人教版八年级数学上册13.3 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册13.3 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 186.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-24 10:47:13 | ||
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文档简介
课题 三 角 形 中 边 与 角 之 间 的 不 等 关 系
内容分析 本节课是人教2011课标版八年级上册第13章的实验与探究内容，是学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形而设置的。整个探究过程充分利用了轴对称的性质，让学生在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究。所以本节课是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是对不等边三角形边角关系进行探究的思想方法上的拓展。因此，本节课中探究过程中的转化思想为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用。
学情分析 学生已经学习过全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对这些图形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。在教学过程中直接体现出来的难点便是学生很难想到辅助线的作法及用几何语言去叙述。因此，本设计要让学生在折纸和几何画板动态演示的过程中体会折痕即为辅助线，由此寻找到辅助线的作法，从而突破学生的认知难点。
教学目标 1.通过实验探究使学生得到“大边对大角”的定理。2.让学生经历“观察猜想→实践检验→推理证明→归纳整理”的认知过程，培养学生解决问题的能力。3.让学生通过翻折实验，培养学生通过动手操作的能力，从中体会探究过程中所渗透的数学思想以及解决问题的策略和经验。4.在动手操作过程中让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.
教学重点 三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程。
教学难点 解决如何添加辅助线,将边角之间的不等问题转化等腰三角形及一个角是另一个角所在三角形的外角的问题。
教具准备 三角板、量角器、几何画板课件等
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一知识回顾 问题：1. 等腰三角形具有什么性质？在探究过程中我们又采用了什么样的方法？2. 三角形的一个外角与任意一个不相邻的内角之间有什么大小关系？ 学生回忆所学内容，回答老师的问题，请学生演示、讲解实验过程，并让大家思考问题用意所在。 通过知识回顾为本次探究做好知识和经验铺垫
二课题引入 我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等.如果两条边不相等，那么这两条边所对的角会不会相等？如下图：在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C， （AB＞AC） ,∠C与∠B的有什么样的大小关系呢？ 让学生通过直观观察，得到初步结果 通过类比猜想，引出课题，点明本次探究的主题。
三实验与探究 观察图形，提出猜想在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C， （AB＞AC） ,∠C与∠B的有什么样的大小关系呢？(板书：猜想：在一个三角形中，大边对大角) 1）让学生自己动手制作不等边三角形（为了教学方便 统一制作△ABC，且AB＞AC）.2）通过观察图形，猜想性质. 在⊿ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想“大边对大角”。 通过观察图形发现：在一个三角形中角之间的不等关系.
三实验与探究三实验与探究三实验与探究四巩固应用五小结提升 验证猜想（分组进行讨论）等待学生研究后让学生展示研究结果。(将原板书“猜想：在一个三角形中，大边对大角”中的“猜想”改为“验证”)通过几何画板演示验证猜想的正确性。请学生归纳猜想，师生订正后老师板书（三）证明猜想提出问题：我们通过折纸和几何画板验证了猜想是正确的，你能否用学过的知识来证明你的猜想？提示学生：1.你认为证明两个角不等的方法是什么？2.从折纸的过程中你能获得什么启发？(将原板书“验证：在一个三角形中，大边对大角”中的“验证”改为“证明”)师生共同根据文字命题画出图形，写出已知、求证。已知：如图，在△ABC中，AB>AC . 求证：∠C > ∠B. 教师巡视，及时解决学生的问题，并用手机拍摄学生的证明过程，以便展示、讲解、分析。在学生证明后，教师将学生证明过程进行展示，并靖学生分析说明。重点是分析思路的由来。（1）折纸对我们添加辅助线的启发（2）利用等腰三角形和轴对称的性质（截长补短）构造等腰三角形，将角进行转移.转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”。(3)证法六的相对复杂，学生可能听不明白，这涉及到反证法（暂且不提），故要耐心讲解。（四）终于得到结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大. （简写成：在一个三角形中，大边对大角）.