第27章 圆----华师大版九年级下册单元试卷
一、单选题
1．（2021九上·宁波期中）如从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·余杭期中）如图，点A，B，C在圆O上，若∠OBC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．（2021九上·宁波期中）⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
4．（2021九上·汉滨期中）如图， 是 的外接圆，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·安吉期末）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．5π B．10π C．15π D．20π
6．（2021九上·富裕期末）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
7．（2021九上·建华期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠OCB的度数等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．（2021九上·江油期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
9．（2021九上·嘉祥月考）如图，AB为的直径，点P为AB延长线上的一点，过点Р作的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确个数是（ ）
①AM平分；②；③若，，则BM的长为；④若，，则有．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2021·锡山模拟）如图，矩形 中， ，以 为圆心，3为半径作 ， 为 上一动点，连接 ，以 为直角边作 ，使 ， ，则点 与点 的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·龙泉期中）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为 .
12．（2021九上·乐清月考）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则 的长为 cm.
13．（2021九上·永吉期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为 ．
14．（2021九上·集贤期末）⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 ．
15．（2021九上·东平月考）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
16．（2021九上·龙泉期中）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 ∠B＝30°，则BC的长为 .
17．（2021九上·义乌期中）如图，在 ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为 ，连结 ， .在运动过程中，点 到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段 扫过的面积为 .
三、作图题
18．（2021九上·龙泉期中）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图.（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图②中的圆上找一点E，使OE平分AC.
四、解答题
19．（2021九上·永年月考）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB＝8，∠A＝22.5°，求CD的长．
20．（2021·香洲模拟）如图， ， 分别与⊙O相切于 ， 两点，点 在⊙O上，已知 ，求 的度数．
21．（2021·阳西模拟）如图，在Rt 中， ， ， ，点 在线段 上，且 ，以点 为圆心， 为半径的 交线段 于点 ，交线段 的延长线于点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ．
五、综合题
22．（2021·永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q.求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q.
23．（2021九上·泰兴期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是
；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是C.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角等于直角逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
又∠OBC＝40°，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣2×40°＝100°，
∴∠A＝ ∠BOC＝50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB＝40°，利用内角和定理可得∠BOC＝100°，然后根据圆周角定理求解即可.
3．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=7>r=6，
∴直线与 ⊙O 相离.
故答案为：C.
【分析】直线与圆的位置关系有：当d>r时，相离；当d=r时，相切；当d4．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC＝2∠ABC，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 圆心角度数为60°，半径为30，
∴这个圆心角所对的弧长为.
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式：（n为圆心角的度数，R为圆的半径），代入计算求出这个圆心角所对的弧长.
6．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，
由旋转的性质可得，，
，
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质可得：阴影部分的面积为扇形的面积，，再利用扇形面积公式求解即可。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，∠A=50°，
故答案为：C
【分析】先求出∠BOC=100°，再根据OB=OC计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
∵点D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，
∴，∠AED=∠DEB=90°，DF=2DE，
∴∠ADE=∠B，AC=DF，
∴△AED∽△DEB，
∴，
∴DE2=AE·BE=3×（15-3）=36，
∴DE=6，
∴DF=2DE=12，
∴AC=DF=12.
故答案为：C.
【分析】连接AD，BD，根据垂径定理和圆周角定理得出∠ADE=∠B，DF=2DE，再根据等弧所对的弦相等得出AC=DF，利用相似三角形的判定与性质得出DE=6，从而得出DF=12，即可得出AC=12.
9．【答案】B
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OM，BM，
∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM=∠AMO，
∵OA=OM，
∠OAM=∠AMO，
∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB，故①符合题意；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵∠CAM=∠MAB，∠ACM=∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴，
∴AM2=AC AB，故②符合题意；
∵∠APE=30°，
∴∠MOP=∠OMP-∠APE=90°-30°=60°，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴的长为，故③不符合题意；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴，
∴PB=PA，
∴PB＝AB，BD=OM，
∴PB=OB=OA，
∴在Rt△OMP中，OM=2BD=2，
∴OP=4，
∴∠OPM=30°，
∴PM=2，
∴CM=DM=DP=，故④符合题意．
∴正确的结论为①②④，共3个，
故答案为：B．
【分析】先求出OM∥AC，再利用弧长公式，相似三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，DE．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹是以 为圆心1为半径的圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：A．
【分析】取AB证得△FAG∽△EAD，得到FG∶DE=AF∶AE=1∶3，即FG=1 ，点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，当点F、G、C三点共线时，CF最小，在Rt△GBC中，BC=9，BG=3，勾股定理得出GC的长，进而由CF=GC-FG，即可得到结果.
