单元形成性评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2020·德州高一检测)下面各组函数中表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝，g(x)＝
2．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x，则f(x)在上是( )
A．增加的，最小值为－1
B．增加的，最大值为－1
C．减少的，最小值为－1
D．减少的，最大值为－1
3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是增加的是( )
A．y＝x2－4x＋8 B．y＝|x－1|
C．y＝1－ D．y＝
4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
5．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)＋g(x)＝3x，则( )
A．f(x)＝3－x－3x B．f(x)＝
C．f(x)＝3x－3－x D．f(x)＝
6．函数f(x)＝x2＋x＋1，x∈的最值情况为( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最小值，有最大值1
C．有最小值1，有最大值
D．无最大值，也无最小值
7．函数f(x)＝的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a满足f(x＋2)＝f(2－x)，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)≤f(2)恒成立
B．f(x)在(－∞，3]上是减少的
C．f(2－x)＋9＝0有实数解
D．f(x＋2)是R上的偶函数
9．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
10．(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
11．已知f(x)＝则f(－1)＋f(4)的值为( )
A．－7 B．3 C．－8 D．4
12．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋
x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．
14．在一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)＝，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列结论：
甲：函数f(x)为偶函数；
乙：函数f(x)的值域为(－1，1)；
丙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2).
你认为上述三个结论中正确的个数有______个．
15．已知函数y＝f(x)，x∈R，给出下列结论：①若对任意x1，x2，且x1≠x2，都有<0，则f(x)为R上的减函数；
②若f(x)为R上的偶函数，且在(－∞，0)内是减少的，f(－2)＝0，则f(x)>0的解集为(－2，2)；③若f(x)为R上的奇函数，则y＝f(x)·f(|x|)也是R上的奇函数；
④若对任意的实数x，都有f(2＋x)＝f(2－x)，则y＝f(x)关于直线x＝2对称．
其中所有正确结论的序号为________．
16．已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则f(x)＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知f为R上的奇函数，当x>0时f＝x.
(1)求函数f的解析式；
(2)画出函数图像，写出函数f的单调区间(不需证明).
18．(12分)(2021·长春高二检测)已知函数f(x)＝.判断并证明f(x)在[0，1]上的单调性．
19．(12分)已知一次函数f(x)＝kx＋b的图像经过点(4，－1)，且g(x)＝－2x·f(x)的图像关于直线x＝1对称．
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)若x0满足g(x0)＋＜0，试判断g(x0＋2)的符号．
20．(12分)小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13).
由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式．
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
21．(12分)已知f(xy)＝f(x)＋f(y).
(1)若x，y∈R，求f(1)，f(－1)的值；
(2)若x，y∈R，判断f(x)的奇偶性；
(3)若函数f(x)在其定义域(0，＋∞)上是增加的，f(2)＝1，f(x)＋f(x－2)≤3，求x的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋2x－3.
(1)当a＝1时，求函数f(g(x))的递增区间、值域；
(2)求函数g(f(x))在区间[－2，＋∞)上的最大值h(a).
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10单元形成性评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2020·德州高一检测)下面各组函数中表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝，g(x)＝
【解析】选B.A.f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；B.两个函数的定义域、对应法则相同是同一函数；C.f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
2．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x，则f(x)在上是( )
A．增加的，最小值为－1
B．增加的，最大值为－1
C．减少的，最小值为－1
D．减少的，最大值为－1
【解析】选C.f(x)＝－x2＋2x，图像为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，所以x>0时，f(x)在上是减少的，因为f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以函数f(x)在上也是减少的．所以在上f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－(－32＋2×3)＝3，f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－(－12＋2×1)＝－1.
