生活中的变量关系
依赖关系和函数关系
依赖关系 函数关系
在某变化过程中，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化 在某变化过程中，如果变量具有依赖关系，对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应
变量与变量之间一定存在依赖关系吗？
提示：不一定．因为只有一个变量发生变化，另一个变量随之发生变化时，两个变量才具有依赖关系．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)水稻产量y与施肥量x是依赖关系．( )
(2)圆的面积S与半径r是函数关系．( )
(3)两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系．( )
提示：(1)√.水稻产量随着施肥量的变化而变化，所以它们是依赖关系．
(2)√.对于半径r都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S与半径r是函数关系．
(3)×.只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系．
2．下列命题是假命题的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
【解析】选D.A，B，C都是真命题，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．
3．(教材例题改编)给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考号之间的关系．
其中不是函数关系的有________．(填序号)
答案：①③④
类型一 变量间关系的判断(逻辑推理)
1．下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？
①圆的面积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
④正三角形的面积和它的边长．
2．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？
(3)大约在什么时刻，气温在0 ℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
【解析】1.①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；③中，两个变量不存在依赖关系．④中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝a2的关系．综上①②④中两个变量间都存在依赖关系．
2．(1)上午8时气温约是0 ℃，全天最高气温大约是9 ℃，全天最低气温大约是－2 ℃.
(2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃.
(3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上，变量0≤t≤24，变量－2≤T≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势．T与t具有依赖关系，也具有函数关系．
依赖关系与函数关系的判断方法与步骤
【补偿训练】
下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系．
(2)商品的销售额与广告费之间的关系．
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系．
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
【解析】(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量．反之不行．
(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系．
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系．
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量．反之也是．
综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系．
类型二 变量关系的表示(直观想象)
【典例】李明某天9时骑自行车离开家，15时回到家，他离家的距离与时间的变化情况如图所示．
(1)图像表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)10时和13时，他分别离家多远？
(3)他在什么时间内离家最远？离家多远？
(4)李明离家的距离是时间的函数吗？反过来，时间是离家的距离的函数吗？
【思路导引】
明确纵轴与横轴的意义，结合图像分析．
【解析】(1)图像表示了时间与距离两个变量的关系，时间是自变量，距离是因变量．
(2)10时和13时，分别离家10千米和30千米．
(3)他在12时至13时离家最远，离家30千米．
(4)李明离家的距离是时间的函数，因为对于某一个确定的时间，与之对应的离家距离是唯一确定的；时间不是离家的距离的函数，因为对于某一个确定的离家距离，与之对应的时间不是唯一确定的．
表示变量关系的两种常用方法
(1)借助图像反映生活中两个变量的关系，使它们之间的变化情况相吻合，以达到用图的目的．解决这类问题时，需从图中找到两个变量，并判断它们之间相互依赖关系的变化情况．
(2)通过表格来反映两个变量之间的关系，解决这类问题时，需根据表中两个变量的对应数据，分析其变化情况，做出判断．
一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
(1)试求图中阴影部分的面积，说明面积的实际含义，并分析面积与时间是否构成函数关系．
(2)假设汽车里程表在行驶这段路程前的读数为a km，当1
【解析】(1)阴影部分的面积为S＝50＋80＋90＋70＋60＝350，阴影部分的面积表示汽车在这5个小时内行驶的总路程为350 km.由于时间t的每一个取值，都有唯一的面积的值与之对应，因此面积与时间构成函数关系．
(2)根据图像可得，s＝80(t－1)＋a＋50.
1．下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A．某一天24小时内的时间与气温
B．光照时间和果树的亩产量
C．降雨量和交通事故发生率
D．一个人的身高与体重
【解析】选A.易知每一时刻都有唯一气温与之相对应．故选A.B，C，D都不是确定的函数关系．
2．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
【解析】选A.积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增产肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
3．(教材习题改编)下列变量之间是函数关系的是( )
A．某商场的人流量与商场营业额之间的关系
B．汽车的速度与“和谐号”动车的速度的关系
C．等边三角形的周长与其面积的关系
D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系
【解析】选C.A，B，D都不是函数关系．C项中，每一个等边三角形的周长值都有唯一的面积值与之对应，故两者之间的关系为函数关系．故选C.
4．自变量x与因变量y之间的关系如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 4 6 8 …
(1)写出x与y的关系式：______________．
(2)当x＝2.5时，y＝________．
【解析】(1)由表中数据可知自变量x与因变量y之间成正比例函数关系，其关系式为：y＝2x.
(2)当x＝2.5时，y＝5.
答案：(1)y＝2x (2)5
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6函数概念
1．函数的有关概念
(1)对应关系f一定是解析式吗？
提示：不一定．对应关系f可以是解析式、图像、表格，或文字描述等形式．
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
2．区间的有关概念
设a，b是两个实数，而且a3．特殊区间
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系．( )
提示：(1)×.由函数的定义知，只有非空数集间才可能建立函数关系．
(2)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )
提示：(2)√.因为由函数定义知，定义域内的任意一个数，在确定的对应关系下，都有唯一确定的数与之对应，这些数构成函数的值域，故定义域和对应关系确定后，值域随之确定．
(3)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )
提示：(3)×.根据区间的概念，只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．
2．函数y＝＋的定义域为( )
A． B．
C． D．∪
【解析】选D.依题意得解得，x≥1且x≠3，
所以函数的定义域为∪.
3．函数y＝f(x)的定义域是R，则在同一坐标系中y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【解析】选B.由于1∈R，所以由函数的定义知：在值域中有唯一的像与之对应．
类型一 函数的概念(数学抽象)
【典例】1.下列四个图像中，是函数图像的是( )
A．①② B．①③④ C．①②③ D．②③④
2．判断下列对应关系是否为函数．
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝.
(2)A＝N，B＝R，f：x→y＝±.
(3)A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－2|.
(4)A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.
【思路导引】1.判断给定一个x的值，y有几个值与之对应即可．
2．判断对于A中的每一个x，在B中是否有唯一的值与之对应．
【解析】1.选B.根据函数的定义，对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，所以②不是函数图像．
2．(1)因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，
在对应关系f：x→y＝之下，在B中没有元素与之对应，因而不能构成函数．
(2)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．
(3)对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0 B，从而不能构成函数．
(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．
1．判断一个对应关系是否为函数的步骤
(1)判断A，B是否为非空数集．
(2)判断A中任意一个元素在B中是否有元素与之对应．
(3)判断A中任意一个元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．
2．判断一个对应关系是否为函数的关注点
利用定义判断一个对应关系是否为函数关系，应注意题中的两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图像：
能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.①中，因为在集合M中，当12．下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
【解析】选C.因为A中集合A中x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中集合A中x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有0；C正确；D中，集合A中的负数在集合B中没有数与之对应．
【补偿训练】
1.下图中能表示函数关系的是________．
【解析】由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
2．如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图像的有______．
【解析】由函数的定义知，自变量x与因变量y的对应关系可以一对一、多对一，但不能一对多．所以①⑤能够作为函数的图像，②③④不能作为函数的图像．
答案：①⑤
类型二 相等函数的判断(逻辑推理)
【典例】1.下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝1，g(x)＝x0
C．f(x)＝，g(x)＝()2
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
2．下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝.
(2)f(x)＝与g(x)＝x－1.
(3)f(x)＝|x－1|与g(t)＝
(4)f(n)＝2n－1与g(n)＝2n＋1(n∈Z).
【思路导引】根据相等函数的意义，定义域和对应关系都相同的函数是相等函数进行判断．
【解析】1.选C.A中两函数f(x)＝，g(x)＝()2的定义域不同；B中两函数f(x)＝1，g(x)＝x0(x≠0)的定义域不同；C中两函数f(x)＝，g(x)＝()2的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；D中两函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x≠1)定义域不同．
【解析】(1)g(x)＝|2x＋1|，f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数．
(2)f(x)＝x－1(x≠0)，f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数．
(3)f(x)＝f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数．
(4)f(n)与g(n)的定义域和对应关系都不同，因此是不同的函数．
由解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是
同一个函数的步骤
提醒：函数与自变量及因变量的表示符号无关．
1．下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．f＝x2，g＝
B．f＝1，g＝0
C．f＝，g＝
D．f＝，g＝x－3
【解析】选C.A中：g＝＝≠x2，与f(x)不是同一函数；
B中：g＝0＝1，与f(x)不是同一函数；
C中：两函数的定义域都是{x|x>0}，f(x)＝g(x)＝1，所以表示同一个函数；
D中：f＝＝x－3，与g(x)不是同一函数．
2．哪个函数与函数y＝x相同( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝2 D．y＝
【解析】选D.对于A：y＝；对于B：y＝x(x≠0)；对于C：y＝x，x∈[0，＋∞)；对于D：y＝x.显然只有D与函数y＝x的定义域和值域相同．
类型三 函数的定义域与值域(数学抽象)
函数的定义域问题
【典例】1.函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤－1}
C．R D．{x|x≥－1且x≠1}
2．已知函数f(x)的定义域为{x|－1A．{x|－1C．{x|0【思路导引】1.函数f(x)的解析式中，被开方式中有x，分式的分子、分母中都有x；使解析式有意义，列出x所满足的条件求解．
【思路导引】准确理解定义域就是对应关系“f”的适用范围．
【解析】.选D.由题意得 x≥－1且x≠1.故函数的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．
【解析】选B.因为函数f(x)的定义域为{x|－1所以－1<2x＋1<1，解得－1故函数f(2x＋1)的定义域为{x|－1 函数的值域问题
【典例】1.设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2)).
2．求下列函数的值域：
①y＝2x＋1.
②y＝.
③y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2).
④y＝x＋.
【思路导引】把自变量代入对应函数解析式求值即可．
【思路导引】先确定函数的定义域，分析解析式的结构特征，选取适当的方法求解．
【解析】因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋
(a≠－2).g(f(2))＝g(10)＝＝.
【解析】①(观察法)因为x∈R，所以2x＋1∈R，故函数的值域为R.
②(分离常数法)因为y＝＝
＝3＋，
又因为≠0，所以y≠3.
所以函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．
③(配方法)因为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，
所以其图像是开口向下，顶点为(－1，4)，
在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则
当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；
当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3.
故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12，3].
④(换元法)设u＝，则x＝(u≥0)，
于是y＝＋u＝(u≥0).
由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.
故函数y＝x＋的值域为.
1．已知函数解析式求定义域的类型及求解策略
(1)整式：若y＝f(x)为整式，则函数的定义域是实数集R.