11．【答案】36
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图， 度数为80°，弧长为16π，设半径为 ，
解得
故答案为：36.
【分析】画出示意图，由题意可得∠AOB=80°，设半径为r，然后结合弧长公式建立方程，求解即可.
12．【答案】15π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AB=32cm，BD=14cm，
∴AD=18cm
∴ DE= =15π.
故答案为： .
【分析】根据AB、BD的值可得AD，然后结合弧长公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接．
，
（垂径定理），
故 ，
即可得阴影部分的面积等于扇形的面积，
又，
（圆周角定理），
，
故，即阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】先求出 ，再求出OC=2，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
14．【答案】3或1
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为：1或3．
【分析】先求出BD=BC=，再利用勾股定理计算求解即可。
15．【答案】6
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
【分析】先求出△BOC是等边三角形，再求解即可。
16．【答案】14
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点O作 ，交 于点 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
是等腰直角三角形
，
在 中
在 中
设 ，则 ，
在 中，
，
，
即
解得
在 中，
.
故答案为：14.
【分析】过点O作EF⊥AB，交AB于点E，交BC于点F，取BC的中点D，连接OD，由垂径定理得BC=2BD，易得△AOE是等腰直角三角形，求出AE、OE、BE的值，在Rt△OBE中，由勾股定理得OB，设FD=x，则OF=2x，OD=x，EF=2+2x，由∠EBF=30°得BF=2EF，据此可得x，求出OD，然后在Rt△OBD中，应用勾股定理求出BD，进而可得BC.
17．【答案】；（1+ ）π﹣1﹣
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H.
Rt△ABH中，BH＝AB sin30°＝1，AH＝ BH＝ ，
在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝1，
∴AC＝CA′＝1+ ，
当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，
设CA′交AB的延长线于K.
在Rt△ACK中，CK＝AC sin30°＝ ，
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+ ﹣ ＝ .
如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝ ﹣2× ×（1+ ）×1＝（1+ ）π﹣1﹣ .
故答案为： ，（1+ ）π﹣1﹣ .
【分析】过点B作BH⊥AC于H，易得 BH＝1，AH=，CH＝BH＝1，AC＝CA′＝1+，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，设CA′交AB的延长线于K，根据三角函数的概念求出CK，进而得到A′K；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA-2S△ABC，然后结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
18．【答案】（1）解：如图，根据圆的直径所对的圆周角等于 ，找到圆与格点的交点即可；
（2）解：如图，根据垂径定理找到 的垂直平分线与圆的交点即可，找到等腰三角形 ，则 ，作直线 与圆的交点即为所求的点 ，则OE平分AC.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆的直径所对的圆周角等于90°，找到圆与格点的交点，再连接DA、DB即可；
（2）找到等腰△AFC，则FA=FC，作直线OF与圆的交点即为所求的点E，则OE平分AC.
19．【答案】解：∵AB=8，
∴OC=OA=4，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=2∠A=45°，
∴CE=OE
∵直径AB垂直弦CD于E，
∴，即
∴，
∴CD＝．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】先求出 OC=OA=4， 再求出 CE=OE ，最后计算求解即可。
20．【答案】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】连接OA、OB，PA、PB是⊙O切线，得出PA⊥OA，PB⊥OB，∠PAO=∠PBO=90°，由∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，得出∠P=180°-∠AOB，由此得出 的度数．
21．【答案】（1）如图，过点 作 于点 ．
在 中， ．
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即OH为⊙O半径．
又∵ ，
∴ 是 的切线．
（2）如图，连接 ， ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ∽ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点O作OH垂直AB于H，由勾股定理求出AB的长，由面积法可求出OH==OC，即可求出结论；
（2）连接CD，EC，通过证明 ∽ ．可得，由DE=AC=3，可得结论。
22．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
（2）证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴ ，
∴AC2＝AB AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD AO.
（3）解：∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝ ∠CAB，∠QBM＝ ∠CBM，
∵∠Q是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝ （∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝45°，
∴∠P＝∠Q.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连接OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠OAC，根据角平分线的概念可得∠BAE＝2∠OAC，进而推出∠BAE＝∠BOC，得到CO∥AD，据此判断；
（2）由角平分线的概念可得∠BAC＝∠CAD，由圆周角定理可得∠BCA＝90°，证明△BAC∽△CAD，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）由角平分线的概念可得∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，由外角的性质可得∠Q＝∠QBM-∠QAM=(∠CBM-∠CAM)，∠ACB＝∠CBM-∠CAM，得到∠Q＝∠ACB＝45°，同理可证：∠P＝45°，据此解答.
