2021-2022学年苏科版七年级数学下册9.4乘法公式同步强化训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版七年级数学下《9.4乘法公式 》同步强化训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题（共15题；共30分)
1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式的是 ( )
A．(m＋n)(－m－n) B．(2m＋n )(2m＋n)
C．(a＋b－c)(a－b＋c) D．(m－n)(－m＋n)
2．下列计算结果是m2－36n2的是 ( )
A．－(m＋6n)(m－6n) B．(m－6n)(m＋6n)
C．(m＋4n)(m－9n) D．(m－6n)(6n－m)
3．若(9＋x2)(x＋3)( )＝81－x4，则括号内应填入的代数式是 ( )
A．x－3 B．3－x C．3＋x D．x－9
4．下列式子中，可以运用平方差公式来计算的是 ( )
A．(－a＋4c)(a－4c) B．(x－2y)(2x＋y)
B．(－3a－1)(1－3a) D．(－x－y)(x＋y)
5．若A(3a－b2)＝b4－9a2，则代数式A是 ( )
A．－(3a＋b2) B．－b4＋3a C．3a＋b2 D．3a－b2
6．下列运算中，正确的是 ( )
A．a3·a4＝a12 B．(a3)4＝a12 C．a＋a4＝a5 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
7．(－a＋b)·P＝a2－b2，则P等于 ( )
A．a－b B．－a＋b C．－a－b D．a＋b
8．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m、n的值为 ( )
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝－2，n＝3 D．m＝2，n＝－3
9．下列运用平方差公式计算错误的是(　　)
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．(2x＋1)(2x－1)＝2x2－1 D．(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2
10．下列运算中，正确的是( )
A．a3·a4＝a12 B．(a3)4＝a12 C．a＋a4＝a5 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
11．（m2-n2）-(m-n)(m+n)等于 ( )
A．-2n2 B．0 C．2m2 D．2m2-2n2
12．下列式中,运算正确的是 ( ) ①, ②, ③, ④.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
13. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　）
A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．无法确定
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图,内、外两个四边形都是正方形,阴影部分的宽为3,且面积为51,则内部小正方形的面积是(　　)
A.47 B.49 C.51 D.53
15.如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法:①a2-b2;②a(a-b)+b(a-b);③(a+b)(a-b);④(a-b)2.其中正确的表示方法有(　　)
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
二．填空题（共15题；共30分)
16．(2a＋4b)( _______)＝16b2－4a2． (xn＋yn)( _______)＝x2n－y2n．
17.(m2－5n)(5n＋m2)＝(_______)．
18.(－3x－11y)(________)＝121y2－9x2.
19．已知(x－ay)(x＋ay)＝x2－9y2，那么a＝________.
20．若(－2a＋A)(5b＋B)＝4a2－25b2，则A＝________，B＝________．
21．有三个连续的奇数，若中间一个是x，则另两个奇数的积是________．
22．如果a2－b2＝10，a－b＝2．求a＋b的值为_________．
23.（3a+3b+1）（3a+3b-1）=899，则a+b= ．
24.已知：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729…，设A=2（3+1）（32+1）（34+1）（316+1）（332+1）+1，则A的个位数字是 ．
25．观察下列各式，你会发现什么规律？
1×3＝22－1； 3×5＝42－1； 5×7＝62－1； 7×9＝82－1；……
将你猜到的规律，用只含一个字母的等式表示出来：______________．
26.已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝______．
27．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是________．
29如图，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)．若将阴影部分按图中方式裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是____________(写成多项式乘法的形式)．由图中阴影部分的面积与重新拼成的长方形的面积相等，可以得到乘法公式____________________(用式子表示)．
第28题图 第29题图 第30题图
29.我们利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图2甲，可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图乙能得到的数学公式是_______________
30．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是_______________
解答题（共8题 共60分）
31．（6分）运用平方差公式计算：
(1)(2x－y)(2x＋y)； (2)(－4a－b)(－4a＋b).
32．（6分）用平方差公式计算：
(1)202×198； (2)20232－2021×2025.
33．（6分） 先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝.
34．（8分）(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_______ (写成两数平方差的形式)；
(2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成—个矩形，它的宽是_______，长是_______，面积是_______(写成多项式乘法的形式)；
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到乘法公式_______；
(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8； ②(2m＋n－p)(2m＋n＋p)．
35.（6分）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3=22-12，7=42-32，8=32-12，因此3，7，8都是“智慧数”．
（1）18 “智慧数”，2021 “智慧数”（填“是”或“不是”）；
（2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．
36.（9分）已知下列等式：（1）22-12=3；（2）32-22=5；（3）42-32=7，…
（1）请仔细观察，写出第4个式子；
（2）请你找出规律，并写出第n个式子；
（3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021．
37.（9分）如图1所示,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2.请直接用含a,b的式子表示S1,S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;
(3)试利用这个公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)·(28+1)+1.