(2)分式：若y＝f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．
(3)偶次根式：若y＝f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义).
(4)几部分组成：若y＝f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集.
(5)实际问题：若y＝f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．
提醒：由于原函数与化简后的解析式的自变量取值范围有可能不同，故一般情况下不可对原函数化简后求定义域．
2．求函数值域的方法
(1)图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域．
(2)观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，≥0等观察出函数的值域．
(3)求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化简为y＝d＋的形式．
(4)配方法：遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为y＝m(x＋n)2＋d的形式，从而轻易找出函数的最值，进而求得函数的值域．
(5)换元法：求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围．
1．函数y＝＋(2x＋1)0的定义域为( )
A． B．
C． D．
【解析】选B.要使函数有意义，则即故函数的定义域为.
2．函数y＝的定义域为________．
【解析】依题意
解得x∈∪.
答案：∪
3．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)和f(f(2)).
(2)若f(x)＝，求x.
(3)求函数f(x)的值域．
【解析】(1)因为f(2)＝＝，
所以f(f(2))＝f＝＝＝－.
(2)由f(x)＝，得＝，x2＝3，所以x＝±.
(3)f(x)＝1＋.
因为x2＋1≥1，所以－2≤<0，所以－1≤1＋<1.所以函数f(x)的值域为[－1，1).
4．(1)求函数f(x)＝＋的定义域．
(2)求函数f(x)＝的值域．
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则
解得x≥1且x≠2.
所以函数的定义域为∪.
(2)因为f(x)＝＝－1＋，1＋x2≥1，
所以0<≤1，则0<≤3，
所以－1<－1＋≤2，
即函数f(x)＝的值域为.
【补偿训练】
1.函数f(x)＝x2＋6，x∈R的值域为________.
【解析】因为x∈R，x2＋6≥6，所以函数f(x)＝x2＋6的值域为[6，＋∞).
答案：[6，＋∞)
2．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系能够构成A为定义域，B为值域的函数是__________(填满足条件中的所有函数的序号).
①y＝2x ②y＝x2 ③y＝|4－2x| ④y＝x＋5
⑤y＝(x－2)2
【解析】关键从函数定义入手，对于①，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，显然值域为B＝{y|0≤y≤4}，①满足条件，对于②③⑤，当定义域为A时，显然求得值域也为B，满足条件，而对于④，值域为{y|5≤y≤7}不满足．
答案：①②③⑤
3．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值．
(2)求f(g(3))的值．
(3)求函数g(x)的值域．
【解题指南】(1)将x＝2分别代入f(x)与g(x)的函数表达式中求f(2)，g(2).
(2)先求g(3)，再求f(g(3)).
(3)利用x2≥0求值域．
【解析】(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＝＝.
又g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)因为g(3)＝32＋2＝11，
所以f(g(3))＝f(11)＝＝.
(3)因为x2≥0，所以x2＋2≥2，所以g(x)的值域为[2，＋∞).
备选类型 抽象函数的定义域(数学抽象)
【典例】1.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【思路导引】函数g(x)的定义域是函数f(2x)的定义域与x－1≠0的解集的交集．
【解析】因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，
所以要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.所以g(x)的定义域是[0，1).
答案：[0，1)
2．若函数f(x＋1)的定义域为[－2，2]，则函数f(2x－1)＋f(2x＋1)的定义域是________．
【思路导引】先根据已知求出f(x)的定义域，然后求f(2x－1)与f(2x＋1)的定义域的交集．
【解析】因为－2≤x≤2，所以－1≤x＋1≤3，
所以由得0≤x≤1，
所以所求函数的定义域为[0，1].
答案：[0，1]
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
已知f(x2)的定义域为[－2，2]，则f(2x)＋f(x＋3)的定义域为________．
【解析】由于f(x2)中x∈[－2，2]，所以0≤x2≤4，所以f(2x)＋f(x＋3)中：所以0≤x≤1.
答案：[0，1]
1．下列函数的定义域为正实数集的是( )
A．y＝x2 B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝
【解析】选D.函数y＝x2的定义域为R，函数y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数y＝的定义域为[0，＋∞)，函数y＝的定义域为(0，＋∞).
2．给出下列四个说法：
①函数就是两个集合之间的对应关系；
②若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；
③若f(x)＝5(x∈R)，则f(π)＝5一定成立；
④若定义域和对应关系确定，值域也就确定了．
其中正确说法的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B.①不正确．函数是定义在两个非空数集上的对应关系．②不正确．如函数f(x)＝0(x∈R)，值域为{0}．③④正确．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝与y＝
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(t)＝
【解析】选D.因为A中的函数定义域不同；B中y＝中x≠0，而y＝中x≠－1；C中两函数的对应关系不同，所以A，B，C中两函数不是同一个函数．
4．函数f＝x0＋，则其定义域为________．
【解析】因为函数f＝x0＋，所以
解得－3≤x≤3且x≠0；
所以函数f(x)的定义域是[－3，0)∪(0，3].
答案：[－3，0)∪(0，3]
5．函数f(x)＝x2－2x，x∈{－2，－1，0，1}的值域为__________．
【解析】因为f(－2)＝(－2)2－2×(－2)＝8，f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＝3，f(0)＝02－2×0＝0，f(1)＝12－2 ×1＝－1，所以f(x)的值域为{8，3，0，－1}．
答案：{8，3，0，－1}
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13函数的表示法
1．函数的表示方法
函数的表示方法 内容 优点
①列表法 列出表格表示两个变量之间函数关系的方法 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系
②图像法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 直观地表示函数的局部变化规律,进而可以预测它的整体趋势
③解析法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式表示出来的方法 能较顺利地通过计算手段研究函数性质
2.分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
(1)函数的解析式是含有几个变量的方程吗？
提示：因变量y是自变量x的函数，若能用解析式表示为y＝f(x)，这是关于x与y的二元方程．
(2)函数的图像一定是连续曲线(含直线)吗？
提示：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数都可以用函数解析式表示．( × )
提示：有的函数不能用函数解析式表示，如气温—时间函数．
(2)银行电子屏上的利率表是列表法表示函数．( √ )
提示：银行的利率是存期的函数，银行电子屏上的利率表是列表法表示函数．
(3)分段函数是由多个函数组成的．( × )
提示：分段函数是一个函数，只是同一个函数在不同范围内的对应关系不同．
2．已知函数f(x)＝2x－1，则f(x＋1)等于( )
A．2x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．1
【解析】选C.f(x＋1)＝2(x＋1)－1＝2x＋1.
3．已知函数f＝则f＝________，f＝________．
【解析】因为函数f＝所以f＝1－2×(－1)＝3，所以f＝f(3)＝9.
答案：3 9
4．(教材例题改编)已知f(x)＝|x＋1|，若f(a)＝2，则a＝________．
【解析】由f(a)＝2，得|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
类型一 求函数解析式(数学运算)
角度1 待定系数法求函数解析式
【典例】1.已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式．
【思路导引】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，根据题意求a，b.
【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]
＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
2．已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．
【思路导引】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意求a，b，c.
【解析】因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由f(0)＝1，得c＝1.
又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
本例2条件“f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x”改为“f(1－x)＝f(1＋x)，f(2)＝1，f(1)＝3，”如何求f(x).
【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝3，
可设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，
又因为f(2)＝a(2－1)2＋3＝1，故a＝－2，
所以f(x)＝－2x2＋4x＋1.
角度2 换元法求函数解析式
【典例】1.已知f＝，则f的解析式为( )
A．f＝
B．f＝－
C．f＝
D．f＝－
【思路导引】令＝t，解出x＝，代入已知代数式，化简即可得出答案．
【解析】选C.设＝t，则x＝，
所以f＝＝＝，
即f＝.
2．已知f(＋1)＝x－2，求f(x).
【思路导引】观察＋1与x－2之间的关系，可以利用换元法，即令＋1＝t，然后解出x，代入代数式即可求得；也可根据两者之间的关系进行拼凑．
【解析】方法一：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，
代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
方法二：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
角度3 解方程组法求函数解析式
【典例】1.已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋3x，则f(x)的解析式为________．
【思路导引】用代换x，即可与原方程构成关于f(x)，f的方程组，解该方程组就得函数f的解析式．
【解析】由题意知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋3x，即f(x)－2f＝3x，用代换上式中的x，
可得f－2f(x)＝，
联立得
解得f(x)＝－x－(x≠0).
答案：f(x)＝－x－(x≠0)
2．已知3f＋2f＝x＋3，则f的解析式为________．
【思路导引】用－x代换x，即可与原方程构成关于f(x)，f(－x)的方程组，解该方程组就得函数f的解析式．
【解析】因为3f(x)＋2f(－x)＝x＋3①，
用－x替换x得3f(－x)＋2f(x)＝－x＋3②，
①×3－②×2得5f(x)＝5x＋3，所以f＝x＋.
答案：f＝x＋
函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)解方程组法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f(x).
1．已知f(x)是一次函数，且f(x－1)＝3x－5，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3
【解析】选B.设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f(x－1)＝k(x－1)＋b＝3x－5，即kx－k＋b＝3x－5，得：k＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x－2.
2．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解析】设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
因为f(0)＝1，所以c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
因为f(x＋1)－f(x)＝2x对任意的x∈R都成立，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，得
所以所以所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1.
3．若函数f(x)对于任意实数x恒有f(x)－2f(－x)＝3x－1，求f(x)的解析式．
【解析】因为f(x)－2f(－x)＝3x－1，
所以f(－x)－2f(x)＝－3x－1，
联立方程组
解得f(x)＝x＋1.
类型二 函数的图像及其应用(直观想象)
【典例】1.明清时期，古镇河口因水运而繁华．有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图像是( )
【思路导引】由题意可以得出各段过程中y随x变化而变化的趋势，即可得答案．
【解析】选A.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x的增大而增大；停留一段时间内，y随x的增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x的增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x的增大而减少．
2．已知函数y＝f的对应关系如表，函数y＝g的图像是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f(2))的值为________，f(g(2))的值为________.
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
【思路导引】根据函数图像和表格确定函数值的对应关系即可得到结论．
【解析】由题意可知f(2)＝2，g(2)＝1，f(1)＝3，
则g(f(2))＝g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝3.
答案：1 3
3．作出下列函数的图像．
(1)f(x)＝1－x.
(2)f(x)＝.
(3)f(x)＝x2－4x＋1.
