人教版八年级数学上册 13.3.2 含30°角的直角三角形的性质 教案

含30°的直角三角形的性质
教学目标 知识技能 1．理解掌握有一个角为30°的直角三角形的性质。2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
数学思考 1、经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充。2、培养学生用规范的数学语言进行表述的习惯和能力．
解决问题 1、通过观察直角三角形30°角所对的直角边和斜边的关系，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。2、通过运用有一个角为30°的直角三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识
情感态度 1、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲．2、在运用数学知识解答问题的活动中，鼓励学生积极参与数学活动，体验数学活动中的探索与创新．感受数学的严谨性．
重点 含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
难点 1．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题
教学流程安排
活动流程图 活动内容和安排
活动1 由拼图引发问题，激发学生探索的热情活动2探索--发现 --猜想，含30°角的直角三角形的性质，引出课题活动3含30°角的直角三角形的性质的证明活动4含30°角的直角三角形的性质的运用活动5反馈练习活动6小结与作业 通过拼图，引导学生熟悉轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系通过设置问题串，探索--发现 --猜想，归纳含30°角的直角三角形的性质从理性上认识含30°角的直角三角形的性质的正确性发展学生的推理能力和语言表达能力，培养学生的实践能力和观察总结能力在解题过程中加深对性质的理解，学会性质的运用在练习中加深对本节知识的理解，感受30°角的直角三角形的性质的运用通过小结及课后探究习题梳理所学知识，达到巩固、发展、提高的目的
教学过程设计
问题情境 师生活动 设计意图
[活动1] 问题1、我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质．2、用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？活动2 问题1、请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？2、探究：在这些图形中，轴对称图形有 个，其中三角形有 个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由（若学生不能单独回答可以先与同伴交流结论成立的理由，教师可提示：求得∠B=∠C=∠BAC=60°或证∠ABD=60°，有一个角是6O°的等腰三角形是等边三角形．）（3）在等边△ABD中，AB BD（填“＞”、“＜”或“=”） 在Rt△ABD中， =30°，30°所对的直角边是 ，BC= AB（为什么）活动3 问题 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗 1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？2、总结：该性质适用范围是什么？（直角三角形）运用该性质可求什么？（计算和证明线段的倍分，揭示了30°角直角三角形中边的数量关系的特殊性，）逆命题成立吗？在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°，（请同学们课后验证）活动4 问题 1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD⊥AB，AB=4，则BC= ，∠BCD= ，BD= 2、如图1，∠ABC=30°，AC⊥BC，AB=4cm，求AC的长，如图2，若D是AB中点，连结DC，求DC的长如图3，若D是AB中点，DE⊥BC，求DE的长如图1 如图24、如图是屋架设计图的一部分， 点D是斜梁AB A
的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC， AB=7．4 m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？追问：（1）若D变成AB上使CD⊥AB于D的点，其它条件不变，如图a，你能分解出30°角的直角三角形吗？求出那些线段的长？（2）如图a，BD与AB有何数量关系，此结论与AB的长度有关吗？（课后讨论）课堂练习：1、填空：∵Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=30°∴BC= （ ）2、 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度 边AB与BC之间有什么关系 3、小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200m，求山的高度活动5课堂小结问题通过这节课的学习，你又学到了直角三角形的哪些知识？活动6作业1、必做题： (一) 教科书第148页练习11，12，13，14题 (二)预习P 151-152，选做题：教科书第151页习题14.3第14题备选题：（1） 已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC中点，DE⊥AB与E，求证：AE=1/4AB．（2）已知直角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线线把对边分成两条线段，求证：其中一条是另一条的2倍已知：在Rt△ABC, ∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线求证：CD=2AD 板书设计含30°的直角三角形的性质 性质的探究 性质：在直角三角形中，有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜 边的一半． 范例分析 课堂练习 课时小结 课后作业 学生思考：直角三角形的两个锐角互余，三个角之和等于180°板书课题：30°角的直角三角形的性质学生度量，与同伴交流自己的猜想，教师电脑演示，得出结论：30°角所对的直角边是斜边的一半．（或者说：30°角所对的直角边是斜边的2倍）学生动手拼图，互相交流，把不同的图贴到黑板上，有6种拼法学生观察摆出的如下两个三角形．讨论并回答 图2 同学们从不同的角度说明拼成的图(2)是等边三角形．学生口述，教师简单板书学生观察、思考我们一起来完成这个结论的证明学生分析条件和结论，并转化成数学符号已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°∠BAC=30°求证：BC=1/2AB教师纠正和补充学生的发言，引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D，使CD=BC，连接AD．[师生共析]学生分组讨论证明过程，学生板书演示证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如下图)∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)． ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC=1/2BD=1/2 AB．(演示课件)选择：下列结论正确的是（ ）（1）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所所对的直角边等于另一直角边的一半．（2）在一个三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（4）在一个直角三角形中，直角三角形的斜边是最小的直角边的2倍A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（1）、（3）D．（2）、（4）学生仔细读题，分析其中的数量关系教师提示：要准确选择直角三角形请个别学生板演详细过程，强调解题格式要规范如图3分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=1/2AD，BC=1/2AB，又由D是AB的中点，所以DE=1/4AB． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴ BC=1/2AB，DE=1/2AD， ∴BC=1/2×7．4=3．7(m)．又∵AD=1/2AB， ∴DE=1/2AD=1/2×3．7=1．85(m)． 答：立柱BC的长是3．7 m，DE的长是1．85 m．图a学生思考、讨论、整理（1）5个Rt△ADE，Rt△DCE，Rt△BDC，Rt△ADC，Rt△ABCBC=3.6m，BD=1.8m，AD=5.4m，DE=2.7m（2）BD=1/4AB与AB长度无关答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系，这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要构造含30°角的直角三角形这是证明在直角三角形中，一条线段等于另一条线段边的一半的一种途径．连接AD证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1/2AB．在Rt△BCD中，∠B=60°，∠BCD=30°． BD=1/2BCBD=1/4AB证明：在Rt△ABC中, ∠A=90∠ABC=2∠C． ∠ABC=60,° ∠C=30° 又BD是∠ABC的平分线 ∠ABD=∠DBC=30° AD=1/2BD,BD=CDCD=2AD 提出问题．创设情境学生经历拼摆三角形和度量三角尺的活动，发现结论。同时复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系如果学生不能回答，可追问：能拼出一个等边三角形吗 同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起。引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明培养学生的语言转换能力，增强理性认识，体验性质的正确性，提高演绎推理的能力结合前后知识，清晰解释思路提示学生注意语言表达的严谨与科学正、逆两方面帮助学生更好地认识直角三角形这个定理在我们实际生活中有广泛的应用．B让学生体会到找准直角三角形是正确解题的关键课堂练习反馈调控综合应用，巩固提高课本例题涉及的线段、角较多，学生不易找到解题的突破口，因此设计该分层推进的补充题，为解答以下例题做好铺垫帮助学生进一步认识直角三角形的性质因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．含30°角的直角三角形的边的关系，这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要