇函数，再利用奇函数的图象的对称性，所以的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称；再利用已知条件结合函数的单调性，进而判断出函数只有一个零点且无极值点；再由得，所以，再结合函数的单调性，所以，再结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数m的取值范围，从而找出正确的个数。
3．若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 .
又因为 ，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出ab的最大值。
4．（2021高三上·河南月考）在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的最小值是
A．0 B． C． D．-1
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac），又∵函数有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2-4（a2+c2-ac）＞0，即ac＞a2+c2-b2，即ac＞2accosB；即cosB＜，故∠B的范围是（所以，当 时的最小值是-1
故答案为：D
【分析】先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac），从而得函数有极值点，得出x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根，再利用余弦定理求解B的范围，再根据正弦函数的性质即可求出 的最小值 。
5．（2021高三上·运城期中）已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ 。
故答案为：B
【分析】由已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用 和函数 有两个不同的极值点 ， ，令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，再结合韦达定理和判别式法，得出实数a的取值范围，再利用 ，且 ，再利用代入法得出 ，从而得出 ，令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为增函数，从而求出函数的值域，进而求出实数t的取值范围。
6．（2021高三上·怀仁期中）已知函数 ， 为奇函数，则下列叙述四个结论中正确的是（ ）
A．
B． 在 上存在零点，则a的最小值为
C． 在 上单调递增
D． 在 有且仅有一个极大值点
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数；函数在某点取得极值的条件；函数零点的判定定理
【解析】【解答】 ，所以
因为 是奇函数，所以 ， ，解得： ，
因为 ，所以 ，解得： ，因为 ，所以 ，此时 ， ，A选项错误；
，当 时，显然 ， ，要想 存在零点，需要 ，解得： ，所以a的最小值为 ，B不符合题意；
，当 时， ，因为 在 单调递减，所以 在 单调递增，C选项正确；
，令 得： ， ，当 时， ，令 得： ， ，当 时， ，所以 在 上成立， 在 上成立，所以 在此区间上有一个极小值点，无极大值点，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而求出其导函数，再结合辅助角公式得出，再利用函数 是奇函数，再结合奇函数的定义得出 ， ，再利用 ，得出实数k的取值范围，再利用 ，从而得出实数k的值，进而求出此时 的值 ，再结合正切函数的定义，从而求出 的值；再利用已知条件结合零点存在性定理得出实数a的取值范围，进而求出实数a的最小值；再利用已知条件结合增函数的定义，从而判断出函数 在 上单调递增 ；利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 在 上有一个极小值点，无极大值点，进而找出结论正确的选项。
7．函数 在 时有极值10，那么（ ）
A． B．
C． 或 D．以上均不正确
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 ，
，
或 ，经检验，当 时， 不是极值点，故 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合函数 在 时有极值10 ，从而解方程组求出a，b的值，再结合检验的方法结合已知条件，进而求出满足要求的实数a，b的值。
8．已知函数 的两个极值点为 ，则 （ ）
A．9 B．-9 C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】令 ，则 就是其两个根，由根与系数的关系知 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合函数 的两个极值点为 ， 令 ，则 就是其两个根，再结合韦达定理，从而求出的值。
9．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ( 且 ， )的一个极值点为2，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对 求导得： ，因函数 的一个极值点为2，则 ，
此时， ， ，
因 ，即 ，因此，在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，则有 ，又 ， ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 的最小值为 .
故答案为：B
【分析】首先由已知条件对函数求导，结合极值的定义即可得到，由此计算出，由此得到导函数的解析式，从而得出在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，由此得到，由此整理化简原式再由基本不等式即可求出原式的最小值即可。
10．（2021高三上·河南月考）若函数 在 上恰有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由于 ，
所以 ，
要使 在 上恰有两个不同的极值点，
则 在 上有两个不同的解，
令 ，
即二次函数 在 上有两个不同的解，
所以 ，解得 。
故答案为：B
【分析】由于 ，再利用导数的运算法则从而求出函数的导函数，要使 在 上恰有两个不同的极值点，则 在 上有两个不同的解，令 ，即二次函数 在 上有两个不同的解，从而结合二次函数的图象，进而求出实数a的取值范围。
11．（2021高三上·月考）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 只有一个极值点
B．函数 的值域为
C．当 ，且 时，函数 的取值范围是
D．若函数 有4个不同的零点，则 .