【思路导引】利用列表、描点、连线的步骤作函数图像．
【解析】(1)f(x)＝1－x是一次函数，它的图像是一条直线．
列表：
x 0 1
y 1 0
描点、连线得函数的图像如图：
(2)f(x)＝＝x，其定义域为{x|x≠1}，它的图像为直线y＝x除去点(1，1)的部分，如图：
(3)f(x)＝x2－4x＋1，它的图像为抛物线．
列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 1 －2 －3 －2 1
描点、连线得函数的图像如图：
1．描点法作函数图像的基本步骤
求函数定义域→化简解析式→在定义域内选择关键点列表→在坐标系中描出这些关键点→用光滑曲线连接这些关键点→得函数图像．
2．作图像时要注意的一些关键点
与坐标轴的交点；图像上的最高点、最低点；还要分清这些关键点是实心点还是空心点．
提醒：函数的图像可以是一群孤立的点或连续的曲线，也可以是间隔开的线段．
1．列车从A地出发直达500 km外的B地，途中要经过距A地200 km的C地，假设列车匀速前进5 h后从A地到达B地，则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图像为( )
【解析】选A.当t＝0时，s＝200.列车的运行速度为＝100 km/h，所以列车到达C地的时间为＝2 h，故当t＝2时s＝0.
2．如图所示，函数f的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为，，，则f＝________，f＝________．(用数字作答)
【解析】由题干图可知f＝1，f＝f(2)＝0.
答案：1 0
3．某商场新进了10台液晶彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
【解析】①列表法如下：
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图像法，如图所示．
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
类型三 分段函数及其应用(逻辑推理、直观想象)
角度1 求分段函数的值
【典例】1.已知函数f(x)＝则f(f(1))＝( )
A． B．2 C．4 D．11
【思路导引】首先求出f(1)，并根据其所在区间代入对应解析式求解f(f(1)).
【解析】1.选C.因为1<2，所以f(f(1))＝f(3)，又因为3>2，所以f(3)＝3＋＝4，故f(f(1))＝4.
2．函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝( )
A．－5 B．－3 C．±3 D．±3或－5
【思路导引】对x≤0和x>0分类讨论，列出方程，求解即可．
【解析】选B.当x≤0时，x2＋1＝10，解得x＝－3，
当x>0时，－2x＝10，解得x＝－5(舍)，则x＝－3.
角度2 分段函数的图像
【典例】已知函数f(x)＝|2x＋1|.
(1)用分段函数的形式表示该函数．
(2)在下边所给的坐标系中画出该函数的图像．
(3)根据图像直接写出f(x)的定义域、值域(不要求证明).
【思路导引】首先去掉函数解析式中的绝对值符号，即得分段函数的解析式，然后作出函数图像即可．
【解析】(1)因为f(x)＝|2x＋1|，由2x＋1≥0，
得x≥－；由2x＋1<0，得x<－.
得分段函数解析式f(x)＝
(2)如图，函数图像为两条射线．
(3)观察图像，得函数的定义域为R，值域为[0，＋∞).
1．分段函数求函数值的方法
(1)确定需要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
3．分段函数图像的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．
(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
1．已知函数f(x)＝则f的值为( )
A． B．6 C． D．
【解析】选D.根据题意，函数f(x)＝
则f(2)＝22＋2×2－2＝6，
则f＝f＝2－＝.
2．已知函数f(x)＝若f(x)＝－2，则x＝________．
【解析】若x<2，则－x＝－2，可得x无解；
若x≥2，则x2－3x＝－2，求得x＝2或x＝1(舍去).
答案：2
3．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)＝______．
【解析】当x<－1时，设f(x)＝ax＋b，
则解得所以f(x)＝x＋2；
当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2，由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2；
当x>2时，设f(x)＝cx＋d，则
解得所以f(x)＝2x，
所以f(x)＝
答案：
【补偿训练】
某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图像如图所示．
求：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元？
(2) y与x之间的函数解析式．
【解析】(1)由题意可知当0＜x<100时，设函数解析式y＝kx，又因过点(100，40)，得解析式为y＝x，当月通话为50分钟时，且0＜50＜100，所以应交话费y＝×50＝20(元).
(2)当x≥100时，设y与x的函数解析式为y＝ax＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.
则有，
解得
所以当x≥100时，函数解析式为y＝x＋20.
综上所述，函数解析式为y＝
备选类型 图像变换(直观想象)
【典例】若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为( )
【思路导引】根据两个解析式之间的对应关系，找出函数图像之间的关系，第一步，f(x)中的自变量x变为x＋1，即得f(x＋1)，显然与f(2)对应的两个自变量中，分别为2与1，故需要把函数f(x)的图像向左平移一个单位；第二步，f(x＋1)与－f(x＋1)的对应，显然，同一个自变量，两个函数值互为相反数，故把函数f(x＋1)的图像作一个关于x轴的对称变换即可．
【解析】选C.y＝f(x)的图像向左平移1个单位，可得函数y＝f(x＋1)的图像，再作关于x轴对称的图像，可得函数y＝－f(x＋1)的图像．
变换作图法
已知函数f(x)＝.
(1)把函数f(x)化为f(x)＝a＋的形式．
(2)用平移变换的方法作出函数f(x)的图像，并说明作图过程．
(3)若定义域为∪(1，＋∞)，通过观察图像直接写出函数f(x)的值域．
【解析】(1)f(x)＝＝＝1－
＝1－.
(2)函数y＝的图像向右平移个单位得函数y＝的图像，向上平移1个单位得函数y＝1－的图像．如图所示．
(3)通过观察图像可知函数f(x)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
1．函数y＝f(x)的对应关系如下表，则f(11)＝( )
x 0y 2 3 4 5
A.2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.根据表格知：f(11)＝4.
2．已知f(x)＝则f(f(－3))等于( )
A．0 B．π C．π2 D．9
【解析】选B.f(f(－3))＝f(0)＝π.
3．如果一次函数f(x)的图像过点(1，0)及点(0，1)，则f(3)＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【解析】选B.设一次函数的解析式为f(x)＝kx＋b，其图像过点(1，0)，(0，1)，所以解得
所以f(x)＝－x＋1，所以f(3)＝－3＋1＝－2.
4．如图所示，是吴老师散步时离家距离y与行走时间x之间的函数关系的图像，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是( )
【解析】选D.图像显示有一段时间吴老师的离家距离是个定值，所以A、B、C三个选项均不符合题意，只有D选项符合题意．
5．已知函数f(x)＝则f(f(－2))的值为( )
A．4 B．12 C．16 D．36
【解析】选B.因为f(x)＝所以f(－2)＝4，因此f(f(－2))＝f(4)＝12.
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14映射
映射的有关概念
(1)映射与函数的关系是什么？
提示：函数一定是映射，而映射不一定是函数．映射是函数概念的推广．
(2)映射与一一映射的区别是什么？
提示：映射是以集合A到B的对应，可以是一对一，或多对一，B中可有元素在A中没有像与之对应；而一一映射是一一对应，即A中的每个原像在B中都有唯一的像与之对应，而B中的像在A中都有唯一的原像．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)映射定义中的两个非空集合A和B一定是数集．( × )
提示：不一定，也可以是点集，或由图形组成的集合等.
(2)在映射f：A→B中，B中的元素都有原像与之对应．( × )
提示：不一定，如映射f：A→B如图所示：
B集合中的元素5，在A集合中无原像与之对应．
(3)从集合A到集合B的映射，与从集合B到集合A的映射是同一个映射．( × )
提示：A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是不同的，即映射具有方向性．
2．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(2x－y，x＋2y)，则元素(3，－1)在f的作用下的原像为( )
A．(0，－1) B．(1，－1)
C． D．(7，1)
【解析】选B.设元素(3，－1)在f的作用下的原像为(x，y)，因为f：(x，y)→(2x－y，x＋2y)，所以解得即原像为(1，－1).
3．设集合A＝{a，b}，B＝{0，1}，则从A到B的映射共________个．
【解析】从A到B的映射有4个，如图所示．
答案：4
类型一 函数、映射、一一映射的判断(逻辑推理)
1．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )
【解析】选D.如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．故选项D构成映射，对于选项A，不能构成映射，因为前边的集合中的元素2在后一个集合中没有元素和它对应，故此对应不是映射．对于选项B，前面集合中3，4在后一个集合中对应两个数3，4，故此对应不是映射．对于选项C，前面集合中5在后一个集合中对应两个数1，4，所以C是错误的．
2．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )
A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
【解析】选D.用排除法，A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除．
3．判断下列对应是否是映射，是否是函数．
(1)A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B.
(2)A＝R，B＝{1，2}，f：x→y＝
(3)A＝{平面m内的三角形}，B＝{平面m内的圆}，对应关系是“作三角形的外接圆”．
【解析】(1)例如1∈A，在f作用下，1→|1－1|＝0 B，所以不是映射，故也不是函数．
(2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应，而当x<0时与B中的元素2对应，因此能构成映射．又A，B均为数集，因此也能构成函数．
(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆唯一，因此能构成从A到B的映射，但由于A，B都不是数集，因此不能构成函数．
1．判断映射的技巧
(1)判断一个对应关系是集合A到集合B的映射，应从两个角度去分析：
①存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；
②唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
这两个条件缺一不可．
(2)若判断不是集合A到集合B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素在集合B中无对应元素或有多个对应元素即可．
2．函数与映射的关系与判断
(1)关系：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射．
(2)判断：判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：先看两个集合是否都是非空数集；再看对应关系是否为映射．
【补偿训练】
1.在某次学校组织的跳绳比赛中，某班获得了年级第一名的好成绩．下表是该班5名同学的成绩：
姓名 王小明 张红燕 田丽丽 李平浩 于志杰
成绩/个 190 172 172 181 205
设该5名同学为集合A，5名同学的跳绳成绩为集合B，则下列说法正确的是( )
A．集合A到集合B不是映射
B．集合A到集合B是函数
C．集合A到集合B是映射，且是一一映射
D．集合A到集合B是映射，但不是一一映射
【解析】选D.集合A中每个元素在集合B中有且仅有一个元素对应，所以集合A到集合B是映射．由于集合A不是数集，所以集合A到集合B不是函数．由于张红燕，田丽丽对应同一个分数，所以集合A到集合B不是一一映射．
2．下图分别为集合A到集合B的对应，其中，是从A到B的映射的是( )
A．(1)(2) B．(1)(2)(3)
C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)
【解析】选A.(1)(2)中的每一元素满足在B中有唯一确定的元素和它们相对应，故(1)(2)是映射，
(3)中a元素在B中有两个元素和它对应，不满意映射定义，故(3)不是映射，
(4)中c元素在B中有两个元素和它对应，且b元素在B中无元素和它对应，故(4)不是映射．
3．已知集合P＝，Q＝{y}，下列不表示从P到Q的映射是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝
【解析】选A.A中，对应关系为f：x→y＝x，当x∈，y∈，>2，故A错；B、C、D三项经检验都符合映射条件．
类型二 像与原像、映射的个数问题(数学抽象)
角度1 像与原像问题
【典例】在映射f：A→B中，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1，2)对应的B中的元素为( )
A．(1，3) B．(－3，1) C．(－1，－3) D．(3，1)
【思路导引】首先根据映射的定义以及其对应的法则，结合坐标满足的条件，列出相应的方程组求解即得结果．
【解析】选B.因为映射f：A→B中，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，所以当x＝－1，y＝2时，故与A中的元素(－1，2)对应的B中的元素为(－3，1).
