4.3.1空间直角坐标系
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课件27张PPT。4.3.1空间直角坐标系湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作学习目标:1、空间直角坐标系的建立;
2、空间直角坐标系的划分;
3、空间点的坐标;
4、特殊位置的点的坐标;
5、空间点的对称问题。问题提出 对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题.那么一点P在直角坐标系中怎么表示呢?OxypABabyOxz思考：在教室里同学们的位置坐标以单位正方体 的
顶点O为原点,分别以射线OA，
OC， 的方向为正方向,以
线段OA,OC, 的长为单位
长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 。一、空间直角坐标系：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．右手直角坐标系o1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350,
而z轴垂直于y轴．2.y轴和z轴的单位长度相同，
x轴上的单位长度为y轴
(或z轴)的单位长度的一半．空间直角坐标系的画法：面面面空间直角坐标系共有三个坐标平面、八个卦限。二、空间直角坐标系的划分：思考： 空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？三、空间点的坐标：设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．M’O三、空间点的坐标：设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，
z叫做点M的竖坐标．M’O在空间直角坐标系中，作出点A（1,４,4）.例解：ＯＰ1Ｐ1Ｐ2Ｐ2Ｐ小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有一个坐标等于0。(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)四、特殊位置的点的坐标：xoy平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为0xoz平面上的点纵坐标为0x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0z轴上的点横坐标和纵坐标都为0y轴上的点横坐标和竖坐标都为0(1)坐标平面内的点:(2)坐标轴上的点:规律总结： 例1 如下图，在长方体 中
， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．解： 在z 轴上，且 ，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点 的坐标是（0，0，2）．
点C 在y 轴上，且 ，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z 都是零，所以点C的坐标是（0，4，0）．
同理，点 的坐标是（3，0，2）．典型例题典型例题 解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．
所以点B’的坐标是（3，4，2）． 例1 如下图，在长方体 中
， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．O练习在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)134D`D 解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标． 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．典型例题 如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:
（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），
（ ， ，1）． 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
（ ，0， ），（1， ， ），（ ，1， ），（0， ， ）；典型例题空间对称点(1)关于原点的对称点是(－x，－y，－z)；
(2)关于 x 轴的对称点是(x，－y，－z)；
(3)关于 y 轴的对称点是(－x，y，－z)；
(4)关于 z 轴的对称点是(－x，－y，z)；(5)关于 xOy 坐标平面的对称点是(x，y，－z)；
(6)关于 yOz 坐标平面的对称点是(－x，y，z)；
(7)关于 zOx 坐标平面的对称点是(x，－y，z)．
规律：“关于谁对称则谁不变，其余相反”．五、空间点的对称问题：点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点在空间直角坐标系中，已知点 P(4，3，－5)，求点 P关于各坐标轴及坐标平面的对称点．练习【总一总★成竹在胸】1、空间直角坐标系的建立(三步);2、空间直角坐标系的划分(八个卦限);3、空间中点的坐标(一一对应);4、特殊位置的点的坐标(表格);5、空间点的对称问题。课后作业：习题4.3 A组1、2. 1：已知正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为
10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解：∵正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，练一练2、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点D` ，B`，P的坐标.P`(0,0,3)(3,4,3)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),
且线段P1P2的中点为M(x,y,z)则中点坐标公式练一练
高中数学老师欧阳文丰制作学习目标:1、空间直角坐标系的建立;
2、空间直角坐标系的划分;
3、空间点的坐标;
4、特殊位置的点的坐标;
5、空间点的对称问题。问题提出 对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题.那么一点P在直角坐标系中怎么表示呢?OxypABabyOxz思考：在教室里同学们的位置坐标以单位正方体 的
顶点O为原点,分别以射线OA，
OC， 的方向为正方向,以
线段OA,OC, 的长为单位
长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 。一、空间直角坐标系：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．右手直角坐标系o1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350,
而z轴垂直于y轴．2.y轴和z轴的单位长度相同，
x轴上的单位长度为y轴
(或z轴)的单位长度的一半．空间直角坐标系的画法：面面面空间直角坐标系共有三个坐标平面、八个卦限。二、空间直角坐标系的划分：思考： 空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？三、空间点的坐标：设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．M’O三、空间点的坐标：设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，
z叫做点M的竖坐标．M’O在空间直角坐标系中，作出点A（1,４,4）.例解：ＯＰ1Ｐ1Ｐ2Ｐ2Ｐ小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有一个坐标等于0。(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)四、特殊位置的点的坐标：xoy平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为0xoz平面上的点纵坐标为0x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0z轴上的点横坐标和纵坐标都为0y轴上的点横坐标和竖坐标都为0(1)坐标平面内的点:(2)坐标轴上的点:规律总结： 例1 如下图，在长方体 中
， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．解： 在z 轴上，且 ，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点 的坐标是（0，0，2）．
点C 在y 轴上，且 ，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z 都是零，所以点C的坐标是（0，4，0）．
同理，点 的坐标是（3，0，2）．典型例题典型例题 解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．
所以点B’的坐标是（3，4，2）． 例1 如下图，在长方体 中
， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．O练习在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)134D`D 解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标． 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．典型例题 如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:
（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），
（ ， ，1）． 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
（ ，0， ），（1， ， ），（ ，1， ），（0， ， ）；典型例题空间对称点(1)关于原点的对称点是(－x，－y，－z)；
(2)关于 x 轴的对称点是(x，－y，－z)；
(3)关于 y 轴的对称点是(－x，y，－z)；
(4)关于 z 轴的对称点是(－x，－y，z)；(5)关于 xOy 坐标平面的对称点是(x，y，－z)；
(6)关于 yOz 坐标平面的对称点是(－x，y，z)；
(7)关于 zOx 坐标平面的对称点是(x，－y，z)．
规律：“关于谁对称则谁不变，其余相反”．五、空间点的对称问题：点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点在空间直角坐标系中，已知点 P(4，3，－5)，求点 P关于各坐标轴及坐标平面的对称点．练习【总一总★成竹在胸】1、空间直角坐标系的建立(三步);2、空间直角坐标系的划分(八个卦限);3、空间中点的坐标(一一对应);4、特殊位置的点的坐标(表格);5、空间点的对称问题。课后作业：习题4.3 A组1、2. 1：已知正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为
10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解：∵正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，练一练2、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点D` ，B`，P的坐标.P`(0,0,3)(3,4,3)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),
且线段P1P2的中点为M(x,y,z)则中点坐标公式练一练