【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】依题意，当 时， 在 上单调递减，则 值的范围是 ，
当 时， ， ，
当 或 时， ，当 时， ，则 在 和 上都单调递增，在 上单调递减，
在 处， 取得极大值 ，在 处， 取得极小值 ，f(x)>3，
函数 的大致图象如图所示，
观察图象可得函数 有3个极值点，值域为 ，A，B都不正确；
对于C， ， ，当 时， 在 上递减， ，
在 上递增， ，从而有 ，
当 时， ，又 在 上递增， ，从而有 ，
综上得：函数 的取值范围是 ，C符合题意；
对于D，函数 ，
令 ，而 ，则 ，因函数 有4个不同的零点，则函数 的图象与直线 有4个交点，
于是得 ，D不正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象，从而判断出函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而求出函数的值域，再利用函数零点的求解方法，从而求出实数a的取值范围，进而找出说法正确的选项。
二、多选题
12．（2021高二上·丽水期末）已知函数 的极大值点为 ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 ，
，
令 ， 或 ，由题意可知， .
函数 的极大值点为 ，
或 .即 或 .
所以 ，A符合题意， ，B符合题意，
， 时， 正确， 时 错误，则C不符合题意，
，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再结合函数 的极大值点为 ， 得出 或 ，从而得出 ，进而得出 ，再利用韦达定理得出 ，当 时， 正确，当 时， 错误，再结合韦达定理得出 ，从而找出正确的选项。
13．（2021高三上·丹东期末）函数，已知在有且仅有5个零点，下面结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在单调递增
C．在有且仅有3个极大值点
D．在有且仅有2个极小值点
【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】令，解得，
因为在有且仅有5个零点，
所以，解得，A符合题意；
因为，则，函数在上递增，B符合题意；
的大致图象如图所示：
因为在有且仅有5个零点，
所以所对应的位置应该在x轴的第5和第6个零点之间，
所以在这段范围内在有2或3个极大值点，有且仅有2个极小值点，C不符合题意D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】令，解得，再利用已知条件函数在有且仅有5个零点结合零点存在性定理，得出 的取值范围；再利用，则，再利用正弦型函数的图象判断出正弦型函数 在单调递增；再利用正弦型函数的单调性，从而求出正弦型函数的极值点，进而求出正弦型函数的极值点个数，从而找出结论正确的选项。
14．定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．-3是f(x)的一个极小值点
B．-2和-1都是f(x)的极大值点
C．f(x)的单调递增区间是(-3，+∞)
D．f(x)的单调递减区间是(-∞，-3)
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】当 时， 时， ，所以-3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是 ，单调递减区间是 ， 。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合导函数的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值点，从而找出结论正确的选项。
15．若函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A．函数y=f(x)在区间(-3，- )上单调递增
B．函数y=f(x)在区间(- ，3)上单调递减
C．函数y=f(x)在区间(4，5)内单调递增
D．当x=2时，函数y=f(x)有极大值
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对于 选项，当 时， ，则函数 在区间 上单调递减， 选项错误；
对于 选项，当 时， ，则函敉 在区间 上单调递增，B选项错误；
对于 选项，当 时， ，则函牧 在区间（4，5）上单调递增，C选项正确，对于D选项当 时， ，当 时， ，所以，函数 在 处取得极大值，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合导函数的图象，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 y=f(x)在区间(4，5)内单调递增，再利用函数的单调性，从而求出函数当x=2时的函数y=f(x)的极大值，进而找出判断正确的选项。
三、填空题
16．已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，因为原函数既有极大值又有极小值，所以方程 有两个不同的实根，即 ，解得 或 。
【分析】利用已知条件结合导数求极值的方法，所以方程 有两个不同的实根，再结合判别式法，进而iuc实数a的取值范围。
17．（2021高三上·茂名月考）已知函数 ，则其极大值与极小值的和为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，
，
， 或 ，
∴ 在 上单调递减， 上单调递增， 上单调递减，
， ．
则其极大值与极小值的和为 .