将本例中条件改为：设f，g都是映射，其对应法则如表(从上到下)：映射f的对应法则是表1：
表1
原像 1 2 3 4
像 3 4 2 1
映射g的对应法则是表2：
表2
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
则与f(g(1))相同的是( )
A．g(f(1)) B．g(f(2)) C．g(f(3)) D．g(f(4))
【解析】选A.根据表中的对应关系得，f(g(1))＝f(4)＝1，g(f(1))＝g(3)＝1；g(f(2))＝g(4)＝2；g(f(3))＝g(2)＝3；g(f(4))＝g(1)＝4.
角度2 映射的个数问题
【典例】已知集合M＝{x，y，z}，N＝{－1，1}，则从集合M到集合N的映射中，满足f＝1的映射有______个( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路导引】在两个集合中，集合M有三个元素，其中一个已经确定对应关系，剩下两个元素，分别和集合N中的两个元素对应，得到共有4种不同的结果．
【解析】选B.因为满足x对应的元素是1，集合M中还有两个元素y和z，
y可以和－1对应，也可以和1对应，
z可以和－1对应，也可以和1对应，
每个元素有两种不同的对应，所以共有2×2＝4种结果．
1．求像与原像的两种情况及解法
(1)原像→像：若已知原像a，求其在B中的像，这时只要将a代入对应关系f求出结果即可．
(2)像→原像：若已知B中的像b，求其在A中的原像a，这时需构造方程(组)进行求解，需注意解得的结果可能有多个．
提醒：在解题过程中，常因混淆“像”与“原像”的概念导致解题错误．
2．一般地，若A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bm}，由不完全归纳法(即由特殊到一般进行归纳猜想)，可知映射f：A→B共有mn个，映射f：B→A共有nm个．
点(x，y)在映射f下的像是(2x－y，2x＋y)，则点(4，6)在映射f下的原像是( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.由已知得解得
因为在映射f下的像是，
所以在映射f下的原像是.
1．对于映射f：A→B，A＝B＝，且f：→，则与B中的元素对应的A中的元素为( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.由题意，f：A→B，且映射f：→，令解得所以与B中的元素对应的A中的元素为.
2．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B，把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，像20的原像是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.因为20＝2n＋n，分别将选择项代入检验，知当n＝4时成立．
3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为( )
A．7，6，1，4 B．6，4，1，7
C．4，6，1，7 D．1，6，4，7
【解题指南】密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可．
【解析】选B.当接收方收到密文14，9，23，28时，
有解得解密得到的明文为选项B.
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7函数的单调性
1．函数单调性的相关定义
(1)定义：
(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量间的对应规律，刻画了函数在区间上的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的内容．
(3)应用：①比较大小；②求参数取值范围；③解不等式；④确定零点的个数．
函数的单调性定义中，x1，x2的值有什么特点？
提示：(1)“区间A”可以是函数的定义域，也可以是函数定义域的子集．
(2)增函数、减函数定义中自变量x1，x2有三个特征：
①x1，x2属于同一单调区间A；
②任意性，即不能用特殊值代替；
③有大小，通常设x12．函数的最值
(1)定义：
函数是增加的或是减少的 条件 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A,当x1都有f(x1)f(x2)
结论 就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的 就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的
单调区间 区间A称为y=f(x)的单调区间
单调性 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性
增(减)函数 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数
(2)本质：函数的最值反映的是函数整体的性质，不能只研究定义域的子区间．
(3)求解：①图像法；②单调性法．
函数的最值和值域有何联系与区别？
提示：(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)正比例函数y＝kx(k≠0)是单调函数．( √ )
提示：正比例函数y＝kx(k≠0)，当k>0时是增函数；当k<0时是减函数．所以正比例函数是单调函数．
(2)二次函数y＝x2在(－∞，＋∞)上是单调函数．( × )
提示：二次函数y＝x2在(－∞，＋∞)上是先减少后增加的函数，所以二次函数y＝x2在(－∞，＋∞)上不具有单调性．
(3)反比例函数y＝x－1在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．( × )
提示：反比例函数f(x)＝在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．可是在区间(－∞，0)上是减少的，在区间(0，＋∞)上也是减少的．这是由于反比例函数f(x)＝的定义域在0处不连续，若取x1＝－1(4)因为函数f(x)＝x2＋1>0，所以f(x)的最小值为0.( × )
提示： 对于函数f(x)＝x2＋1>0，可知0不是函数值，即不存在x，使f(x)＝0，所以函数的最小值为1，不是0.
2．函数y＝的单调递减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【解析】选C.由图象知单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).
3．(教材例题改编)已知函数y＝－x2＋bx＋c，则函数的最________值为________．
【解析】因为函数y＝－x2＋bx＋c的图像是开口向下的抛物线，且y＝－x2＋bx＋c＝－＋c＋，所以函数的最大值为c＋.
答案：大 c＋
类型一 利用函数图像求函数的单调区间(直观想象)
1．如图所示，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的递减区间为__________．
【解析】根据单调减区间的概念与其图像形状可知：函数的递减区间为，[0，＋∞).
答案：，[0，＋∞)
2．分别画出下列函数的图像，写出函数的增区间与减区间．
(1)y＝x2＋2x－3.
(2)y＝|x2＋2x－3|.
【解析】(1)y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出函数的图像，抛物线开口向上，其对称轴为直线x＝－1，所以函数的递增区间是[－1，＋∞)，递减区间是(－∞，－1).
(2)由(1)得f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4的图像．保留其在x轴及x轴上方的部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴上方就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图所示．由图像可得函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3)，(－1，1).
求函数单调区间的方法
(1)图像法
根据图像的“上升趋势”或“下降趋势”，从而得到函数的单调性.
(2)性质法
运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可直接利用．
掌握以下结论，对于判断函数的单调性有一定好处．
①当f(x)>0时，函数y＝与y＝f(x)的单调性相反，对于f(x)<0也成立；
②在公共定义域内，两函数都是增加的和仍为增加的，一个函数是增加的减去一个函数是减少的所得的函数为增加的；
③函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性；
④当c>0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c<0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性．
【补偿训练】
1.已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则该函数的减区间为( )
A．(－3，－1)∪(1，4)
B．(－5，－3)∪(－1，1)
C．(－3，－1)，(1，4)
D．(－5，－3)，(－1，1)
【解析】选C.在某个区间上，若函数y＝f(x)的图像是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4).
2．作出函数f(x)＝的图像，并指出函数的单调区间．
【解析】f(x)＝
的大致图像如图所示：
由图像可知：函数在(－∞，1]，(1，2]上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的．
类型二 利用单调性定义判断或证明函数的单调性(逻辑推理)
【典例】已知c为常数，证明：函数f(x)＝x3＋c在(－∞，＋∞)上为增函数．
用定义证明函数单调性的方法步骤
(1)取值：设任意x1，x2属于给定区间，且x1(2)作差变形：f(x1)－f(x2)变形的常用方法有：因式分解、配方、分子有理化等，目的是进行和差化为积商，利于与0比较大小．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的正负号．
(4)下结论：由定义得出函数的单调性．
证明：函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
【证明】任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则x1－x2＜0，那么f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)，因为x1，x2∈(0，＋∞)，所以x1x2＞0，所以1＋＞0，又x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
【拓展延伸】抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要灵活应用题设条件判断函数值之间的关系．常用思路：先在所证区间上设出任意的x1，x2(x1【拓展训练】已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当00，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
【解析】设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，
且x1＝f＋f(x2)－f(x2)＝f，
因为x1，x2∈(0，＋∞)且x1所以f>0，所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上递减．
类型三 利用函数单调性求最值(直观想象)
【典例】已知函数f(x)＝
(1)在平面直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
【思路导引】利用函数的图像与性质，得到函数的单调性，即可求出函数的最值．
【解析】(1)图象如图所示：
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3].
利用函数单调性求函数最值的思路
(1)判断f(x)±g(x)的单调性；
(2)结合函数f(x)±g(x)的单调性判断函数的最值．
求函数f(x)＝3x－＋2在上的最值．
【解析】因为函数y＝3x与y＝－＋2在上都是递增的，所以函数f(x)＝3x－＋2在上是递增的．
故f(x)max＝f(4)＝12－＋2＝，
f(x)min＝f(1)＝3－＋2＝.
类型四 函数的单调性、最值与参数问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 函数的单调性与参数问题
【典例】若f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【思路导引】由题意可得3a－1＜0，－a＜0且－a≤3a－1＋4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的取值范围．
【解析】选A.由题意可得
求得≤a< ，则a的取值范围是.
角度2 函数的最值与参数问题
【典例】函数f(x)＝x2＋2x＋5在[t，t＋1]上的最小值为φ(t)，求φ(t)的解析式．
【思路导引】本题轴定区间动，所以可以根据对称轴与区间的关系分为轴在区间左侧，轴在区间右侧和轴在区间内部三种情况进行求解．
【解析】f(x)＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4.
当t>－1时，f(x)的最小值为t2＋2t＋5；
当－2≤t≤－1时，f(x)的最小值为4；
当t<－2时，f(x)的最小值为t2＋4t＋8.
所以φ(t)＝
1．根据函数的单调性求参数的方法
(1)熟练掌握常见函数的图像；
(2)结合常见函数的图像对参数进行讨论以及验证分析，探求参数的取值范围．在求解过程中常常用到核心素养中的直观想象．
2．利用函数的图像求函数的最值
(1)图①所示函数是递增的，故在区间上存在最小值f(a)，最大值f(b).
