北师大版七年级数学下册 1.6 完全平方公式（一） 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.8 完全平方公式（一）
公式的结构特征:
左边是
a2 b2
两个二项式的乘积,
回顾 & 思考

(a+b)(a b)=
即两数和与这两数差的积.
右边是
两数的平方差.
平方差公式
应用平方差公式的注意事项:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”;
仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。

弄清在什么情况下才能使用平方差公式:

在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时 要注意添括号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。
做一做
图1—6
a
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要将其边长增加 b 米。形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).
用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
b
b
探索:
你发现了什么
法一
直
接
求
(a+b)2 ；
法二
间
接
求
a2+
ab+
ab+
b2.
(a+b)2=
公式:
a2+
ab
+
b2.
2
总面积=
总面积=
完全平方公式的证明
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ;
(2)
a2 2ab+b2.
小颖写出了如下的算式:
(a b)2=
[a+( b)]2

(a b)2=

她是怎么想的
你能继续做下去吗
(a+b)2 =
推证
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+
ab+b2
=a2+2ab+
b2;
利用两数和的
完全平方公式

推证公式

(a b)2=
[a+( b)]2
= 2 + 2 + 2
a
a
( b)
( b)
=
a2
2ab

b2.
+
初识完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a b)2 = a2 2ab+b2 .
a
a
b
b
a2
ab
ab
b2
(a+b)2=
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
a2+2ab+b2
(a b)2 = a2 2ab+b2
几何解释：
结构特征:
左边是二项式(两数和(差) )的平方;
右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.
解：(1) (2x 3)2
=
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,
注意

先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确个是 a , 哪个是 b.
4x2
2x
( )2

2x
3


2
+
3
2
=

12x
+
9 ;
例1 利用完全平方公式计算：
(2x 3)2 ；(2) (4x+5y)2 ; (3) (mn a)2
(4) ( x 2y)2 ;
例题解析
1、计算：
随堂练习
纠错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2x 3y)2＝2x2+3y2;
(2) (2x+3y)2＝2x2+ 2(2x)(3y)+3y2 ；
(3) (2x 3y)2＝(2x)2+ 2(2x)(3y)+(3y)2.
解: (1)
首项、末项被平方时, 未添括号;
少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项) :2 (2x) (3y) ;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项) :2 (2x) (3y) ;
(3) 正确.
纠错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) ( a 1)2＝ a2 2a 1.
解: (1)
第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a 1)2＝ (2a)2 2 2a 1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2 2a 1 +1;
(3) 第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;
第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: ( a 1)2＝( a)2 2 ( a ) 1+12;
2、下列运算中，正确的有 ：
拓展练习
下列等式是否成立 说明理由．
(1) ( 4a+1)2=(1 4a)2；
(2) ( 4a 1)2=(4a+1)2；
(3) (4a 1)(1 4a)＝(4a 1)(4a 1)＝(4a 1)2；
(4) (4a 1)( 1 4a)＝(4a 1)(4a+1).
成立
成立
不成立．
不成立．
(1) 由加法交换律 4a+l＝l 4a。
理由:
(2) ∵ 4a 1＝ (4a+1)，
∴( 4a 1)2＝[ (4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1 4a)＝ ( 1+4a)
即 (1 4a)＝ (4a 1)
＝ (4a 1)，
∴ (4a 1)(1 4a)＝(4a 1)·[ (4a 1)]
＝ (4a 1)(4a 1)＝ (4a 1)2。
(4) 右边应为:
(4a 1)(4a+1)。
研 究 性 学 习
①填空：（ ）2 =9a2―（ ）+16b2 ；
②计算：（―a+b）2和（―a―b）2 ；
③与（a+b）2及（a―b）2比较，你发现了什么律？
探索发现:(a+b)2=(―a―b)2 , （a―b）2 = （―a+b）2
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式；
当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
6.填空：
1) a2+ +b2=(a+b)2
2) a2+ +b2=(a - b)2
3) 4a2+ +b2=(2a+b)2
4) 4a2+ +b2=(2a - b)2
5) ( )2+4ab+b2=( +b)2
6) a2-8ab+ =( )2
2ab
(-2ab)
4ab
(-4ab)
2a
2a
16b2
a-4b
7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少
例 2
运用完全平方公式计算
（1） （-b +4a） （2） （-2x-3y）
1． 想一想：哪个是a ？哪个是b？
2． 计算
3． 你还能用其他方法计算吗？试试看！
(试试看!)
例3 利用完全平方公式计算：(1) 1022 ; (2) 1972 .
解: 102 =（100+2）
=100 +2×100×2+2
=10000+400+4
=10404
解: 197 =（200-3）
=200 -2×200×3+3
=40000-1200+9
=38809
练一练
（1） 305 （2） 198
（3） 95 （4） 19
比一比赛一赛看谁做的又对又快!
说说你的收获
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：
完全平方公式的结果 是三项，
即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项，
即 (a+b)(a b)＝a2 b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.
“我们刚学习了完全平方公式：= a2+ 2ab +b2，你的同桌不明白这个公式是什么意思，你将如何向她解释？可以在解释时使用图片或图形。”
*有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算