符号表示：∵在⊿ABC中，AB>AC ∴∠C > ∠B.(将原板书“证明：在一个三角形中，大边对大角”中的“证明”改为“结论”)（1） 在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系？（2）如果一个三角形的最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是锐角三角形么？为什么？（3） 如图, ⊿ABC中，AD是中线，如果AB>AC，判断∠1与∠2的大小关系， 并给予证明.待学生回答后展示：1、在一个三角形中，大边对大角。2、研究几何问题的方法： “观察→猜想→验证→证明→归纳”。3、在解决问题时，我们可以将新问题转化到旧知识，用已有的知识解决新问题。这种“转化”的思想是研究几何问题时常用的方法，我们要注意掌握。 学生分组进行研究、讨论1、量角器测量2、折纸法--叠合法：（1）沿ＢＣ边的垂直平分线折叠. （2）沿角平分线折叠：作∠BAC的角平分线AD，将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.（3）沿高翻折：作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.3、追问：通过折纸，如何说明∠C > ∠B？（学生展示折叠过程并请学生展示折叠图形）4、归纳猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"在一个三角形中，大边对大角"）。学生单独证明。展示学生的证明方法（手机拍摄的相片）：证法一: 证明：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在边AB上截取AE，使AE=AC,连接DE.∵AD为∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在⊿EAD和⊿CAD中∵ AD=AD∴⊿EAD≌⊿CAD（SAS）∴∠C=∠3（全等三角形的性质）又∵∠3>∠B.∴∠C>∠B（等量代换）. 证法二过A作BC的垂线，垂足为D， 在BD边上截取DE，使DE=DC，连接AE .证法三：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点E.在AC延长线上截取CD，使AD=AB，连接ED,利用三角形外角的性质证明∠ACB > ∠B. 证法四：在边AB上截取AD,使AD=AC，连接CD.由等边对等角可知∠1=∠ACD.又由三角形中外角的性质知∠1＞∠B， 又因为∠ACB=∠ACD+∠DCB. 所以∠ACB＞∠ACD所以∠ACB＞∠B.或：由于AB>AC，故可延长AC到E，使AB=AE.证法六： 作BC的中垂线交BC于点D,交 AB于点E,连EC。（1）若点E在和A重合，则 AB = AC， 这与题设AB > AC相矛盾，因此这种情况不存在。（2）若点E在AB延长线上，设ED交AC于F 则 FB=FC,于是AC=FC+FA=FB+FA > AB， 这与题设AB > AC相矛盾，因此这种情况不存在。（3）这样，点E只能在AB上， 则 ∠ECB = ∠ B， 于是∠ACB >∠ECB > ∠ B 学生先归纳，师生订正。学生独立思考后回答，师生评价。请学生回答，师生集体订正。分析：延长AD一倍到点E,连CE。 则 ⊿ABD ≌ ⊿ECD ，∠2=∠E, AB=EC. 由于AB>AC，那么CE=AB>AC所以，∠1>∠E, 即∠1>∠2, 先由学生小结，再由学生补充。1.在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"在一个三角形中，大边对大角"）.2、研究几何问题的方法： “观察→猜想→验证→证明→归纳”。3.利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为等腰三角形及三角形外角的问题， 根据研究几何问题的一般思路和方法,体会观察猜想—实践验证—推理证明—归纳整理的过程.学生上台展示培养学生的动手操作能力,为后面证明时添加辅助线作铺垫；几何画板展示学生的折纸方法，让学生体会辅助线的做法。既对所需知识进行合理复习，也为后面学生添加辅助线构造基本图形奠定了基础；验证猜想具有一般性.通过讲解，提高学生语言表达能力和归纳能力；会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换；培养学生语言表达能力和归纳能力；让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡；规范书写几何推理的过程，尤其是注意辅助线的说明和折纸方法对应结合，将无意识的操作变为有意识的添加辅助线.让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的深刻性和广阔性.学生充分利用边不等的已知条件添加辅助线.培养学生总结归纳的能力，和评价反思的意识.题目条件中没有角平分线、高等条件，区别于前面的题，学生经过尝试，翻折变换无法实现，为实现目标角的转移，引导学生关注中点条件. 通过此题让学生充分巩固和掌握利用旋转变换添加辅助线的方法以及利用“大边对大角”证明角不等关系的方法.巩固探究的内容，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。通过板书中几个关键词（“猜想”、“验证”、“证明”、“结论”的变化，向学生渗透解决问题的办法。通过小结，使学生梳理本节课所学内容和研究方法，把握本节课的核心——转化，提升学生思维的深刻性 ，养成善于总结的学习习惯.