(2)图②所示函数是递减的，故在区间上存在最大值f(a)，最小值f(b).
(3)图③所示的函数在(－∞，a]上是递增的，在[a，＋∞)上是递减的，故在x＝a处取最大值，即f(x)max＝f(a).
(4)图④所示的函数在(－∞，a]上是递减的，在[a，＋∞)上是递增的，故在x＝a处取最小值，即f(x)min＝f(a).
3．函数的最值与参数
(1)已知函数最值求参数
已知最值求参数主要思路：直接求该函数的最值(含参数)，令其等于已知最值即可求出参数的值．
(2)含参函数的最值问题
含参函数的最值，一般需要根据参数的取值进行分类讨论，在讨论时要做到参数取值不重不漏．
1．已知函数f(x)＝若对R上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)<0成立，那么a的取值范围是( )
A．(0，3] B． C．(0，2] D．
【解析】选C.任取x10，所以f(x1)>f(x2)，所以函数y＝f(x)在R上为减函数，故有解得02．已知函数f(x)＝x2－4x＋5在闭区间上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为函数f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的对称轴为x＝2，此时函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5.又函数f(x)＝x2－4x＋5在区间上的最大值为5，最小值为1，所以实数m的取值范围为.
3．已知函数f(x)＝2x＋b在区间(－1，2)上的函数值恒为正，则b的取值范围为________．
【解析】因为f(x)＝2x＋b为增函数，且在(－1，2)上的函数值恒为正，所以只需f(－1)＝－2＋b≥0即可，解得b≥2，即实数b的取值范围为[2，＋∞).
答案：[2，＋∞)
【补偿训练】
用min表示a，b两个数中的较小值．
设f(x)＝min(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
【解析】在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像，
如图所示．
根据min(x≥0)的含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图像应为图中的实线部分．解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4，6).观察图像知，f(x)的最大值为图像最高点的纵坐标，即f(x)的最大值为6.
答案：6
1．函数f(x)＝kx＋3图像的变化趋势为( )
A．先增加后减少 B．增加
C．减少 D．与k的取值有关
【解析】选D.k＝0时，为常数函数；k>0时，函数f(x)为增函数；k<0时，函数f(x)为减函数．故与k的取值有关．
2．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，＋∞)上是递增的，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，40) B．(－∞，40]
C．(40，＋∞) D．[40，＋∞)
【解析】选B.函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，因为函数f(x)在[5，＋∞)上是递增的，所以≤5，即k≤40.
3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x2－kx－6在上具有单调性，则k的取值范围是( )
A．(4，16) B．
C．[16，＋∞) D．(－∞，4]∪[16，＋∞)
【解析】选D.根据题意，函数f(x)＝x2－kx－6的对称轴为x＝，若f(x)在上具有单调性，则有≤2或≥8，解得k≤4或k≥16.
4．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，并且f(－1)＝0，则f(x)＞0的解集是__________.
【解析】因为f(－1)＝0，
所以f(x)＞0＝f(－1).
又因为f(x)在R上是增函数，所以x＞－1.
答案：{x|x＞－1}
5．函数f(x)＝x－在x∈上的最大值为________，最小值为________．
【解析】函数y＝x和y＝－在上都是增加的，所以函数f(x)＝x－在上是增加的，所以f(x)max＝f(4)＝4－＝，f(x)min＝f(2)＝2－＝.
答案：
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13二次函数的图像
1．二次函数图像的变换
2．参数“a，h，k”对二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的影响
(1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图像的开口方向和大小．
(2)h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”．
(3)k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．
(1)二次函数的图像名称是什么？
提示：二次函数图像的名称是抛物线．
(2)二次函数解析式有哪些形式？
提示：①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中(－h，k)为抛物线的顶点坐标．
③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是什么？
提示：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．( × )
提示：比较二次项系数可知3>1，因为二次项系数的绝对值越小，开口越大，所以y＝x2的开口大于y＝3x2的开口.
(2)要得到y＝－(x－2)2的图像，需要将y＝－x2的图像向左平移1个单位长度．( × )
提示：要得到y＝－(x－2)2的图像，需要将y＝－x2的图像向右平移2个单位长度．
(3)要得到y＝2(x＋1)2的图像，需将y＝2(x＋1)2－1的图像向上平移1个单位长度．( √ )
提示：根据图像平移规律可知正确．
2．将二次函数y＝2x2＋8x－7化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，正确的是( )
A．y＝2(x＋4)2－7 B．y＝2(x＋2)2－7
C．y＝2(x＋2)2－11 D．y＝2(x＋2)2－15
【解析】选D.y＝2x2＋8x－7＝2(x2＋4x)－7 ＝2(x2＋4x＋4－4)－7＝2(x＋2)2－15.
3．(教材练习改编)下列函数中，其图像开口最小的是( )
A．y＝3x2 B．y＝x2＋x－1
C．y＝－x2－x D．y＝－4x2＋1
【解析】选D.在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，越大，其图像开口越小．
类型一 二次函数的图像及其变换(数学抽象、直观想象)
1．将抛物线y＝(x－1)2＋2向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－3
C．y＝(x＋2)2＋7 D．y＝(x＋2)2－3
2．将二次函数y＝－2x2的顶点移到(－3，2)后，得到的函数的解析式为________．
3．在同一坐标系中作出下列函数的图像．y＝x2，y＝x2－2，y＝2x2－4x，并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
【解析】1.选A.y＝(x－1)2＋2，先向右平移3个单位长度得y＝(x－1－3)2＋2, 即y＝(x－4)2＋2, 再向上平移5个单位长度得y＝(x－4)2＋2＋5, 即y＝(x－4)2＋7.
2．因为二次函数y＝－2x2的顶点为(0，0)，所以要将其顶点移到(－3，2)，只要把图像向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度即可，所以平移后的函数解析式为y＝－2(x＋3)2＋2.
答案：y＝－2(x＋3)2＋2
3．列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6
描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程为：
先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝
x2－1的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图像，最后把y＝
(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．
二次函数图像的作法
(1)将函数解析式进行配方，可求得对称轴与顶点坐标．
(2)列表求出图像上的一系列点，在选取时一般关于对称轴对称选取．
(3)描点，然后用圆滑曲线连接，即得二次函数图像．
【补偿训练】
画二次函数y＝x2－6x＋21的图像，并说明它是如何经过y＝x2平移得到的．
【解析】因为y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，
所以抛物线的顶点坐标为(6，3)，对称轴为x＝6.
令x＝0，求得y＝21，即它与y轴交点为(0，21)，此交点距顶点太远，画图时用不上．
令y＝0，x2－6x＋21＝0，
因为Δ＜0，方程无实数解，
所以抛物线与x轴没有交点．
因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．
(1)利用二次函数的对称性列表：
x 4 5 6 7 8
y 5 3.5 3 3.5 5
(2)描点、连线即得函数y＝x2－6x＋21的图像，
如图所示．把y＝x2的图像向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就可得到y＝x2－6x＋21的图像．
类型二 二次函数图像的识别(直观想象)
【典例】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像的一部分，图像过点A
(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－
b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【思路导引】根据二次函数的图像可以得到图像与x轴有两个不同的交点且开口向下，故判别式为正，a<0，因为对称轴为x＝－＝－1，故图像与x轴的另一交点为(1，0)，且b＝2a，从这些信息去判断．
【解析】选B.因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为x＝－1，－＝－1，2a－b＝0，②错误．结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为x＝－＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a二次函数图像识别策略
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像识别要注意二次项系数a定开口方向；a，b定对称轴；判别式定与x轴的公共点个数．
设函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，若a＝c，则函数图像不可能是( )
【解析】选D.由于a＝c，根据根与系数的关系，有x1x2＝＝1，观察图像可发现，对于D选项，两个根都小于－1，那么它们的乘积大于1，故D选项不可能成立．
【拓展延伸】含参数的两个函数在同一坐标系
的图像的判断
(1)思路：针对选项，逐一验证．
(2)具体操作：在每个选项中确定好其中一个函数图像，找出其参数的范围或关系，再确定另外一个函数图像是否适合．
【拓展训练】函数y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图像大致是( )
【解析】选C.A，y＝ax＋b中，a>0，而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，a＜0，矛盾；B，y＝ax＋b中，a>0，b>0，而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝－>0，矛盾；D，y＝ax＋b中，a<0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾；C，y＝ax＋b中，a<0，b<0，且由y＝ax2＋bx＋c的图像可知a<0，b<0，故正确．
类型三 二次函数的解析式及其应用(数学抽象、逻辑推理)
角度1 由二次函数解析式求最值
【典例】若函数f(2x－1)＝x2＋x，则f(x)的最小值为________．
【思路导引】利用换元法得到f(x)的解析式，然后利用配方法得到二次函数的最值．
【解析】令t＝2x－1，则x＝，
所以f(t)＝＋＝，
即f(x)＝＝，
当x＝－2时，f(x)的最小值为－.
答案：－
将本例中条件改为：已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上是减少的，当x∈[a＋1，1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为( )
A． B．1 C． D. 2
【解析】选B.因为f(x)在(－∞，1]上是减少的，
所以－a≥1，即a≤－1.
所以f(x)在[a＋1，1]上的最大值为f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值为f(1)＝4＋2a，
所以g(a)＝3a2＋2a＝3－，
因为g(a)在(－∞，－1]上减少，
所以g(a)的最小值为g(－1)＝1.
角度2 求二次函数的解析式
【典例】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式．
【思路导引】(1)首先用待定系数法设出二次函数的解析式，再根据题设条件列出方程组求出待定系数的值．
(2)由题意分析可设顶点式f(x)＝a＋8.
(3)由题意可设两点式f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1).
【解析】方法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意，得解得
所以所求的二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二：设f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为直线x＝＝.
所以h＝.又函数的最大值为8，所以a<0且k＝8，
所以f(x)＝a＋8.
又f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，所以a＝－4.
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又f(x)的最大值为8，所以＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去).
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法及其一般步骤
(1)方法：待定系数法．
(2)步骤：
(*)的说明：二次函数解析式求解时应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式形式：
①当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，然后列出三元一次方程组求解．
②当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值时，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋h)2＋k(其顶点是(－h，k)，a≠0).
③当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)时，则设所求二次函数为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
1．二次函数f(x)的图像经过两点(0，3)，(2，3)且最大值是5，则该函数的解析式是( )
A．f(x)＝2x2－8x＋11
B．f(x)＝－2x2＋8x－1
C．f(x)＝2x2－4x＋3
D．f(x)＝－2x2＋4x＋3
【解析】选D.二次函数f(x)的图像经过两点(0，3)，(2，3)，则对称轴为x＝1，因为最大值是5，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋5(a≠0)，所以3＝a＋5，
解得a＝－2，故f(x)＝－2(x－1)2＋5，
即f(x)＝－2x2＋4x＋3.