23．【答案】（1）B2C2
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），⊙O的半径为1
∴ 轴
分 在x轴上方和x轴上方两种情况：
当 在x轴上方时， 与 轴相交于点 ，见下图：
∵
∴
∴
∵△ABC是边长为1的等边三角形，即△ 是边长为1的等边三角形，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ；
当 在x轴上方时， 与 轴相交于点 ，见下图：
同理，
∴ ；
∴ ；
∴ 或 ；
（3）当 为⊙O的直径时， 取最小值，如下图：
∴ 最小值为1，
∴ ；
当 、 、 三点共线时， 取最大值， ，如下图：
作 交 于点E，作 交 于点F，如下图
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ 最小值为1，相应的 ； 最大值为2，相应的 .
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）线段B1C1绕点A旋转得到的 ，均不能成为⊙O的弦
∴线段B1C1不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
线段B2C2绕点A旋转得到的 ，如下图：
∴线段B2C2是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
线段B3C3绕点A旋转得到的 ，均不能成为⊙O的弦
∴线段B3C3不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
故答案为：B2C2；
【分析】（1）线段B1C1绕点A旋转得到的B1′C1′，均不能成为⊙O的弦，线段B2C2绕点A旋转得到的 B2′C2′，线段B3C3绕点A旋转得到的B3′C3′，均不能成为⊙O的弦，然后结合“关联线段”的概念进行判断；
（2）当B′C′在x轴上方时，B′C′与y轴相交于点D，求出B′D、OD的值，根据等边三角形的性质可得∠AC′D=∠OC′D，AD⊥B′C′，证明△AC′D≌△OC′D，得到AD、AO的值，进而得到t；当B′C′在x轴上方时，B′C′与y轴相交于点D，同理可得AO，求出点A的坐标，得到t的值；
（3）当AC′为⊙O的直径时，OA取最小值1，利用勾股定理可得BC的值；当A、B′、O三点共线时， OA取最大值2，作AE⊥OC′交OC′于点E，作C′F⊥AO交AO于点F，由等腰三角形的性质可得OE=，由勾股定理求出AE，然后根据三角形的面积公式求出C′F，由勾股定理求出OF，进而得到B′F、BC的值.
1 / 1第27章 圆----华师大版九年级下册单元试卷
一、单选题
1．（2021九上·宁波期中）如从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是C.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角等于直角逐一判断即可.
2．（2021九上·余杭期中）如图，点A，B，C在圆O上，若∠OBC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
又∠OBC＝40°，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣2×40°＝100°，
∴∠A＝ ∠BOC＝50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB＝40°，利用内角和定理可得∠BOC＝100°，然后根据圆周角定理求解即可.
3．（2021九上·宁波期中）⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=7>r=6，
∴直线与 ⊙O 相离.
故答案为：C.
【分析】直线与圆的位置关系有：当d>r时，相离；当d=r时，相切；当d4．（2021九上·汉滨期中）如图， 是 的外接圆，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC＝2∠ABC，据此解答.
5．（2021九上·安吉期末）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．5π B．10π C．15π D．20π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 圆心角度数为60°，半径为30，
∴这个圆心角所对的弧长为.
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式：（n为圆心角的度数，R为圆的半径），代入计算求出这个圆心角所对的弧长.
6．（2021九上·富裕期末）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，
由旋转的性质可得，，
，
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质可得：阴影部分的面积为扇形的面积，，再利用扇形面积公式求解即可。
7．（2021九上·建华期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠OCB的度数等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，∠A=50°，
故答案为：C
【分析】先求出∠BOC=100°，再根据OB=OC计算求解即可。
8．（2021九上·江油期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
∵点D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，
∴，∠AED=∠DEB=90°，DF=2DE，
∴∠ADE=∠B，AC=DF，
∴△AED∽△DEB，
∴，
∴DE2=AE·BE=3×（15-3）=36，
∴DE=6，
∴DF=2DE=12，
∴AC=DF=12.
故答案为：C.
【分析】连接AD，BD，根据垂径定理和圆周角定理得出∠ADE=∠B，DF=2DE，再根据等弧所对的弦相等得出AC=DF，利用相似三角形的判定与性质得出DE=6，从而得出DF=12，即可得出AC=12.