六作业布置 1、整理做法：运用第三种证法完成对"在一个三角形中，大边对大角"证明。2、类比今天探究“大边对大角”的活动过程，请你探究“大角对大边”。 拓展知识的深度与广度，让学生学以致用。 作业1：规范书写几何推理的过程，并进一步巩固所学。作业2的推理，让学有余力的同学课后充分探究，提高知识方法的迁移能力，并锻炼克服难题的毅力。
内容分析 本节课是人教2011课标版八年级上册第13章的实验与探究内容，是学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形而设置的。整个探究过程充分利用了轴对称的性质，让学生在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究。所以本节课是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是对不等边三角形边角关系进行探究的思想方法上的拓展。因此，本节课中探究过程中的转化思想为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用。
学情分析 学生已经学习过全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对这些图形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。在教学过程中直接体现出来的难点便是学生很难想到辅助线的作法及用几何语言去叙述。因此，本设计要让学生在折纸和几何画板动态演示的过程中体会折痕即为辅助线，由此寻找到辅助线的作法，从而突破学生的认知难点。
教学目标 1.通过实验探究使学生得到“大边对大角”的定理。2.让学生经历“观察猜想→实践检验→推理证明→归纳整理”的认知过程，培养学生解决问题的能力。3.让学生通过翻折实验，培养学生通过动手操作的能力，从中体会探究过程中所渗透的数学思想以及解决问题的策略和经验。4.在动手操作过程中让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.
教学重点 三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程。
教学难点 解决如何添加辅助线,将边角之间的不等问题转化等腰三角形及一个角是另一个角所在三角形的外角的问题。
教具准备 三角板、量角器、几何画板课件等
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一知识回顾 问题：1. 等腰三角形具有什么性质？在探究过程中我们又采用了什么样的方法？2. 三角形的一个外角与任意一个不相邻的内角之间有什么大小关系？ 学生回忆所学内容，回答老师的问题，请学生演示、讲解实验过程，并让大家思考问题用意所在。 通过知识回顾为本次探究做好知识和经验铺垫
二课题引入 我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等.如果两条边不相等，那么这两条边所对的角会不会相等？如下图：在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C， （AB＞AC） ,∠C与∠B的有什么样的大小关系呢？ 让学生通过直观观察，得到初步结果 通过类比猜想，引出课题，点明本次探究的主题。
三实验与探究 观察图形，提出猜想在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C， （AB＞AC） ,∠C与∠B的有什么样的大小关系呢？(板书：猜想：在一个三角形中，大边对大角) 1）让学生自己动手制作不等边三角形（为了教学方便 统一制作△ABC，且AB＞AC）.2）通过观察图形，猜想性质. 在⊿ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想“大边对大角”。 通过观察图形发现：在一个三角形中角之间的不等关系.
三实验与探究三实验与探究三实验与探究四巩固应用五小结提升 验证猜想（分组进行讨论）等待学生研究后让学生展示研究结果。(将原板书“猜想：在一个三角形中，大边对大角”中的“猜想”改为“验证”)通过几何画板演示验证猜想的正确性。请学生归纳猜想，师生订正后老师板书（三）证明猜想提出问题：我们通过折纸和几何画板验证了猜想是正确的，你能否用学过的知识来证明你的猜想？提示学生：1.你认为证明两个角不等的方法是什么？2.从折纸的过程中你能获得什么启发？(将原板书“验证：在一个三角形中，大边对大角”中的“验证”改为“证明”)师生共同根据文字命题画出图形，写出已知、求证。已知：如图，在△ABC中，AB>AC . 求证：∠C > ∠B. 教师巡视，及时解决学生的问题，并用手机拍摄学生的证明过程，以便展示、讲解、分析。在学生证明后，教师将学生证明过程进行展示，并靖学生分析说明。重点是分析思路的由来。（1）折纸对我们添加辅助线的启发（2）利用等腰三角形和轴对称的性质（截长补短）构造等腰三角形，将角进行转移.转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”。(3)证法六的相对复杂，学生可能听不明白，这涉及到反证法（暂且不提），故要耐心讲解。（四）终于得到结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大. （简写成：在一个三角形中，大边对大角）.符号表示：∵在⊿ABC中，AB>AC ∴∠C > ∠B.(将原板书“证明：在一个三角形中，大边对大角”中的“证明”改为“结论”)（1） 在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系？