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过点(－1，0)，(3，0)和(0，2)，则此二次函数的解析式为________.
【解析】因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过点(－1，0)，(3，0)和
(0，2)，
所以解得
故该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2.
答案：y＝－x2＋x＋2
3．已知一元二次函数y＝4x2－4ax＋a2－2a＋2.
(1)写出该函数的顶点坐标；
(2)如果该函数在区间[0，2]上的最小值为3，求实数a的值．
【解析】(1)由y＝4x2－4ax＋a2－2a＋2＝4－2a＋2，所以抛物线的顶点坐标为.
(2)二次函数图象开口向上，对称轴为x＝，在区间[0，2]上的最小值，分情况：
①当<0，即a<0时，x＝0时函数取得最小值，即a2－2a＋2＝3，解得a＝1±，又a<0，所以a＝1－；
②当0≤≤2，即0≤a≤4时，x＝时函数取得最小值，即－2a＋2＝3，解得a＝－舍去；
③当>2，即a>4时，x＝2时函数取得最小值，即16－8a＋a2－2a＋2＝3，解得a＝5±，又a>4，所以a＝5＋.
综上，a＝1－或a＝5＋.
【补偿训练】
已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则此函数的解析式为________．
【解析】设y＝a(x＋2)(x－2)(a<0)，
因为其图像过点(0，3)，所以a(0＋2)(0－2)＝3，
解得a＝－，所以此函数的解析式为y＝－(x＋2)(x－2)，即y＝－x2＋3.
答案：y＝－x2＋3
备选类型 已知不等式解集判断二次函数图像(直观想象、数学运算)
【典例】不等式ax2－x＋c>0的解集为，则函数y＝ax2－x＋c的图像大致为( )
【思路导引】利用根与系数的关系x1＋x2＝－，x1·x2＝结合二次函数的图像得结果．
【解析】选A.由题意知－2和1是方程ax2－x＋c＝0的两根，由根与系数的关系知(－2)＋1＝，(－2)×1＝，解得a＝－1，c＝2，所以函数解析式为y＝－x2－x＋2，即y＝－(x＋2)(x－1)，故其图像为A.
已知不等式解集判断二次函数图像的步骤
(1)因为不等式的解集的端点值即为对应方程的根，所以可以据此求出参数的值．
(2)通过参数的值可以求出二次函数解析式，进而确定函数图像．
不等式f(x)＝ax2＋x－c>0的解集为，则函数y＝f(－x)的图像大致为( )
【解析】选B.由不等式的解集可知1和－2是方程ax2＋x－c＝0的两根，由根与系数的关系知(－2)＋1＝－，(－2)×1＝－，解得a＝1，c＝2，故f(x)＝x2＋x－2，所以f(－x)＝x2－x－2，即f(－x)＝(x－2)(x＋1)，故其图像为B.
1．顶点在(2，－3)的抛物线方程为( )
A．y＝x2－4x＋1 B．y＝x2＋4x＋1
C．y＝x2－4x－3 D．y＝x2－4x＋3
【解析】选A.y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，顶点坐标为(2，－3)；y＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3，顶点坐标为(－2，－3)；y＝x2－4x－3＝(x－2)2－7，顶点坐标为
(2，－7)；y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，顶点坐标为(2，－1).
2．若函数y＝(3－t)xt2－3t＋2＋tx＋1是关于x的二次函数，则t的值为( )
A．3 B．0 C．0或3 D．1或2
【解析】选B.由题意可得
解得所以t＝0.
3．函数y＝2x(3－x)的图像可能是( )
【解析】选B.由2x(3－x)＝0，得x＝0或x＝3，可知图像与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图像开口向下，故排除D.
4．(教材习题改编)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________．
【解析】因为二次函数的解析式为y＝x2＋1，顶点坐标为(0，1)，向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点是(－2，－2)，可设新函数解析式为y＝(x－h)2＋k，代入顶点坐标得y＝(x＋2)2－2.
答案：y＝(x＋2)2－2
5．已知点(3，1)，(1，3)为二次函数f(x)＝ax2－2ax＋b(a≠0)的图像上的两个点，则f(x)的解析式为________．
【解析】将(3，1)，(1，3)分别代入f(x)＝ax2－2ax＋b(a≠0)中，
有解得
所以f(x)＝－x2＋x＋.
答案：f(x)＝－x2＋x＋
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12二次函数的性质
1．二次函数的图像和性质
【说明】(1)参数a决定开口方向．
(2)对称轴为单调区间的分界线．
(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴是什么？
提示：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴是直线x＝－.
(2)二次函数f(x)＝x2＋2x＋c中，f(－2＋x)＝f(－x)是否恒等？
提示：因为二次函数f(x)＝x2＋2x＋c图像的对称轴为直线x＝－1，设P(x，f(x))是抛物线上任意一点，则P关于对称轴的对称点为P′(－2－x，f(－2－x))，所以f(x)＝f(－2－x)，即f(－x)＝f(－2＋x).
2．二次函数的最值
(1)二次函数开口向上时，在定义域R上有最小值，无最大值；开口向下时，在定义域R上有最大值，无最小值．
(2)二次函数在区间上的最值取决于开口方向和对称轴与区间的关系．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．( × )
提示：二次项系数的正负不确定，故不正确．
(2)二次函数y＝x2－2x＋2的对称轴为x＝－1.( × )
提示：二次函数y＝x2－2x＋2的对称轴为x＝1.
(3)二次函数y＝－x2＋4x－3在区间[2，＋∞)上是增加的．( × )
提示：二次函数y＝－x2＋4x－3在区间[2，＋∞)上是减少的.
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)＝( )
A．8 B．6
C．5 D．与a，b的值有关
【解析】选C.由f(－1)＝f(3)，得其图像关于直线x＝＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝5.
3．(教材习题改编)抛物线y＝2x2－x－1的顶点坐标是________．
【解析】因为y＝2x2－x－1，即y＝22－，
所以顶点坐标为.
答案：
类型一 二次函数图像的对称性(数学运算、直观想象)
1.如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)的值分别为________．
【解析】由题意知，函数f(x)图像关于直线x＝2对称，所以b＝－4，所以f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.
答案：－2，－3
2．已知一元二次函数y＝－x2－2x＋3.
(1)求出此函数图象与坐标轴的交点坐标；
(2)指出此函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)根据(1)(2)画出此函数图象的草图．
【解析】(1)由－x2－2x＋3＝0得－＝0，
解得x＝－3或x＝1，当x＝0时，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函数图象与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)；
(2)配方，得y＝－x2－2x＋3＝－2＋4，所以此函数图象的顶点坐标为(－1，4)，对称轴为直线x＝－1；
(3)根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图：
二次函数y＝f(x)图像的对称轴的判断方法
(1)若二次函数y＝f(x)对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝.
(2)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝a(a为常数).
(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(x＋2a)＝f(x)，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为x＝a(a为常数).
(4)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴方程为x＝－.
(5)利用方程的根求对称轴方程：若二次函数y＝f(x)对应方程f(x)＝0的两根为x1，x2，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝.
提醒：(2)、(3)中f(a＋x)＝f(a－x)与f(x＋2a)＝f(x)是等价的．
【补偿训练】
已知二次函数f(x)＝x2－2mx＋1，求函数f(x)在[0，4]上的最小值．
【解析】因为f(x)＝x2－2mx＋1＝(x－m)2＋1－m2，所以f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝m.
当m≥4时，f(x)在[0，4]上是减少的，f(x)min＝f(4)＝17－8m；
当0＜m＜4时，f(x)在[0，m]上是减少的，
在[m，4]上是增加的，f(x)min＝f(m)＝1－m2；
当m≤0时，f(x)在[0，4]上是增加的，
f(x)min＝f(0)＝1，
所以综上可得f(x)min＝
类型二 二次函数的单调性与参数范围(逻辑推理)
【典例】若函数f(x)＝x2＋2mx＋1①在区间上是单调②的，求实数m的取值范围．
四步 内容
理解题意 通过函数解析式可以求出对称轴；②包含单调递增与单调递减两种．
思路探求 先根据函数解析式求出函数f(x)的对称轴，然后分单调递增和单调递减进行分类讨论．
书写表达 函数f(x)＝x2＋2mx＋1，整理得f(x)＝(x＋m)2＋1－m2，故其对称轴为x＝－m.由题意可知f(x)在上单调，所以函数f(x)在区间上单调递增或单调递减．(1)单调递增时，－m≤－1，即m≥1；(2)单调递减时，－m≥2，即m≤－2.故实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞).
题后反思 本题进一步思考可知，要保证函数f(x)在区间上单调，只要满足对称轴不在区间的内部即可，即－m≤－1或－m≥2，解得m≥1或m≤－2.此法更为简单．
已知二次函数在给定区间单调性求参数取值范围问题
二次函数在给定区间上的单调性取决于对称轴与区间的关系，当对称轴在区间内部时，在该区间不单调；当对称轴不在区间内部时，在该区间单调．
在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围为( )
A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
【解析】选C.函数f(x)＝x2－mx＋5的对称轴为x＝，因为在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，所以≤2，解得m≤4.
【拓展延伸】二次函数中的恒成立问题和与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的等价条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的等价条件是
(3)a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max.
(4)a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min.
【拓展训练】已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】因为对任意x∈，都有f(x)<0，
所以f(x)max<0，
因为f(x)max＝max，
所以
解得－即实数m的取值范围是.
答案：
类型三 二次函数的最值(数学运算、逻辑推理)
角度1 二次函数最值的求解
【典例】已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集是.
(1)求实数a，b的值；
(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋2在区间上的最大值和最小值．
【思路导引】(1)根据不等式解集的端点即为对应方程的根，利用根与系数的关系求解．
(2)利用二次函数的图像与性质求函数在指定区间上的最值即可．
【解析】(1)因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，
所以ax2＋bx＋2＝0的根是－，，
所以解得a＝－12，b＝－2.
(2)由(1)知y＝－12x2－2x＋2，x∈.
对称轴方程为x＝－，
所以当x＝－时，ymax＝；当x＝时，ymin＝－2，
即函数的最大值为，最小值为－2.
