2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.2平行四边形优生辅导训练（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-2平行四边形》优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，平行四边形ABCD中，P是四边形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（　　）
A．S1+S2＝S3+S4 B．S1+S2＞S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．S1+S2＜S3+S4
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，若CF＝2，则AB的长是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．2
3．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A． B．6 C．8 D．10
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，作EF⊥AE交CD于F，若∠BAE＝45°，AE＝4，下列结论：①∠EAF＝45°，②AF＝AB+CF，③CD＝2CF，④S△AEF＝8中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
5．如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF，GH把平行四边形ABCD分成四部分，分别记这四部分的面积为S1，S2，S3和S4，则下列等式一定成立的是（　　）
A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2+S4
C．S3﹣S1＝S2﹣S4 D．S1×S3＝S2×S4
6．如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别为AB和CD的五等分点，点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形ABCD的面积为15，则平行四边形A4B2C4D2（阴影部分）的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
二．填空题
7．在 ABCD中，AC，BD相交于点O，若 ABCD的周长为64，且△AOB的周长比△BOC的周长多8，则AB＝　 　，BC＝　 　．
8．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝　 　度．
9．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，EF＝2，则AB的长为　 　．
10．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，BE＝BC，∠DEC＝72°，则∠ABC＝　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝5，AC＝10，E为斜边AB边上的一动点，以EA、EC为边作平行四边形，则线段ED长度的最小值为 　 　．
12．在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则 ABCD的边BC长等于　 　．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且BC≠CD，过O作OE⊥AC，交AD于点E，若平行四边形ABCD的周长为48cm，则△CDE的周长为　 　cm．
14．如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB＝15，BC＝6，则EF的长为　 　．
15．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD＝90°，点E是BC的中点，AF平分∠BAC，CF⊥AF于点F，连接EF．已知AB＝5，BC＝13，则EF的长为　 　．
16．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝5，则平行四边形ABCD的周长为　 　．
17．如图所示，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DAC＝∠EAC，AE＝4，AO＝3，则S△AEC的面积为 　 　．
三．解答题
18．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过O点作直线EF，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：OF＝OE；
（2）小明从图1找到了一种将平行四边形面积平分的方法．图2是一块纸片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，小明发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助小明设计三种不同的分割方案．
19．如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC、CE，使AB＝AC．
（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积．
20．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，求EF．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．
（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；
（2）求证：∠ECF＝∠CEF．
22．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF．
（1）若DG＝8，求对角线AC的长；
（2）求证：AF+FG＝EF．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴S1+S3＝平行四边形ABCD的面积，
S2+S4＝平行四边形ABCD的面积，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝4，
∴AB＝2．
故选：B．
3．解：∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝，
过C作CE⊥y轴于E，如图所示：
∵点C的坐标为（1，2），
∴CE＝1，OE＝2，
∴BE＝1，
∴BC＝＝，
∴AB+BC＝+，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2+2
故选：A．
4．解：作EM∥AB交AF于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AB∥EM∥CD，
∴AM：FM＝BE：CE，∠AEM＝∠BAE＝45°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AM＝FM，
∴EM是梯形ABCF的中位线，
∴AB+CF＝2EM，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴EM＝AF＝AM＝FM，
∴∠EAF＝∠AEM＝45°，AF＝AB+CF，①②正确；
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴FE＝AE＝4，
∴S△AEF＝AE×FE＝×4×4＝8，④正确；
∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴AF⊥CD，
当AD＝AC时，CF＝DF，则CD＝2CF，③不正确；
故选：A．
5．解：如根据平行四边形的性质知，S1＝AG H2，S4＝DH H1＝AG H1，S2＝GB H2＝（DC﹣DH） h2，S3＝HC H1＝（DC﹣DH） H1，
A、HC及AG，H1、H2的关系不确定，所以S1不一定等于S3，故本选项错误；
B、S1+S3＝DC H1﹣DH H1+AG H2，S2+S4＝DC h2﹣DH h2+DH H1，∴S1+S3＝S2+S4，故本选项错误；