37.（10分）阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1-x）（1+x）=1-x2，（1-x）（1+x+x2）=1-x3，（1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4…
（1）（1-x）（ ）=1-x8
（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x2+…+xn）=　 ．
②（x-1）（x10+x9+…+x+1）=　 　．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=　 ．
②1+2+22+23+24+…+22021= ．
教师样卷
一．选择题（共15题；共30分)
1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式的是 ( C )
A．(m＋n)(－m－n) B．(2m＋n )(2m＋n)
C．(a＋b－c)(a－b＋c) D．(m－n)(－m＋n)
2．下列计算结果是m2－36n2的是 ( B )
A．－(m＋6n)(m－6n) B．(m－6n)(m＋6n)
C．(m＋4n)(m－9n) D．(m－6n)(6n－m)
3．若(9＋x2)(x＋3)( )＝81－x4，则括号内应填入的代数式是 ( B )
A．x－3 B．3－x C．3＋x D．x－9
4．下列式子中，可以运用平方差公式来计算的是 ( C )
A．(－a＋4c)(a－4c) B．(x－2y)(2x＋y)
B．(－3a－1)(1－3a) D．(－x－y)(x＋y)
5．若A(3a－b2)＝b4－9a2，则代数式A是 ( A )
A．－(3a＋b2) B．－b4＋3a C．3a＋b2 D．3a－b2
6．下列运算中，正确的是 ( B )
A．a3·a4＝a12 B．(a3)4＝a12 C．a＋a4＝a5 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
7．(－a＋b)·P＝a2－b2，则P等于 ( C )
A．a－b B．－a＋b C．－a－b D．a＋b
8．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m、n的值为 ( B )
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝－2，n＝3 D．m＝2，n＝－3
9．下列运用平方差公式计算错误的是(　C　)
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．(2x＋1)(2x－1)＝2x2－1 D．(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2
10．下列运算中，正确的是( B )
A．a3·a4＝a12 B．(a3)4＝a12 C．a＋a4＝a5 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
11．（m2-n2）-(m-n)(m+n)等于 ( B )
A．-2n2 B．0 C．2m2 D．2m2-2n2
12．下列式中,运算正确的是 ( C ) ①, ②, ③, ④.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
13. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　C　）
A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．无法确定
【解析】第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是梯形，则面积是（2a+2b） （a-b）=（a+b）（a-b）．则a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图,内、外两个四边形都是正方形,阴影部分的宽为3,且面积为51,则内部小正方形的面积是(　B　)
A.47 B.49 C.51 D.53
解析 设内部小正方形的边长为x,根据题意得(x+3)2-x2=51,∴(x+3+x)(x+3-x)=51.∴2x+3=17,∴2x=14,∴x=7.∴内部小正方形的面积=72=49.故选B.
15.如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法:①a2-b2;②a(a-b)+b(a-b);③(a+b)(a-b);④(a-b)2.其中正确的表示方法有(　C　)
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
解析 如图①,图①中,大正方形面积为a2,小正方形面积为b2,所以“L”形图形的面积为a2-b2;如图②,一个长方形的面积是b(a-b),另一个长方形的面积是a(a-b),所以“L”形图形的面积为a(a-b)+b(a-b);如图③,将原图形沿虚线分割,拼成一长方形,其长为a+b,宽为a-b,面积为(a+b)(a-b).综上可知长方形的面积为①a2-b2;②a(a-b)+b(a-b);③(a+b)(a-b),共3种方法正确.故选C.
二．填空题（共15题；共30分)
16．(2a＋4b)( _______)＝16b2－4a2． (xn＋yn)( _______)＝x2n－y2n．
【答案】4b－2a xn－yn
17.(m2－5n)(5n＋m2)＝(_______)．
【答案】m4－25n2
18.(－3x－11y)(________)＝121y2－9x2.
【答案】 3x－11y
19．已知(x－ay)(x＋ay)＝x2－9y2，那么a＝________.
【答案】±3
20．若(－2a＋A)(5b＋B)＝4a2－25b2，则A＝________，B＝________．
【答案】 －5b　－2a
21．有三个连续的奇数，若中间一个是x，则另两个奇数的积是________．
【答案】x2－4
22．如果a2－b2＝10，a－b＝2．求a＋b的值为_________．
【答案】．5 　
23.（3a+3b+1）（3a+3b-1）=899，则a+b= ．
【答案】±10.