角度2 二次函数的实际应用题
【典例】如图，有一块矩形的绿地ABCD，经测量BC＝2百米，CD＝1百米，∠BCD＝90°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在矩形ABCD的边上，不计路的宽度)，EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC＝x百米，EF＝y百米．
(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置．
(2)当点F在DA上时，求路EF的长度y的取值范围．
【思路导引】(1)当点F与点D重合时，
S△CFE＝S矩形ABCD，代入三角形的面积公式即得．
(2)对CE和DF的大小进行分类讨论，确定y关于x的函数解析式，利用配方法求函数的最值即可．
【解析】(1)矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝2×1＝2，
当点F与点D重合时，S△CFE＝CE·CD＝x，
因为S△CFE＝S矩形ABCD，所以x＝，x＝1，
所以E是BC的中点．
(2)当点F在DA上时，
因为S梯形CEFD＝＝S矩形ABCD＝，
所以DF＝1－x.
①当CE≤DF时，过E作EG∥CD交DA于点G，
在Rt△EGF中，EG＝1，GF＝1－2x，
由勾股定理得y＝，x∈；
②当CE>DF，过E作EG∥CD交DA于G，
在Rt△EGF中，EG＝1，GF＝2x－1，
由勾股定理得y＝，x∈；
由①②可得y＝＝，
所以当x＝时，ymin＝1，x＝0或1时，ymax＝，
所以当x∈[0，1]时，路EF的取值范围为[1，](百米).
解实际应用问题的步骤
(1)审：理清题意，读懂题，找出各量之间的关系．
(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数．
(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系．
(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式．
(5)答：回归实际，明确答案，还原结论．
提醒：在函数建模中，变量的范围务必结合实际问题确定．
1．二次函数y＝－x2＋2x－5有( )
A．最大值－5 B．最小值－5
C．最大值－4 D．最小值－4
【解析】选C.配方得y＝－(x－1)2－4，所以当x＝1时，ymax＝－4.
2．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域是[0，＋∞)，则m＝________．
【解析】根据题意，该函数的最小值为0，故二次函数图像与x轴只有一个公共点，即对应方程的判别式Δ＝0，即2－4×8×(m－7)＝0，解得m＝9或25.
答案：9或25
3．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝3－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝a＋2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)求f(x)及定义域；
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【解析】(1)由题意知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120－x)万元，
所以f(x)＝3－6＋(120－x)＋2
＝－x＋3＋26，
依题意得解得40≤x≤80，
故f(x)＝－x＋3＋26，(40≤x≤80).
(2)令t＝，则t∈，
所以y＝－t2＋3t＋26＝－(t－6)2＋44，
所以当t＝6，即x＝72万元时，y的最大值为44万元．所以甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时总收益最大，且最大收益为44万元．
【补偿训练】
某商品进货单价为40元，若销售单价为50元，每天可卖出50件．如果销售单价每涨1元，每天的销售量就减少1件．一天中，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？并求出最大利润．
【解析】设商品的售价为x元，利润为y元，则每件商品的利润为(x－40)元，销售单价涨了(x－50)元，每天少卖(x－50)件商品，每天能卖50－(x－50)＝
(100－x)件商品.
所以y＝(100－x)(x－40)＝－x2＋140x－4 000，
由得50≤x≤100，
所以y＝－x2＋140x－4 000(50≤x≤100).
因为二次函数y＝－x2＋140x－4 000(50≤x≤100)的图像的对称轴为x＝70∈[50，100]，且开口向下，所以当x＝70时，ymax＝－702＋140×70－4 000＝900.故商品的售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为900元．
备选类型 含参数的二次函数的最值问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知函数f(x)＝x2－2ax＋3，x∈.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值和最大值；
(2)当a∈R时，求函数f(x)的最小值．
【思路导引】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋3，根据对称轴与区间的位置关系，可得函数的最值；
(2)当a∈R时，函数f(x)＝x2－2ax＋3的对称轴为x＝a，从对称轴与区间的三种位置关系进行讨论，求最小值．
【解析】(1)当a＝1时，二次函数f(x)＝x2－2x＋3，对称轴为x＝1在区间内部，且开口向上，
所以该函数在[－3，1]上是减少的，在[1，5]上是增加的，
所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝2，
当x＝－3或x＝5时，f(x)max＝f(－3)＝f(5)＝18.
(2)二次函数f(x)＝x2－2ax＋3，对称轴为x＝a.
当a≤－3时，函数f(x)在上递增，所以f(x)min＝f(－3)＝12＋6a；
当－3当a≥5时，f(x)在[－3，5]上递减，
所以f(x)min＝f(5)＝28－10a；
综上f(x)min＝
含参数的二次函数的最值求解
(1)开口向上的最大值或开口向下的最小值一定在距对称轴较远的端点值处，所以求解时需讨论对称轴数值与区间中间值的大小；
(2)开口向上的最小值或开口向下的最大值求解时，需讨论对称轴数值与区间端点值的大小，即分对称轴在区间左侧、右侧和内部．
设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈，t∈R，求函数f(x)的最小值．
【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈，t∈R，函数图像的对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数f(x)在区间上是减少的，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数f(x)在区间上是增加的，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝
1．二次函数y＝2(x＋5)2＋4的顶点坐标为( )
A．(5，4) B．(－5，4)
C．(5，－4) D．(－5，－4)
【解析】选B.因为二次函数y＝2(x＋5)2＋4，所以该函数的顶点坐标为(－5，4).
2．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2，4]上的最大值、最小值分别是( )
A．9，－15 B．12，－15
C．9，－16 D．9，－12
【解析】选C.函数的对称轴为x＝3，
所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，
当x＝－2时，函数取得最大值为9.
3．(教材习题改编)函数y＝3x2－2，x∈的值域为( )
A． B．
C．[－2，＋∞) D．
【解析】选B.由题意得函数f(x)＝3x2－2图像的对称轴为x＝0，所以函数f(x)＝3x2－2在[－2，0)上是减少的，在[0，1]上是增加的，所以f(x)min＝f(0)＝－2，又f(－2)＝10，f(1)＝1，所以f(x)max＝10，所以函数的值域为.
4．若函数f(x)＝(a－1)x2＋2x＋5的图像恒在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．
【解析】当a－1＝0时，f(x)＝2x＋5，此直线图像不是恒在x轴上方，不成立；当a－1≠0，即a≠1时，若图像恒在x轴上方，则解得a>.综上可知实数a的取值范围是.
答案：
5．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a>0)，若f(x)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．
【解析】(1)由题意得函数f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a>0)，因为函数f(x)在区间[2，3]上单调递增，
所以
解得a＝1，b＝0.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2在[2，4]上是单调函数，
所以1＋≤2或1＋≥4，
解得m≤2或m≥6.
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13简单的幂函数
1．幂函数
(1)定义：
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
(2)五种常见幂函数图像比较：
(3)幂函数的性质：
①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点(1，1)；
②如果α>0，则幂函数的图像过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增加的；
③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减少的，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x→＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴．
二次函数y＝2x2是幂函数吗？
提示：因为形如y＝xα的函数是幂函数，系数应为1，所以二次函数y＝2x2不是幂函数．
2．奇、偶函数的定义
对于函数y＝f(x)，x∈A
函数f(x)＝2x2，x∈(1，2)是偶函数吗？
提示：因为函数f(x)＝2x2，x∈(1，2)的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)＝2x2，x∈(1，2)不是偶函数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝2x3，y＝x2＋1和y＝(x＋1)3都是幂函数．( × )
提示：不符合幂函数的定义特征．
(2)幂函数y＝xα的定义域为R.( × )
提示：幂函数的定义域是使得幂函数有意义的x的集合．若α＝－1，则x≠0.
(3)函数y＝x2，x∈(－1，1]是偶函数．( × )
提示：定义域不关于原点对称．
2．幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)x2m－1在上为增函数，则实数m的值为( )
A．0 B．1 C．1或2 D．2
【解析】选D.由题意得，f(x)为幂函数，所以m2－2m＋1＝1，解得m＝0或m＝2.
因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以2m－1>0，即m>，所以m＝2.
3．(教材练习改编)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】选A.因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，得b＝0，所以g(x)＝ax3＋cx，
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
又定义域为R，所以g(x)为奇函数．
类型一 幂函数的图像与性质(数学抽象、直观想象)
【典例】函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－2是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减少的．
(1)求f(x)的解析式．
(2)用描点法作出f(x)的图像．
(3)给出y＝f(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性．
【思路导引】1.利用幂函数的定义，得到m2－m－1＝1，求得m＝2或m＝－1，之后再结合函数在x∈(0，＋∞)上递减，将m＝2排除，从而求得结果．
2．先求出函数解析式，画出图像，根据图像进行解答．
【解析】(1)因为f(x)＝(m2－m－1)·x 为幂函数，且在(0，＋∞)上为减少的，
所以m2－m－1＝1且m2＋m－2＜0，
所以m＝－1，即f(x)＝x－2(x≠0).
(2)列表
x … －4 －2 －1 － － … 0 … 1 2 4 …
y … 1 4 16 … 不存在 … 16 4 1 …
作图如图所示．
(3)由(2)可知，f(x)的单调区间为(－∞，0)及(0，＋∞).
其中f(x)在区间(－∞，0)上是增加的，在区间(0，＋∞)上是减少的，且f(x)的值域为(0，＋∞).
因为f(x)＝f(－x)，且定义域关于原点对称，
所以f(x)是偶函数．
求幂函数解析式的方法
(1)待定系数法：借助幂函数的定义，设幂函数或所要求函数中相应量．
(2)定指数：结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)定系数：如函数f(x)＝k·xα是幂函数，求f(x)的解析式，由定义知必有k＝1，即f(x)＝xα.
函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，则m的值为________．
【解析】根据幂函数的定义得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增加的；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减少的，
不符合题意．故m＝3.
答案：3
类型二 函数的奇偶性及其应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 函数奇偶性的判定
【典例】判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝.
(2)f(x)＝.
(3)f(x)＝＋.
(4)f(x)＝
【思路导引】确定函数的奇偶性，首先确定其定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，要注意等价转化再验证f(x)与f(－x)的关系．
【解析】(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又因为f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝是奇函数．
(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
又因为f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)＝是偶函数．
(3)易知定义域为{－2，2}，关于原点对称．f(x)＝0，
所以满足f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3
＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x).
