高一必修一期末复习资料
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文档简介
集 合
一、要点精讲
1 （1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。。
5．集合的简单性质：
（1）
（2）
（3）
（4）；
二、基础自测
1、已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ）
A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d}
2、集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若={1，2，3，4，5}，则x=（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
3、全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，
6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）
A. B. C. D.
4、已知集合，，那么集合 ， ，
5、设集合,,且，则实数的取值范围是 。
三．典例解析
题型1：集合的概念
例1、设集合，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）
A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q
题型2：集合的运算
例3、(1) 已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{4，5}，求A∩（UB）
(2)已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}．
若A∩B＝Φ，求a的取值范围； (2) 若A∪B＝B，求a的取值范围．
(3)若，，，求。
四．课后提升
1．方程组的解构成的集合是 （ ）
A． B． C．（1，1） D．
2．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ）
A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d}
3．下列图形中，表示的是 （ ）
4．下列表述正确的是 （ ）
A. B. C. D.
5、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参
加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )
A.A∩B B.AB C.A∪B D.AB
6.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若={1，2，3，4，5}，则x=（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，
6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）
A. B. C. D.
8.设集合， 。
9. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是 。
10.已知集合，，那么集合 ， ， .
11. 已知集合，集合，若，求实数a的取值集合．
12. 已知集合，集合，若满足 ，求实数a的值．
函数概念及其表示
一、要点精讲
1.函数的定义
2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义
4.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
二、基础自测
1．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是( )
A．f(x)＝log2x B．f(x)＝ C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x
2、已知，若，则的值是（ ）
A. B. 或 C. ，或 D.
3、设则的值为（ ）
A B C D
4.设函数，则的表达式是 .
5.已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝______________.
三．典例解析
题型一:函数的概念.
例1.(1) 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴，；
⑵，；⑶，；
⑷，；⑸，.
A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸(2)已知函数f(x)＝lg(x＋3)的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N
等于 ( )
A．{x|x>－3} B．{x|－3题型二:函数及其表示
例2:(1) 设，则 （ ）
A． B．0 C． D．
(2)已知，则= .
(3)已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式．
四．课后提升
1、下列每组函数是同一函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
2．函数y＝ 的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
3.在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，若，则的值是（ ）
A. B. 或 C. ，或 D.
5.设函数，则的定义域为 ．
6.设函数，则的表达式为
7.二次函数f（x）满足且f（0）=1.
?(1)??? 求f（x）的解析式;
(2)?在区间上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
8.如图，在△AOB中，点A（2，1），B（3，0），点E在射线OB上自O开始移动.设OE=x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，试写出左边部分的面积S与x的函数关系，并画出大致的图象。
函数的基本性质
一．要点精讲
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对称性质：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称；
②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
（2）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
（3）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
3．最值
（1）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
二、基础自测
1．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
4．若函数是偶函数，则的递减区间是 .
5.已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， .
三．典例解析
题型一：判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：
题型二：奇偶性的应用
例2．(1)设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____ 。
(2)已知定义在上的奇函数，当时，，
那么时，
题型三：判断证明函数的单调性、最值。
例3．设，是上的偶函数。
求的值；（2）证明在上为增函数。
例4．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。
题型四：函数性质的综合应用
例5．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。
四．课后提升
1．已知函数，，
则的奇偶性依次为（ ）
A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数 C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数
2．已知在区间上是增函数，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
3.下列函数是偶函数的是
A. B. C. D.
4.已知函数的最值情况为 （ ）
A . 有最小值,有最大值1 B.有最小值,有最大值
C. 有最小值1,有最大值 D . 有最小值，无最大值
5.是偶函数，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
7．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，
则__________。
8.已知函数
（1）求函数的定义域
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.
9.已知，若满足，
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并加以证明。
10已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
一、要点精讲
1 （1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。。
5．集合的简单性质：
（1）
（2）
（3）
（4）；
二、基础自测
1、已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ）
A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d}
2、集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若={1，2，3，4，5}，则x=（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
3、全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，
6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）
A. B. C. D.
4、已知集合，，那么集合 ， ，
5、设集合,,且，则实数的取值范围是 。
三．典例解析
题型1：集合的概念
例1、设集合，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）
A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q
题型2：集合的运算
例3、(1) 已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{4，5}，求A∩（UB）
(2)已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}．
若A∩B＝Φ，求a的取值范围； (2) 若A∪B＝B，求a的取值范围．
(3)若，，，求。
四．课后提升
1．方程组的解构成的集合是 （ ）
A． B． C．（1，1） D．
2．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ）
A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d}
3．下列图形中，表示的是 （ ）
4．下列表述正确的是 （ ）
A. B. C. D.
5、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参
加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )
A.A∩B B.AB C.A∪B D.AB
6.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若={1，2，3，4，5}，则x=（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，
6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）
A. B. C. D.
8.设集合， 。
9. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是 。
10.已知集合，，那么集合 ， ， .
11. 已知集合，集合，若，求实数a的取值集合．
12. 已知集合，集合，若满足 ，求实数a的值．
函数概念及其表示
一、要点精讲
1.函数的定义
2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义
4.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
二、基础自测
1．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是( )
A．f(x)＝log2x B．f(x)＝ C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x
2、已知，若，则的值是（ ）
A. B. 或 C. ，或 D.
3、设则的值为（ ）
A B C D
4.设函数，则的表达式是 .
5.已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝______________.
三．典例解析
题型一:函数的概念.
例1.(1) 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴，；
⑵，；⑶，；
⑷，；⑸，.
A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸(2)已知函数f(x)＝lg(x＋3)的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N
等于 ( )
A．{x|x>－3} B．{x|－3
例2:(1) 设，则 （ ）
A． B．0 C． D．
(2)已知，则= .
(3)已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式．
四．课后提升
1、下列每组函数是同一函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
2．函数y＝ 的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
3.在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，若，则的值是（ ）
A. B. 或 C. ，或 D.
5.设函数，则的定义域为 ．
6.设函数，则的表达式为
7.二次函数f（x）满足且f（0）=1.
?(1)??? 求f（x）的解析式;
(2)?在区间上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
8.如图，在△AOB中，点A（2，1），B（3，0），点E在射线OB上自O开始移动.设OE=x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，试写出左边部分的面积S与x的函数关系，并画出大致的图象。
函数的基本性质
一．要点精讲
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对称性质：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称；
②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
（2）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
（3）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
3．最值
（1）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
二、基础自测
1．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
4．若函数是偶函数，则的递减区间是 .
5.已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， .
三．典例解析
题型一：判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：
题型二：奇偶性的应用
例2．(1)设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____ 。
(2)已知定义在上的奇函数，当时，，
那么时，
题型三：判断证明函数的单调性、最值。
例3．设，是上的偶函数。
求的值；（2）证明在上为增函数。
例4．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。
题型四：函数性质的综合应用
例5．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。
四．课后提升
1．已知函数，，
则的奇偶性依次为（ ）
A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数 C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数
2．已知在区间上是增函数，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
3.下列函数是偶函数的是
A. B. C. D.
4.已知函数的最值情况为 （ ）
A . 有最小值,有最大值1 B.有最小值,有最大值
C. 有最小值1,有最大值 D . 有最小值，无最大值
5.是偶函数，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
7．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，
则__________。
8.已知函数
（1）求函数的定义域
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.
9.已知，若满足，
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并加以证明。
10已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。