人教版八年级数学上册 14.2.1平方差公式 教案

《平方差公式》教学设计
一、内容和内容解析
1．内容
平方差公式．
2． 内容解析
（1）教材分析
从多项式的乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程，乘法公式的应用十分广泛，是本章的重点内容之一．按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，本节只介绍两个最基本、用途最广泛的乘法公式：平方差公式和完全平方公式．
正确运用平方差公式的关键，除了要掌握公式的结构特征外，还要理解公式中字母的广泛意义，可以向学生说明公式中字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示式子（单项式或多项式），只要符合公式的结构特征，就可以运用公式．
（2）学情分析
学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解。
二、教学目标
1.知识与技能目标
经历平方差公式的探索与推导过程，掌握平方差公式的结构特征并能熟练应用。
过程与方法目标
运用公式进行简单的运算，获得一些数学活动的经验，进一步增强学生的符号感.推理和归纳的能力及解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
让学生经历“特殊到一般再到特殊的”（即：特例-归纳-猜想-验证-用符号表示-解决问题）这一数学活动过程，积累数学活动的经验，体会数学的简洁美和数形结合的思想方法。培养他们合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识。
三．教学重点和难点
重点： 正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算.
难点：平方差公式的结构特点
四、教学问题诊断分析
平方差公式中字母不仅可以表示数，也可以表示式（单项式或多项式），从具体的数的运算过渡到式的运算，抽象程度较高，不易理解，教学时应引导学生对公式结构特征进行深刻的认识和理解．
五、教学过程设计
1. 创设情境引入新课
从大家喜欢的多肉植物的种植开始引入新课：
小明的爷爷，养了一些多肉植物，因为空间有限，想把原来边长为1米正方形的架子，一边减少10cm，一边增加10cm，正在上八年级的孙子知道了爷爷的想法，说“您这样放话，有些多肉植物会放不下”。同学们知道为什么吗？
2．探究平方差公式
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） ；
（2） ；
（3） ．
师生活动：学生计算，三个学生在黑板上板书，师生共同点评．
设计意图：
（1）既复习多项式的乘法，又为本节内容的引入做铺垫；
（2）通过计算，让学生体会多项式的乘法与本节内容的联系——从一般到特殊；
（3）三个特殊的算式具有代表性和层次性，降低学生抽象概括出一般结论的难度．
问题2：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？你能用一个一般形式表示吗？
师生活动：学生观察，先用语言描述发现的共同点，再用一个一般的式子表示出来，最后由教师统一规范．
设计意图：
（1）培养学生从特殊到一般的抽象概括能力；
（2）得出平方差公式的左半部分，同时让学生体会平方差公式的使用条件．
问题3：相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生观察并作出回答．
设计意图：
（1）让学生观察等式的两边，寻找联系，引导学生得出公式的右半部分；
（2）为学生体会公式的结构特征做好铺垫．
问题4：你能将发现的规律用式子表示出来吗？
师生活动：教师提出问题，学生小组讨论交流，学生代表在黑板上展示交流成果，师生共同点评．
设计意图：
（1）让学生自己提炼出平方差公式；
（2）培养学生的抽象概括能力；
（3）让学生知道算式满足平方差公式的使用条件后怎样算．
问题5：我们通过以上三个特殊的算式抽象概括出了一个一般性的结论，现在应该干什么呢？
师生活动：教师提问，学生思考并尝试作出回答，教师可进行适当引导．
设计意图：
（1）根据已有的学习经验，让学生了解数学性质及公式的一般学习方法及规律；
（2）培养学生严谨的求知态度，提高学生自主学习能力．
问题6：你能验证上述式子的正确性吗？
师生活动：学生独立完成，学生代表在黑板上写出验证过程．
设计意图：
（1）进一步巩固平方差公式的用法；
（2）让学生了解代数恒等式的一般证明方法．
问题7：在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形
请表示图中阴影:部分的面积
师生活动：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动，利用这些图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性．
从上面的探究解决引入新课的问题，是学生体会用数学解决生活的问题。
设计意图：让学生进一步体会数形结合的思想。
3.理解平方差公式
下列式子可用平方差公式计算吗
(1) (a+b)(a b) (2) (-2x+y)(y+2x).
(3) (a+2b)(2b+a); (4) (a b)(a+b) ;
(5) (a b)(b a) ; (6)(a+b+c)(a-b+c)
1．左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2．
2．让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能数或代表式．
师生活动：学生先独立完成，然后小组合作，最后由学生代表汇报答案。
设计意图：在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住概念的核心．
4．巩固平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（1）； （2）． （3）
师生活动：学生代表上讲台展示解答过程，教师巡视，师生共同评价．
设计意图：巩固平方差公式的用法．
例2 计算：
（1）；（2）102×98．
师生活动：学生代表上讲台展示解答过程，解答有困难学生可展开小组讨论，教师巡视，师生共同评价．
设计意图：（1）巩固在整式的混合运算中平方差公式的用法．（2）对于一些特殊的算式，经过适当的变形后也可运用平方差公式进行计算．
5．强化练习，巩固提高
练习1、（1） （2） （－ ＋y）（ ＋y）
（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（1）
练习2、填上适当的代数式，使它能用平方差公式进行计算（提示:有两种情况）：
（1） (2a+3b)_____________________________
(2) ( 5x-7y)_______________________________
师生活动：学生代表上讲台展示解答过程，教师巡视，师生共同评价．
设计意图：进一步巩固平方差公式的运用．
6拓展升华
计算下列各式
(1)（x-y）（x+y）（x2+y2)
(2)（2+1）（22+1) （24+1) （28+1) （216+1)
师生活动：学生代表上讲台展示解答过程，教师巡视，师生共同评价．
设计意图：拓展升华，进一步巩固平方差公式的运用．
7．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）平方差公式是如何探究并推导出来的？在运用时要注意什么？
8. 整理学案
9．布置作业
教材第112页习题14．2第1题．
六.教学反思
我认真准备，仔细研读教材，精心制作出课件和教案，按教科书的教学顺序和过程，既安排学生计算上的运算探究猜想，又安排几何实践剪纸法，利用面积来验证公式。我从实际问题出发，给出动手操作的实际几何问题引出本课，得出平方差公式的猜想，让学生动手实践，数形结合得出平方差公式，在利用多项式的乘法法则计算验证，最后辨析、应用，让学生熟悉平方差公式，最后应用提高，给出实际生活中的一个问题，利用平方差公式计算较大的数字，让学生明白学习平方差公式不但可以在实际生活中运用，而且还可以简便计算，激发学生对平方差公式学习的兴趣，从而很好地掌握好平方差公式。最后再进行小结，反馈。