苏科版八年级数学下册 拼正方形小结与思考 教案

拼正方形
【目标确定的依据】
1.课程标准相关要求
通过观察、尝试、归纳、类比等活动，体验二次根式运算法则的产生过程，发展学生思维能力，培养学生探究能力与创新意识。
2.教材分析
本实验内容是为已学课本内容二次根式的性质和运算法则进行服务的，同时也是对学生将代数问题转化成几何问题的能力的培养。
3.学情分析
学生对于二次根式的性质和运算法则（）
的理解是不够深刻的，所以总会用错，或者忽略了限制条件。所以通过本节实验课让学生更好的发展几何直观。
4.实验目的
通过剪纸、拼图等操作，进一步理解二次根式的有关性质，感受数形结合的思想，发展几何直观.
5.实验准备
两个边长为单位1的正方形纸片、一个不规则的纸片、剪刀
【实验内容】
一、复习回顾
在前面的学习过程中，我们曾经运用拼图的方法验证过一些代数式。例如：用拼图验证了乘法公式（第一幅图）：该乘法公式左边可以怎么理解呢？——整体来看：大正方形的面积等于边长的平方。该乘法公式右边可以怎么理解呢？——局部来看：大正方形由四个图形组成，面积等于四块图形面积之和。从整体和局部看到的是同一个图形的面积，所以等到了等式(a＋b)2＝a2 ＋2ab＋b2
利用同样的方法，我们从整体和局部两个方面来看第二幅图，验证了勾股定理。
那今天呢，我们在此基础上先剪再拼，看看能不能验证我们刚刚学过的二次根式的相关性质。
【设计意图】通过回顾熟悉的知识，唤醒拼图得等式的方法。及时让学生了解本节课的目标和解决问题的方法。
二、活动准备——拼正方形
如图，有两个边长为1的正方形，先后将它们剪开，然后拼成一个完整的大正方形，该如何剪？拼成正方形的面积是多少？从中你发现了什么？
拼后图形：
给学生时间自己动手拼图，然后请同学展示拼图方法：沿小正方形对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形。让直角三角形的斜边充当大正方形的边长。拼完图，先请学生验证是否为正方形，然后再从整体和局部两个方面来看大正方形的面积，从而得到：=2.
【设计意图】从简单的剪拼开始，让学生感受到要想拼出大正方形，让从面积入手，倒退到边长，然后利用勾股定理来构成出斜边长等于边长的四个全等的直角三角形。体现了一个将已知的面积转化为大正方边长的思想方法。
三、活动内容
活动1 利用方格纸拼正方形
如图，网格中每个小正方形的边长都为1，将图中阴影部分
剪拼成一个正方形，在图中画出剪法.拼成正方形的面积各是
多少？从中你发现了什么？
此题的拼法还比较多，可以让学生多展示了几种。最简单的一种拼法如下：
拼完图，从整体和局部两个方面来看大正方形的面积，从而得到：=5.
【设计意图】从规则图形到网格内不规则图形，难度上升，但是学生利用前面研究问题的方法，从面积到边长，再利用勾股定理找到4个相应的全等三角形。
活动2 剪裁组合图形拼正方形
1.如图(1)所示的纸片（边长为2的一个大正方形和边长为1的一个小正方形），你能把它分割剪拼成一个大正方形吗？如果能，拼成的大正方形面积和边长分别是多少？请在图中画出剪法.
【设计意图】此题与上题的区别在于，由网格到不规则图形的纸片，所以难度上升，要动手进行操作尝试。学生通过操作会发现此题本质和上一题是一样的，所以分割方法也一样。甚至我们可以把不规则纸片折成上一幅图。拼完图，从整体和局部两个方面来看大正方形的面积，从而得到：=5.
2. 如图(2)变为：边长为3的一个大正方形和边长为1的一个小正方形呢？
【设计意图】此题与上题的区别在于，上图两个正方形的比是1：2，此题是1：3，所以其他的还是一样的方法进行剪拼。拼完图，从整体和局部两个方面来看大正方形的面积，从而得到：=10.
由前面的拼图，可以得到二次根式的一个性质：
3. 如图(3)变为：边长为a的一个大正方形和边长为b的一个小正方形呢？
【设计意图】此题与上两题的区别在于，上图两个正方形的比是具体的数值，此题是a：b，不过思想方法均与前两题一样。拼完图，从整体和局部两个方面来看大正方形的面积，从而得到：。即二次根式的性质：中的a也可以是一个整体。
拼图属于不完全归纳法验证二次根式的性质，例外还可以根据二次根式的定义，更严谨的验证二次根式的这个性质。上课提一下，可以让学生有一个更严谨的数学思维。
活动3 利用方格纸画矩形
如图，网格中每个小正方形的边长都为1，已知△ABC.
（1）请判断△ABC的形状.
（2）请以AB、BC为边画矩形ABCD，如何画？
矩形ABCD的面积是多少？从中你发现了什么？
【设计意图】前面我们由拼图得到的是，相当于的问题，那又等于多少呢？可以利用长方形的面积来进行验证.拼成后的长方形从整体和局部两个方面可以得到：，即可以验证二次根式的乘法法则：（）
拼图属于不完全归纳法验证二次根式的乘法法则，还可以利用代数方法严格证明：将两边分别平方，然后看结果是否相等，强调一下，等式两边均为非负数。
活动4 通过计算拼正方形
如图，网格中每个小正方形的边长都为1，
将图中阴影部分剪拼成一个正方形，在图中画出剪法.
拼成的正方形的面积各是多少？从中你发现了什么？
【设计意图】
最后一个活动是运用上面验证的二次根式的性质的进行的。要拼成大正方形，先要知道长方形的面积。前面我们已经验证过二次根式的乘法公式，可以运用乘法公式，计算出长方形的面积为8 ，然后倒推出边长，所以只要把长方形较长的边取中点，分割成相等的两部分，再拼成大正方形。拼法如下：
【板书设计】