综上可知，f(x)为奇函数．
角度2 奇函数、偶函数的图像特征
【典例】下列图像表示的函数中具有奇偶性的是( )
【思路导引】奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，据此可判断出正确答案．
【解析】选B.选项A中的图像关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图像表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图像关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．
角度3 函数奇偶性的简单应用
【典例】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为，则a＝________，b＝________．
(2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________．
【思路导引】(1)由偶函数可得定义域关于原点对称，即a－1＋2a＝0，求出a的值，然后利用f(－x)＝f(x)，求出b.
(2)可利用奇函数定义，由对应系数相等求解，也可采用赋值法求出a＋b的值．
【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝，
则f(x)＝x2＋bx＋b＋1，由f(x)是偶函数，且其图像的对称轴为直线x＝
－，可知－＝0，所以b＝0.
(2)方法一：由奇函数的定义得f(－x)＋f(x)＝0，当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝ax2－bx，所以ax2－bx＋x2＋x＝0，即ax2－bx＝－x2－x，故a＝－1，b＝1.
经检验知，f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
方法二：因为f(x)为奇函数，f(1)＝a＋b，f(－1)＝0，
所以f(1)＝－f(－1)＝0，即a＋b＝0.
答案：(1) 0 (2)0
判断函数奇偶性的常见方法
(1)定义法
若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断是否等于±1等．
(2)图像法
根据函数图像的对称情况进行判断，即奇(偶)函数的等价条件是它的图像关于原点(y轴)对称．
(3)性质法
设非零函数f(x)，g(x)的定义域分别是F，G，若F＝G，则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如表所示：
f(x) g(x) f(x) ＋ g(x) f(x) －g(x) f(x)·g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
1．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域．
2．设函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x＋2x＋b(其中b为实数)，则f(1)的值为________．
【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，
当x≤0时，f(x)＝x＋2x＋b，
则f(0)＝1＋b＝0，解得b＝－1，则f(x)＝x＋2x－1，所以f(－1)＝－1，因此f(1)＝1.
答案：1
3．已知函数f(x)＝，a∈R.
(1)判断f(x)的奇偶性，说明理由．
(2)判断f(x)在(－1，1)上的单调性，说明理由．
【解析】(1)函数f(x)＝，
a∈R的定义域为{x∈R|x≠±1}．
当a＝0时，f(x)＝0，满足f(－x)＝f(x)＝－f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数；
当a≠0时，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)当a＝0时f(x)＝0在(－1，1)上是常数函数，不具有单调性；
当a>0时f(x)＝在(－1，1)上是减少的；
当a<0时f(x)＝在(－1，1)上是增加的．
下面用单调性的定义证明：
当a>0时f(x)＝在(－1，1)上是减少的．
设x1，x2∈[0，1)，且x1eq \f(ax1（x－1）－ax2（x－1）,（x－1）（x－1）) ＝ eq \f(a（x1x－x2x＋x2－x1）,（x－1）（x－1）)
＝ eq \f(a（x2－x1）（x1x2＋1）,（x－1）（x－1）) ，
因为a>0，0≤x1＜x2<1，
所以x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以当a>0时f(x)＝在[0，1)上是减少的．
又f(x)＝在(－1，1)上是奇函数，
所以函数图像关于原点对称，
所以f(x)＝在(－1，0)上也是减少的．
所以f(x)＝在(－1，1)上是减少的．
同理可证：当a<0时，f(x)＝在(－1，1)上是增加的．
【补偿训练】
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值．
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
【解析】(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
所以－3x＋q＝－3x－q，所以2q＝0，所以q＝0.
又f(2)＝，所以＝，
解得p＝2，所以p＝2，q＝0.
(2)f(x)＝＝.
设1＜x1＜x2，则x1－x2＜0，
f(x1)－f(x2)＝
＝＝(x1－x2)·.
因为1＜x1＜x2，所以x1x2＞1，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
所以f(x)在(1，＋∞)上是增加的．
1．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是( )
A．y＝x B．y＝x－2
C．y＝x4 D．y＝x
【解析】选C.由题知，对于幂函数y＝xα，由于经过(0，0)，(1，1)，则α>0，故排除选项B；对于选项A，定义域为[0，＋∞)，故不是偶函数；对于选项D，(－x) ＝－x，是奇函数；对于选项C，(－x)4＝x4，是偶函数．
2.如图是函数y＝f(x)在[－6，6]的图像，则此函数的奇偶性为( )
A．偶函数
B．奇函数
C．奇函数且偶函数
D．非奇非偶函数
【解析】选A.由于函数y＝f(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)为偶函数．
3．(教材练习改编)下列函数不具有奇偶性的是( )
A．y＝－x B．y＝－
C．y＝ D．y＝x2＋2
【解析】选C.函数具有奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，而选项C中函数的定义域为，不关于原点对称．
4．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝___．
【解析】当x＞0时，f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－2.
答案：－2
5．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数．
(2)是正比例函数．
(3)是反比例函数．
(4)是二次函数．
【解析】(1)因为f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，
即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，
解得m＝－.此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
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10第二课 函数
题组训练一 函数的概念与表示
1．如图所示，不可能表示函数y＝f(x)的是( )
【解析】选A.根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x值都有唯一的y值与其对应，从图像上看，作一条直线x＝a，它与函数的图像最多有一个交点，因而A不满足此条件，故A的图像不表示函数．
2．已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，下列能表示从集合M到集合N的函数的图像是( )
A．②④ B．①② C．②③ D．②
【解析】选A.对于①例如集合M中的元素2，在集合N中没有元素与之对应，不满足函数的概念；对于②满足函数的概念；对于③例如集合M中的元素0，在集合N中有2个元素与之对应，不满足函数的概念；对于④满足函数的概念．
1．函数是两个非空数集之间的特殊对应：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．
2．函数的三要素：定义域，对应关系与值域，只要两个函数的定义域相同，对应关系相同，则其值域一定相同，这样的两个函数称为相等函数，与自变量选取的字母无关．
题组训练二 抽象函数与复合函数
1．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是( )
A．[0，1] B．[0，2]
C． D．[－1，3]
【解析】选C.令2x－1＝t，函数y＝f(2x－1)，即y＝f(t)，因为y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数y＝f(t)的定义域是t∈[0，2]得(2x－1)∈[0，2]解得x∈.所以函数y＝f(2x－1)的定义域是.
2．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝－1，则f(－2)＝( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选C.由f(x)＋2f(1－x)＝－1，
将x换成1－x有f(1－x)＋2f(1－(1－x))＝－1.
即f(1－x)＋2f(x)＝－1，
故有
两式相减化简得f(x)＝，
故f(－2)＝＝＝.
3．函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对于任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f()＝1，则f(9)的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】选C.函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对于任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f()＝1，得f(3)＝f(·)＝f()＋f()＝2，所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝4.
1.解决抽象函数单调性问题的两种方法：
(1)一是“凑”：“凑”结构，利用条件恒等式，通过换元转化为简单函数；
(2)二是“赋值”：根据条件，给自变量赋予合适的数值，将问题转化为函数值和自变量的方程或不等式解决．
2．求解与抽象函数有关的不等式时常规思路是利用函数的单调性，将函数值的大小转化为自变量的大小，然后解不等式即可．
题组训练三 函数性质的应用
1．已知f(x)是定义域为(―∞，＋∞)的奇函数，满足f(1―x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
【解析】由f(x)是定义域为(―∞，＋∞)的奇函数，可得f(―x)＝―f(x)，
又f(1―x)＝f(1＋x)即有f(x＋2)＝f(―x)＝－f(x)，进而得到f(x＋4)＝―f(x＋2)＝f(x)，f(x＋8)＝f(x)，…，f(x＋4k)＝f(x)，k∈Z.
由f(1)＝2，可得f(3)＝ f(―1)＝― f(1)＝―2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0―2＋0＝0，f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋ f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝504×0＋2＋0＝2.
答案：2
2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为( )
A．(－∞，－2]∪(0，2]
B．[－2，0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
【解析】选D.因为f(x)是奇函数，
所以≤0可化为≤0，
即≥0，当x＞0时，f(x)≥0，又f(2)＝0，即f(x)≥f(2)，因为f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故0＜x≤2，
当x＜0时，f(x)≤0，又f(－2)＝0，即f(x)≤f(－2)，
因为f(x)在(－∞，0)上是减少的，故－2≤x＜0.
因此解集为[－2，0)∪(0，2].
1．函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
提醒：判断函数的奇偶性时要特别注意定义域是否关于原点对称．
2．函数的性质与恒等式的关系
f(x)是偶函数 f(―x)＝f(x)；
f(x)是奇函数 f(―x)＝―f(x)；
f(x)的图像关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a―x)；
f(x)的图像关于点(a，0)对称 f(a＋x)＝―f(a―x)；
若f(a＋x)＝f(x)，则f(ka＋x)＝f(x), k∈Z；
若f(a＋x)＝―f(x)，则f(2a＋x)＝―f(a＋x)＝f(x), 进一步有f(2ka＋x)＝f(x), k∈Z.
题组训练四 函数的图像及应用
1．已知函数f(x)＝则关于下列图像的说法错误的是( )
A．①是y＝f(x－1)的图像
B．②是y＝f(|x|)的图像
C．③是y＝f(－x)的图像
D．④是y＝f(x)的图像
【解析】选B.先分段画出f(x)的图像，易得D选项是正确的．
A选项：y＝f(x－1)的图像由f(x)向右平移一个单位长度得到，可知A选项正确．
B选项：y＝f(|x|)在－1≤x≤0时的图像由0≤x≤1时f(x)的图像关于y轴对称翻折得到，可知B选项错误．
C选项：y＝f(－x)的图像由f(x)的图像关于y轴对称翻折得到，可知C选项正确．
2．如图，函数y＝x的图像是( )
【解析】选D.因为函数y＝x的定义域为R，且有f(－x)＝x＝f(x)，所以函数y＝x为偶函数，所以图像关于y轴对称．
函数图像的识别与应用
(1)函数图像的识别使用排除法，一般借助函数的单调性，奇偶性，周期性，还常常借助特殊点函数值的正负．
(2)函数图像一般应用于求解不等式，常利用其单调性．
题组训练五 分段函数
1．已知函数f＝若f在上是减函数，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】选D.因为函数f(x)在上是减函数，所以解得：22．已知函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)＝为R上的增函数，如图所示，
得0＋1≤03＋a，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
1．如果一个分段函数在R上为增函数(或减函数)，那么该函数除了在每个分段上都是增函数(或减函数)，分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．
2．如果函数f(x)是R上的单调函数，则函数的图像与直线y＝a, a∈R至多有一个交点．
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