故答案为：
【分析】根据题意首先对函数求导，再由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值以及极值。
18．（2021高二下·朝阳期末）函数 的定义域为 ，极大值点的集合为 .
【答案】；
【知识点】利用导数研究函数的极值；余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】依题意得 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ；
，
由 ，即 得 ，
时， ， 时， ，于是得 是 极小值点，
时 ， 时 ，
时， ， 时， ，于是得 是 极大值点，
所以极大值点的集合为 .
故答案为： ；
【分析】依题意得 ，即 ，求解可得函数 的定义域；求导，可得函数的极大值。
19．（2021高二下·天津期中）若函数 在区间 内存在极大值，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】依题意得： ，由 得x=0，x=2，
x<0或x>2时， ， 0所以0是f(x)的极大值点，2是f(x)的极小值点，
因函数 在区间 内存在极大值，
所以 ，即 .
故答案为：
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数f(x)的极值，结合已知条件由极值的定义即可得出a的取值范围。
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选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的极值
一、单选题
1．（2022·昆明模拟）若是函数的极值点，则的极大值为（ ）
A．-1 B． C． D．1
2．（2022·红河模拟）已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）
①函数的图象关于点对称；
②函数由三个零点；
③是函数的极值点；
④不等式的解集是.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．（2021高三上·河南月考）在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的最小值是
A．0 B． C． D．-1
5．（2021高三上·运城期中）已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高三上·怀仁期中）已知函数 ， 为奇函数，则下列叙述四个结论中正确的是（ ）
A．
B． 在 上存在零点，则a的最小值为
C． 在 上单调递增
D． 在 有且仅有一个极大值点
7．函数 在 时有极值10，那么（ ）
A． B．
C． 或 D．以上均不正确
8．已知函数 的两个极值点为 ，则 （ ）
A．9 B．-9 C．1 D．-1
9．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ( 且 ， )的一个极值点为2，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
10．（2021高三上·河南月考）若函数 在 上恰有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高三上·月考）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 只有一个极值点
B．函数 的值域为
C．当 ，且 时，函数 的取值范围是
D．若函数 有4个不同的零点，则 .
二、多选题
12．（2021高二上·丽水期末）已知函数 的极大值点为 ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
13．（2021高三上·丹东期末）函数，已知在有且仅有5个零点，下面结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在单调递增
C．在有且仅有3个极大值点
D．在有且仅有2个极小值点
14．定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．-3是f(x)的一个极小值点
B．-2和-1都是f(x)的极大值点
C．f(x)的单调递增区间是(-3，+∞)
D．f(x)的单调递减区间是(-∞，-3)
15．若函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A．函数y=f(x)在区间(-3，- )上单调递增
B．函数y=f(x)在区间(- ，3)上单调递减
C．函数y=f(x)在区间(4，5)内单调递增
D．当x=2时，函数y=f(x)有极大值
三、填空题
16．已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是 .
17．（2021高三上·茂名月考）已知函数 ，则其极大值与极小值的和为 ．
18．（2021高二下·朝阳期末）函数 的定义域为 ，极大值点的集合为 .
