2021—2022学年人教版八年级数学下册18.2.3正方形课后练习题 (Word版含答案)

18.2.3正方形 课后练习题
一、选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分且相等 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线是正方形的对称轴
2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，BE与CF交于点G．若BC＝8，DE＝AF＝2，则FG的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，CE，BF相交于点G，AB＝2，则CG＝（　　）
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A．4﹣2 B．3﹣4 C．1 D．
5．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A． B． C．3 D．3.5
7．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A． B． C． D．＋1
8．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE，AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC＝（　　）
A．1 B． C． D．
9．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE DE＝4，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，正方形，对角线相交于点O，过点D作的角平分线交于点G，过点C作，垂足为F，交于点E，则的比为（ ）
A． B． C．2∶1 D．5∶2
二、填空题
11．顺次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，只要添加___条件，就能保证四边形EFGH是矩形．
12．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____．
13．正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 _____．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．
15．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______．
三、解答题
16．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分別为、．求证：四边形是正方形．
17．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，
交AE于点O，且BF⊥AE ．
(1)求证：BF＝AE；
(2)连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．
18．如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．
(1)求点P的坐标．
(2)当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．
19．如图，Rt△ABC中，，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作，，两线交于点E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若∠B＝45°，CD＝2，求四边形AECD的面积．
20．如图，在中，，，点为边的中点，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请证明你的结论．
21．提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ；
（2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为）
（3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由．
【参考答案】
1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D
11．
12．
13．8
14．①②③
15．16
16．证明：∵平分，，，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形．
17．(1)证明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠EOB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE；
(2)解：OD=AB，理由如下：
如图，延长AD交射线BM于点G，
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∵E是BC的中点，
∴，
∴CF=DF，
∵AD∥BC，
∴∠DGF=∠CBF，
在△DGF和△CBF中，
∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG=BC，
∴DG=AD，即OD为△AOG的中线，
∵BF⊥AE，
∴．
18．(1)解：∵点P （3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，
∴3m-1=-2m+4，
∴m=1，
∴P（2，2）；
(2)①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．
∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，
∴PM=PN，
∴四边形OMPN是正方形，
∵P（2，2），
∴PM=PN=OM=ON=2，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠MPN=90°，
∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，
∴∠MPB=∠NPA，
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM=AN，
∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4．
②连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴OA2+OB2=AB2．
∵∠BPA=90°，
∴AB2=PA2+PB2=2PA2，
∴OA2+OB2=2PA2，
当PA最小时，OA2+OB2也最小．
根据垂线段最短原理，PA最小值为2．
∴OA2+OB2的最小值为8．
19．(1)证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中，，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形．
(2)解：∵Rt△ABC中，，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD=DB=2，
∴∠B=∠BCD=45°，
∴∠CDA=∠B+∠BCD=90°，
∴四边形AECD是正方形，
∴ S正方形AECD= CD 2=4．
21．解：
（1）如图（1）所示：
∵点，，
∴，，
∵四边形OBCD是矩形，
∴，，
∴点；
（2）如图（2）所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵点，，
∴，，
∴点，点；
（3）如图（3）所示：
∵四边形OBCD是正方形，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∴点，点．
23．解：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD，
故答案为： ；
（2），；理由如下：
如图，设AB与CE的交点为P，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
；
即：，；
（3）如图，过点作交延长线于；
，
，，
，
在和中，，
，
，
，