（2）如果一个三角形的最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是锐角三角形么？为什么？（3） 如图, ⊿ABC中，AD是中线，如果AB>AC，判断∠1与∠2的大小关系， 并给予证明.待学生回答后展示：1、在一个三角形中，大边对大角。2、研究几何问题的方法： “观察→猜想→验证→证明→归纳”。3、在解决问题时，我们可以将新问题转化到旧知识，用已有的知识解决新问题。这种“转化”的思想是研究几何问题时常用的方法，我们要注意掌握。 学生分组进行研究、讨论1、量角器测量2、折纸法--叠合法：（1）沿ＢＣ边的垂直平分线折叠. （2）沿角平分线折叠：作∠BAC的角平分线AD，将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.（3）沿高翻折：作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.3、追问：通过折纸，如何说明∠C > ∠B？（学生展示折叠过程并请学生展示折叠图形）4、归纳猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"在一个三角形中，大边对大角"）。学生单独证明。展示学生的证明方法（手机拍摄的相片）：证法一: 证明：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在边AB上截取AE，使AE=AC,连接DE.∵AD为∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在⊿EAD和⊿CAD中∵ AD=AD∴⊿EAD≌⊿CAD（SAS）∴∠C=∠3（全等三角形的性质）又∵∠3>∠B.∴∠C>∠B（等量代换）. 证法二过A作BC的垂线，垂足为D， 在BD边上截取DE，使DE=DC，连接AE .证法三：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点E.在AC延长线上截取CD，使AD=AB，连接ED,利用三角形外角的性质证明∠ACB > ∠B. 证法四：在边AB上截取AD,使AD=AC，连接CD.由等边对等角可知∠1=∠ACD.又由三角形中外角的性质知∠1＞∠B， 又因为∠ACB=∠ACD+∠DCB. 所以∠ACB＞∠ACD所以∠ACB＞∠B.或：由于AB>AC，故可延长AC到E，使AB=AE.证法六： 作BC的中垂线交BC于点D,交 AB于点E,连EC。（1）若点E在和A重合，则 AB = AC， 这与题设AB > AC相矛盾，因此这种情况不存在。（2）若点E在AB延长线上，设ED交AC于F 则 FB=FC,于是AC=FC+FA=FB+FA > AB， 这与题设AB > AC相矛盾，因此这种情况不存在。（3）这样，点E只能在AB上， 则 ∠ECB = ∠ B， 于是∠ACB >∠ECB > ∠ B 学生先归纳，师生订正。学生独立思考后回答，师生评价。请学生回答，师生集体订正。分析：延长AD一倍到点E,连CE。 则 ⊿ABD ≌ ⊿ECD ，∠2=∠E, AB=EC. 由于AB>AC，那么CE=AB>AC所以，∠1>∠E, 即∠1>∠2, 先由学生小结，再由学生补充。1.在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"在一个三角形中，大边对大角"）.2、研究几何问题的方法： “观察→猜想→验证→证明→归纳”。3.利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为等腰三角形及三角形外角的问题， 根据研究几何问题的一般思路和方法,体会观察猜想—实践验证—推理证明—归纳整理的过程.学生上台展示培养学生的动手操作能力,为后面证明时添加辅助线作铺垫；几何画板展示学生的折纸方法，让学生体会辅助线的做法。既对所需知识进行合理复习，也为后面学生添加辅助线构造基本图形奠定了基础；验证猜想具有一般性.通过讲解，提高学生语言表达能力和归纳能力；会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换；培养学生语言表达能力和归纳能力；让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡；规范书写几何推理的过程，尤其是注意辅助线的说明和折纸方法对应结合，将无意识的操作变为有意识的添加辅助线.让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的深刻性和广阔性.学生充分利用边不等的已知条件添加辅助线.培养学生总结归纳的能力，和评价反思的意识.题目条件中没有角平分线、高等条件，区别于前面的题，学生经过尝试，翻折变换无法实现，为实现目标角的转移，引导学生关注中点条件. 通过此题让学生充分巩固和掌握利用旋转变换添加辅助线的方法以及利用“大边对大角”证明角不等关系的方法.巩固探究的内容，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。通过板书中几个关键词（“猜想”、“验证”、“证明”、“结论”的变化，向学生渗透解决问题的办法。通过小结，使学生梳理本节课所学内容和研究方法，把握本节课的核心——转化，提升学生思维的深刻性 ，养成善于总结的学习习惯.
六作业布置 1、整理做法：运用第三种证法完成对"在一个三角形中，大边对大角"证明。2、类比今天探究“大边对大角”的活动过程，请你探究“大角对大边”。 拓展知识的深度与广度，让学生学以致用。 作业1：规范书写几何推理的过程，并进一步巩固所学。作业2的推理，让学有余力的同学课后充分探究，提高知识方法的迁移能力，并锻炼克服难题的毅力。