19．（2021高二下·天津期中）若函数 在区间 内存在极大值，则a的取值范围是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为，
故可得，
因为是函数的极值点，故可得，
即，解得，
此时
令，解得，
由可得或；由可得，
所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极大值点为，
则的极大值为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，再结合 是函数的极值点，进而求出a的值，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值。
2．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；图形的对称性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】，
令，则，
所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故①正确：
又因为，
所以在R上单调递减，所以在R上单调递减，
所以只有一个零点且无极值点，故②③错误；
由得，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故④正确：综上所述，正确的个数是2个。
故答案为：B
【分析】利用，令，再利用奇函数的定义，从而判断出函数是奇函数，再利用奇函数的图象的对称性，所以的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称；再利用已知条件结合函数的单调性，进而判断出函数只有一个零点且无极值点；再由得，所以，再结合函数的单调性，所以，再结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数m的取值范围，从而找出正确的个数。
3．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 .
又因为 ，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出ab的最大值。
4．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac），又∵函数有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2-4（a2+c2-ac）＞0，即ac＞a2+c2-b2，即ac＞2accosB；即cosB＜，故∠B的范围是（所以，当 时的最小值是-1
故答案为：D
【分析】先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac），从而得函数有极值点，得出x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根，再利用余弦定理求解B的范围，再根据正弦函数的性质即可求出 的最小值 。
5．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ 。
故答案为：B
【分析】由已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用 和函数 有两个不同的极值点 ， ，令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，再结合韦达定理和判别式法，得出实数a的取值范围，再利用 ，且 ，再利用代入法得出 ，从而得出 ，令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为增函数，从而求出函数的值域，进而求出实数t的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数；函数在某点取得极值的条件；函数零点的判定定理
【解析】【解答】 ，所以
因为 是奇函数，所以 ， ，解得： ，
因为 ，所以 ，解得： ，因为 ，所以 ，此时 ， ，A选项错误；
，当 时，显然 ， ，要想 存在零点，需要 ，解得： ，所以a的最小值为 ，B不符合题意；
，当 时， ，因为 在 单调递减，所以 在 单调递增，C选项正确；
，令 得： ， ，当 时， ，令 得： ， ，当 时， ，所以 在 上成立， 在 上成立，所以 在此区间上有一个极小值点，无极大值点，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而求出其导函数，再结合辅助角公式得出，再利用函数 是奇函数，再结合奇函数的定义得出 ， ，再利用 ，得出实数k的取值范围，再利用 ，从而得出实数k的值，进而求出此时 的值 ，再结合正切函数的定义，从而求出 的值；再利用已知条件结合零点存在性定理得出实数a的取值范围，进而求出实数a的最小值；再利用已知条件结合增函数的定义，从而判断出函数 在 上单调递增 ；利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 在 上有一个极小值点，无极大值点，进而找出结论正确的选项。
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 ，
，
或 ，经检验，当 时， 不是极值点，故 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合函数 在 时有极值10 ，从而解方程组求出a，b的值，再结合检验的方法结合已知条件，进而求出满足要求的实数a，b的值。
8．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】令 ，则 就是其两个根，由根与系数的关系知 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合函数 的两个极值点为 ， 令 ，则 就是其两个根，再结合韦达定理，从而求出的值。
9．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对 求导得： ，因函数 的一个极值点为2，则 ，
此时， ， ，
因 ，即 ，因此，在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，则有 ，又 ， ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 的最小值为 .