9．（2021九上·嘉祥月考）如图，AB为的直径，点P为AB延长线上的一点，过点Р作的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确个数是（ ）
①AM平分；②；③若，，则BM的长为；④若，，则有．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OM，BM，
∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM=∠AMO，
∵OA=OM，
∠OAM=∠AMO，
∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB，故①符合题意；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵∠CAM=∠MAB，∠ACM=∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴，
∴AM2=AC AB，故②符合题意；
∵∠APE=30°，
∴∠MOP=∠OMP-∠APE=90°-30°=60°，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴的长为，故③不符合题意；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴，
∴PB=PA，
∴PB＝AB，BD=OM，
∴PB=OB=OA，
∴在Rt△OMP中，OM=2BD=2，
∴OP=4，
∴∠OPM=30°，
∴PM=2，
∴CM=DM=DP=，故④符合题意．
∴正确的结论为①②④，共3个，
故答案为：B．
【分析】先求出OM∥AC，再利用弧长公式，相似三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
10．（2021·锡山模拟）如图，矩形 中， ，以 为圆心，3为半径作 ， 为 上一动点，连接 ，以 为直角边作 ，使 ， ，则点 与点 的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，DE．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹是以 为圆心1为半径的圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：A．
【分析】取AB证得△FAG∽△EAD，得到FG∶DE=AF∶AE=1∶3，即FG=1 ，点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，当点F、G、C三点共线时，CF最小，在Rt△GBC中，BC=9，BG=3，勾股定理得出GC的长，进而由CF=GC-FG，即可得到结果.
二、填空题
11．（2021九上·龙泉期中）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为 .
【答案】36
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图， 度数为80°，弧长为16π，设半径为 ，
解得
故答案为：36.
【分析】画出示意图，由题意可得∠AOB=80°，设半径为r，然后结合弧长公式建立方程，求解即可.
12．（2021九上·乐清月考）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则 的长为 cm.
【答案】15π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AB=32cm，BD=14cm，
∴AD=18cm
∴ DE= =15π.
故答案为： .
【分析】根据AB、BD的值可得AD，然后结合弧长公式进行计算.
13．（2021九上·永吉期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接．
，
（垂径定理），
故 ，
即可得阴影部分的面积等于扇形的面积，
又，
（圆周角定理），
，
故，即阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】先求出 ，再求出OC=2，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
14．（2021九上·集贤期末）⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 ．
【答案】3或1
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为：1或3．
【分析】先求出BD=BC=，再利用勾股定理计算求解即可。
15．（2021九上·东平月考）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
【答案】6
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
【分析】先求出△BOC是等边三角形，再求解即可。
16．（2021九上·龙泉期中）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 ∠B＝30°，则BC的长为 .
【答案】14
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点O作 ，交 于点 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
是等腰直角三角形
，
在 中
在 中
设 ，则 ，
在 中，
，
，
即
解得
在 中，
.
故答案为：14.
【分析】过点O作EF⊥AB，交AB于点E，交BC于点F，取BC的中点D，连接OD，由垂径定理得BC=2BD，易得△AOE是等腰直角三角形，求出AE、OE、BE的值，在Rt△OBE中，由勾股定理得OB，设FD=x，则OF=2x，OD=x，EF=2+2x，由∠EBF=30°得BF=2EF，据此可得x，求出OD，然后在Rt△OBD中，应用勾股定理求出BD，进而可得BC.
17．（2021九上·义乌期中）如图，在 ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为 ，连结 ， .在运动过程中，点 到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段 扫过的面积为 .
【答案】；（1+ ）π﹣1﹣
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H.
Rt△ABH中，BH＝AB sin30°＝1，AH＝ BH＝ ，
在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝1，
∴AC＝CA′＝1+ ，
当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，
设CA′交AB的延长线于K.
在Rt△ACK中，CK＝AC sin30°＝ ，
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+ ﹣ ＝ .
如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝ ﹣2× ×（1+ ）×1＝（1+ ）π﹣1﹣ .
故答案为： ，（1+ ）π﹣1﹣ .
【分析】过点B作BH⊥AC于H，易得 BH＝1，AH=，CH＝BH＝1，AC＝CA′＝1+，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，设CA′交AB的延长线于K，根据三角函数的概念求出CK，进而得到A′K；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA-2S△ABC，然后结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
三、作图题
18．（2021九上·龙泉期中）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图.（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图②中的圆上找一点E，使OE平分AC.
【答案】（1）解：如图，根据圆的直径所对的圆周角等于 ，找到圆与格点的交点即可；
（2）解：如图，根据垂径定理找到 的垂直平分线与圆的交点即可，找到等腰三角形 ，则 ，作直线 与圆的交点即为所求的点 ，则OE平分AC.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆的直径所对的圆周角等于90°，找到圆与格点的交点，再连接DA、DB即可；
（2）找到等腰△AFC，则FA=FC，作直线OF与圆的交点即为所求的点E，则OE平分AC.