24.已知：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729…，设A=2（3+1）（32+1）（34+1）（316+1）（332+1）+1，则A的个位数字是 ．
【答案】1. 【解】A=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（316+1）（332+1）+1=（32-1）（32+1）（34+1）（316+1）（332+1）+1=（34-1）（34+1）（316+1）（332+1）+1=（316-1）（316+1）（332+1）+1=（332-1）（332+1）+1=364-1+1=364，观已知等式，个位数字以3，9，7，1循环，则A的个位数字是1.
25．观察下列各式，你会发现什么规律？
1×3＝22－1； 3×5＝42－1； 5×7＝62－1； 7×9＝82－1；……
将你猜到的规律，用只含一个字母的等式表示出来：______________．
【答案】(2n－1)(2n＋1)＝(2n)2－1　
26.已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝______．
【答案】80
27．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是________．
【答案】 9　
29如图，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)．若将阴影部分按图中方式裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是____________(写成多项式乘法的形式)．由图中阴影部分的面积与重新拼成的长方形的面积相等，可以得到乘法公式____________________(用式子表示)．
【答案】 a2－b2　a－b　a＋b　(a＋b)(a－b)　(a＋b)(a－b)＝a2－b2
第28题图 第29题图 第30题图
29.我们利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图2甲，可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图乙能得到的数学公式是_______________
【答案】 (a－b)2＝a2－2ab＋b2
30．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是_______________
【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
解答题（共8题 共60分）
31．（6分）运用平方差公式计算：
(1)(2x－y)(2x＋y)； (2)(－4a－b)(－4a＋b).
解：(1)原式＝(2x)2－(y)2＝4x2－y2.(2)原式＝(－4a)2－b2＝16a2－b2.
32．（6分）用平方差公式计算：
(1)202×198； (2)20232－2021×2025.
解：(1)202×198＝(200＋2)×(200－2)＝2002－22＝40000－4＝39996.
(2)原式＝20232－(2023－2)×(2023＋2)＝20232－(20232－4)＝20232－20232＋4＝4.
33．（6分） 先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝.
解：原式＝a2－4b2－a2＋4ab－4b2＋8b2＝4ab，当a＝－2，b＝时，原式＝－4.
34．（8分）(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_______ (写成两数平方差的形式)；
(2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成—个矩形，它的宽是_______，长是_______，面积是_______(写成多项式乘法的形式)；
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到乘法公式_______；
(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8； ②(2m＋n－p)(2m＋n＋p)．
【答案】(1)a2－b2 (2)a－b　 a＋b (a－b)(a＋6)　(3)(a－b)(a＋b)＝a2－b2
(4)①99.96　②4m2＋4mn＋n2－p2
35.（6分）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3=22-12，7=42-32，8=32-12，因此3，7，8都是“智慧数”．
（1）18 “智慧数”，2021 “智慧数”（填“是”或“不是”）；
（2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．
【答案】（1）不是，是；（2）正奇数一定是“智慧数”．
【解析】（1）18不是“智慧数”；2017是“智慧数”；（2）除1外的所有正奇数一定是“智慧数”，理由为：设这个奇数为2n+1（n为正整数），可得2n+1=（n+1）2-n2，
则除1外，所有正奇数一定是“智慧数”．
36.（9分）已知下列等式：（1）22-12=3；（2）32-22=5；（3）42-32=7，…
（1）请仔细观察，写出第4个式子；
（2）请你找出规律，并写出第n个式子；
（3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021．
【答案】（1）52-42=9；（2）（n+1）2-n2=2n+1；（3）10042．
【解析】（1）依题意，得第4个算式为：52-42=9；
（2）根据几个等式的规律可知，第n个式子为：（n+1）2-n2=2n+1；
（3）由（2）的规律可知，
1+3+5+7+…+2005+2007=1+（22-12）+（32-22）+（42-32）+…+（10112-10102）
=10112．
37.（9分）如图1所示,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2.请直接用含a,b的式子表示S1,S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;
(3)试利用这个公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)·(28+1)+1.
解 (1)S1=a2-b2,S2=(a+b)(a-b);
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2;
(3)(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1=(28-1)(28+1)+1=(216-1)+1=216.
32.（10分）阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1-x）（1+x）=1-x2，（1-x）（1+x+x2）=1-x3，（1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4…
（1）（1-x）（ ）=1-x8
（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x2+…+xn）=　 ．
②（x-1）（x10+x9+…+x+1）=　 　．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=　 ．
②1+2+22+23+24+…+22021= ．
【答案】（1）1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7；（2）①1-xn+1；②x11-1；（3）①-63；②22008-1
【解析】（1）（1-x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）=1-x8；
（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1；
②（x-1）（x10+x9+…+x+1）=x11-1；
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=1-26=-63；
②1+2+22+23+24+…+22007=-（1-2）（1+2+22+23+24+…+22021）=22022-1．