故答案为：B
【分析】首先由已知条件对函数求导，结合极值的定义即可得到，由此计算出，由此得到导函数的解析式，从而得出在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，由此得到，由此整理化简原式再由基本不等式即可求出原式的最小值即可。
10．【答案】B
【知识点】二次函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由于 ，
所以 ，
要使 在 上恰有两个不同的极值点，
则 在 上有两个不同的解，
令 ，
即二次函数 在 上有两个不同的解，
所以 ，解得 。
故答案为：B
【分析】由于 ，再利用导数的运算法则从而求出函数的导函数，要使 在 上恰有两个不同的极值点，则 在 上有两个不同的解，令 ，即二次函数 在 上有两个不同的解，从而结合二次函数的图象，进而求出实数a的取值范围。
11．【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】依题意，当 时， 在 上单调递减，则 值的范围是 ，
当 时， ， ，
当 或 时， ，当 时， ，则 在 和 上都单调递增，在 上单调递减，
在 处， 取得极大值 ，在 处， 取得极小值 ，f(x)>3，
函数 的大致图象如图所示，
观察图象可得函数 有3个极值点，值域为 ，A，B都不正确；
对于C， ， ，当 时， 在 上递减， ，
在 上递增， ，从而有 ，
当 时， ，又 在 上递增， ，从而有 ，
综上得：函数 的取值范围是 ，C符合题意；
对于D，函数 ，
令 ，而 ，则 ，因函数 有4个不同的零点，则函数 的图象与直线 有4个交点，
于是得 ，D不正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象，从而判断出函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而求出函数的值域，再利用函数零点的求解方法，从而求出实数a的取值范围，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 ，
，
令 ， 或 ，由题意可知， .
函数 的极大值点为 ，
或 .即 或 .
所以 ，A符合题意， ，B符合题意，
， 时， 正确， 时 错误，则C不符合题意，
，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再结合函数 的极大值点为 ， 得出 或 ，从而得出 ，进而得出 ，再利用韦达定理得出 ，当 时， 正确，当 时， 错误，再结合韦达定理得出 ，从而找出正确的选项。
13．【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】令，解得，
因为在有且仅有5个零点，
所以，解得，A符合题意；
因为，则，函数在上递增，B符合题意；
的大致图象如图所示：
因为在有且仅有5个零点，
所以所对应的位置应该在x轴的第5和第6个零点之间，
所以在这段范围内在有2或3个极大值点，有且仅有2个极小值点，C不符合题意D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】令，解得，再利用已知条件函数在有且仅有5个零点结合零点存在性定理，得出 的取值范围；再利用，则，再利用正弦型函数的图象判断出正弦型函数 在单调递增；再利用正弦型函数的单调性，从而求出正弦型函数的极值点，进而求出正弦型函数的极值点个数，从而找出结论正确的选项。
14．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】当 时， 时， ，所以-3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是 ，单调递减区间是 ， 。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合导函数的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值点，从而找出结论正确的选项。
15．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对于 选项，当 时， ，则函数 在区间 上单调递减， 选项错误；
对于 选项，当 时， ，则函敉 在区间 上单调递增，B选项错误；
对于 选项，当 时， ，则函牧 在区间（4，5）上单调递增，C选项正确，对于D选项当 时， ，当 时， ，所以，函数 在 处取得极大值，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合导函数的图象，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 y=f(x)在区间(4，5)内单调递增，再利用函数的单调性，从而求出函数当x=2时的函数y=f(x)的极大值，进而找出判断正确的选项。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，因为原函数既有极大值又有极小值，所以方程 有两个不同的实根，即 ，解得 或 。
【分析】利用已知条件结合导数求极值的方法，所以方程 有两个不同的实根，再结合判别式法，进而iuc实数a的取值范围。
17．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，
，
， 或 ，
∴ 在 上单调递减， 上单调递增， 上单调递减，
， ．
则其极大值与极小值的和为 .
故答案为：
【分析】根据题意首先对函数求导，再由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值以及极值。
18．【答案】；
【知识点】利用导数研究函数的极值；余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】依题意得 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ；
，
由 ，即 得 ，
时， ， 时， ，于是得 是 极小值点，
时 ， 时 ，
时， ， 时， ，于是得 是 极大值点，
所以极大值点的集合为 .
故答案为： ；
【分析】依题意得 ，即 ，求解可得函数 的定义域；求导，可得函数的极大值。
19．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】依题意得： ，由 得x=0，x=2，
x<0或x>2时， ， 0所以0是f(x)的极大值点，2是f(x)的极小值点，
因函数 在区间 内存在极大值，
所以 ，即 .
故答案为：
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数f(x)的极值，结合已知条件由极值的定义即可得出a的取值范围。
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