C、S3﹣S1＝AG H2﹣HC H1，S2﹣S4＝GB H2﹣DH H1，故本选项错误；
D、S1×S3＝HC H1 AG H2，S2×S4＝GB H2 DH H1，
∵HC＝GB，AG＝DH，
∴S1×S3＝S2×S4，
故本选项正确；
故选：D．
6．解：设AB＝5a，BC＝3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
∵四边形ABCD的面积为15，
∴5a 3x＝3b 5y＝15．即ax＝by＝×15＝1．
∵△AA4D2与△B2CC4全等，B2C＝BC＝b，B2C边上的高是 5y＝4y．
则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by＝2．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是1．
则四边形A4B2C4D2的面积是15﹣2﹣2﹣1﹣1＝9．
故选：C．
二．填空题
7．解：∵△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，
∴OA+OB+AB﹣OB﹣OC﹣BC＝8cm，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD＝BC，
∴AB﹣BC＝8cm，
∵平行四边形ABCD的周长64cm，
∴AB+BC＝32cm，
∴AB＝20cm，BC＝12cm．
故答案为：20，12．
8．解：∵A＝65°，
∴∠BCD＝65°；
∵DB＝DC，
∴∠BCD＝∠DBC＝65°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DBC＝25°．
故答案为：25．
9．解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又∵F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝DC＝AB，
∵DG⊥AE，
∴AG＝FG，
∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF＝2，
∴AG＝，
∴AD＝＝2，
∴AB＝2AD＝4；
故答案为：4．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB＝72°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝72°，
∴∠EBC＝180°﹣∠BCE﹣∠BEC﹣180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC＝72°，
故答案为：72°．
11．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝5，AC＝10，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CF，
∴CF＝＝2，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴当DE⊥AB时，DE有最小值，
此时：CF＝DE＝2，
故答案为2．
12．解：当高在△ABC内部时，如图所示：
在 ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝＝2，BE＝＝＝3，
∴BC＝CE+BE＝2+3＝5，
当高在△ABC外部时，如图所示，
同理可得EC＝2，BE＝3，
∴BC＝1，
故答案为：5或1．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为48cm，
∴AD+CD＝24（cm），
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+DE+AE＝AD+CD＝24（cm）．
故答案为：24．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵AF平分∠ABC，
∴∠DAF＝∠BAF，
则∠AFD＝∠DAF，
∴AD＝FD＝6，
同理可证：CE＝6，
则EF＝CD﹣DF﹣CE＝15﹣6﹣6＝3．
故答案为：3．
15．解：如图，延长AB、CF交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝12，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°，
在△AFH和△AFC中，
，
∴△AFH≌△AFC（ASA），
∴AC＝AH＝12，HF＝CF，
∴BH＝AH﹣AB＝7，
∵点E是BC的中点，HF＝CF，
∴EF＝BH＝，
故答案为：．
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠DAE+∠AEC＝180°，
∵∠AEC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠EAD＝90°，∠AGE＝45°，
∴∠FAD＝45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠D＝45°，
∴△ABE和△AFD都是等腰直角三角形，
∵AE+AF＝5，
∴设AE＝x，则AF＝5﹣x，
∴AB＝x，AD＝（5﹣x），
∴平行四边形ABCD的周长为：[x+（5﹣x）]×2＝10，
故答案为：10．
17．解：连接EO，
∵∠四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAC＝∠BCA，AO＝CO，
∵∠DAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴EO⊥AC，
∵AE＝4，AO＝3，
∴OE＝＝＝，
∴S△AEC＝AC OE＝×6×＝3．
故答案为：3．
三．解答题
18．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE，
在△AOF和△COE中
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF＝OE；
（2）如图2，3，4所示：
19．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
又∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE∥BD，AE＝BD，
∴∠ACB＝∠CAE＝∠B，
在△DBA和△EAC中
，
∴△DBA≌△EAC（SAS）；
（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G．设AG＝x，
在Rt△AGD中，∵∠ADC＝45°，
∴AG＝DG＝x，
在Rt△AGB中，∵∠B＝30°，
则AB＝2x，
∴BG＝，
又∵BD＝10．
∴BG﹣DG＝BD，即，
解得AG＝x＝，
∴S平行四边形ABDE＝BD AG＝10×（）＝．
20．解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
21．解：（1）∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF＝（180°﹣80°）＝50°，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣50°＝40°；
（2）如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，
∴∠ECF＝∠CEF．
22．解：（1）∵在 ABCD中，∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠B＝45°，
∵CE⊥AD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD＝∠DEC＝90°，
∴∠DGE＝∠CGF，
∴∠EDG＝∠ECA，
∴△DEG≌△CEA（ASA），
∴AC＝DG＝8；
（2）过E作EH⊥EF交DF于H，
∵∠FEH＝∠DEC＝90°，
∴∠DEH＝∠CEF，
∵∠EDH＝∠ECF，DE＝CE，
∴△DEH≌△CEF（ASA），
∴EF＝EH，DH＝CF，
∴AC﹣CF＝DG﹣DH，
即AF＝HG，
∵FH＝FG+GH＝EF，
∴AF+FG＝EF．