四、解答题
19．（2021九上·永年月考）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB＝8，∠A＝22.5°，求CD的长．
【答案】解：∵AB=8，
∴OC=OA=4，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=2∠A=45°，
∴CE=OE
∵直径AB垂直弦CD于E，
∴，即
∴，
∴CD＝．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】先求出 OC=OA=4， 再求出 CE=OE ，最后计算求解即可。
20．（2021·香洲模拟）如图， ， 分别与⊙O相切于 ， 两点，点 在⊙O上，已知 ，求 的度数．
【答案】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】连接OA、OB，PA、PB是⊙O切线，得出PA⊥OA，PB⊥OB，∠PAO=∠PBO=90°，由∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，得出∠P=180°-∠AOB，由此得出 的度数．
21．（2021·阳西模拟）如图，在Rt 中， ， ， ，点 在线段 上，且 ，以点 为圆心， 为半径的 交线段 于点 ，交线段 的延长线于点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ．
【答案】（1）如图，过点 作 于点 ．
在 中， ．
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即OH为⊙O半径．
又∵ ，
∴ 是 的切线．
（2）如图，连接 ， ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ∽ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点O作OH垂直AB于H，由勾股定理求出AB的长，由面积法可求出OH==OC，即可求出结论；
（2）连接CD，EC，通过证明 ∽ ．可得，由DE=AC=3，可得结论。
五、综合题
22．（2021·永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q.求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
（2）证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴ ，
∴AC2＝AB AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD AO.
（3）解：∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝ ∠CAB，∠QBM＝ ∠CBM，
∵∠Q是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝ （∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝45°，
∴∠P＝∠Q.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连接OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠OAC，根据角平分线的概念可得∠BAE＝2∠OAC，进而推出∠BAE＝∠BOC，得到CO∥AD，据此判断；
（2）由角平分线的概念可得∠BAC＝∠CAD，由圆周角定理可得∠BCA＝90°，证明△BAC∽△CAD，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）由角平分线的概念可得∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，由外角的性质可得∠Q＝∠QBM-∠QAM=(∠CBM-∠CAM)，∠ACB＝∠CBM-∠CAM，得到∠Q＝∠ACB＝45°，同理可证：∠P＝45°，据此解答.
23．（2021九上·泰兴期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是
；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.
【答案】（1）B2C2
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），⊙O的半径为1
∴ 轴
分 在x轴上方和x轴上方两种情况：
当 在x轴上方时， 与 轴相交于点 ，见下图：
∵
∴
∴
∵△ABC是边长为1的等边三角形，即△ 是边长为1的等边三角形，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ；
当 在x轴上方时， 与 轴相交于点 ，见下图：
同理，
∴ ；
∴ ；
∴ 或 ；
（3）当 为⊙O的直径时， 取最小值，如下图：
∴ 最小值为1，
∴ ；
当 、 、 三点共线时， 取最大值， ，如下图：
作 交 于点E，作 交 于点F，如下图
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ 最小值为1，相应的 ； 最大值为2，相应的 .
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）线段B1C1绕点A旋转得到的 ，均不能成为⊙O的弦
∴线段B1C1不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
线段B2C2绕点A旋转得到的 ，如下图：
∴线段B2C2是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
线段B3C3绕点A旋转得到的 ，均不能成为⊙O的弦
∴线段B3C3不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
故答案为：B2C2；
【分析】（1）线段B1C1绕点A旋转得到的B1′C1′，均不能成为⊙O的弦，线段B2C2绕点A旋转得到的 B2′C2′，线段B3C3绕点A旋转得到的B3′C3′，均不能成为⊙O的弦，然后结合“关联线段”的概念进行判断；
（2）当B′C′在x轴上方时，B′C′与y轴相交于点D，求出B′D、OD的值，根据等边三角形的性质可得∠AC′D=∠OC′D，AD⊥B′C′，证明△AC′D≌△OC′D，得到AD、AO的值，进而得到t；当B′C′在x轴上方时，B′C′与y轴相交于点D，同理可得AO，求出点A的坐标，得到t的值；
（3）当AC′为⊙O的直径时，OA取最小值1，利用勾股定理可得BC的值；当A、B′、O三点共线时， OA取最大值2，作AE⊥OC′交OC′于点E，作C′F⊥AO交AO于点F，由等腰三角形的性质可得OE=，由勾股定理求出AE，然后根据三角形的面积公式求出C′F，由勾股定理求出OF，进而得到B′F、BC的值.
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