3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是增加的是( )
A．y＝x2－4x＋8 B．y＝|x－1|
C．y＝1－ D．y＝
【解析】选C.选项A，图像为开口向上的抛物线，对称轴为x＝2，函数在(－∞，2)上是减少的，所以在(－∞，0)上是减少的，故不满足题意，错误；选项B，y＝|x－1|＝故函数在(－∞，1)上是减少的，所以在(－∞，0)上是减少的，故错误；选项C，y＝1－在(－∞，1)和(1，＋∞)上均是增加的，显然在(－∞，0)上是增加的，故正确；选项D，y＝在定义域(－∞，1]上是减少的，显然在(－∞，0)上是减少的，故不满足题意．
4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
【解析】选D.由函数奇、偶性的定义知D项正确．
5．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)＋g(x)＝3x，则( )
A．f(x)＝3－x－3x B．f(x)＝
C．f(x)＝3x－3－x D．f(x)＝
【解析】选D.因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝3－x，
即解得
6．函数f(x)＝x2＋x＋1，x∈的最值情况为( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最小值，有最大值1
C．有最小值1，有最大值
D．无最大值，也无最小值
【解析】选C.由题意，函数f(x)＝x2＋x＋1＝2＋，可得函数f(x)在区间上是增加的，所以当x＝0时，函数取得最小值，最小值为f(0)＝1，当x＝时，函数取得最大值，最大值为f＝.
7．函数f(x)＝的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
【解析】选B.f(x)的定义域为[－3，0)∪(0，3]，关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图像关于原点对称．
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a满足f(x＋2)＝f(2－x)，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)≤f(2)恒成立
B．f(x)在(－∞，3]上是减少的
C．f(2－x)＋9＝0有实数解
D．f(x＋2)是R上的偶函数
【解析】选D.由函数f(x)＝x2＋ax＋a满足f(x＋2)＝f(2－x)，得函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，故a＝－4，f(x)＝x2－4x－4，由于抛物线开口向上，故f(x)≥f(2) 恒成立，f(x)在(－∞，2]上是减少的，
f(2－x)＋9＝x2＋1＝0无实数根，
f(x＋2)＝x2－8是R上的偶函数．
9．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
【解析】选A.因为函数f＝x3－的定义域为，其关于原点对称，
而f＝－f，所以函数f为奇函数．
又因为函数y＝x3在上单调递增，
在上单调递增，
而y＝＝x－3在上单调递减，
在上单调递减，
所以函数f＝x3－在上单调递增，
在上单调递增．
10．(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
【解析】选D.因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，当x>0时，f(x－1)≥0＝f(2)，即0所以不等式xf(x－1)≥0的解集为[－1，0]∪[1，3].
11．已知f(x)＝则f(－1)＋f(4)的值为( )
A．－7 B．3 C．－8 D．4
【解析】选B.f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，f(4)＝2×4－1＝7，所以f(－1)＋f(4)＝3.
12．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
【解析】选D.由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，
则AD＝＝4－x，
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，显然该函数的图像是二次函数图像的一部分，且当x＝2时，y＝4－∈(3，4).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋
x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．
【解析】因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－1)－g(－1)＝－1＋1＋1＝1，
又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以f(1)＝f(－1)，g(1)＝－g(－1)，
所以f(－1)－g(－1)＝f(1)＋g(1)，
所以f(1)＋g(1)＝1.
答案：1
14．在一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)＝，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列结论：
甲：函数f(x)为偶函数；
乙：函数f(x)的值域为(－1，1)；
丙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2).
你认为上述三个结论中正确的个数有______个．
【解析】f(x)＝＝
因为f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，甲错．先研究当x>0时，f(x)＝＝1－，此时f(x)∈(0，1).当x＜0时，f(x)∈(－1，0)，所以乙是正确的．由x>0时1－>0且f(x)是增加的，x<0时，1－<0且f(x)是增加的，所以丙是正确的．
答案：2
15．已知函数y＝f(x)，x∈R，给出下列结论：①若对任意x1，x2，且x1≠x2，都有<0，则f(x)为R上的减函数；
②若f(x)为R上的偶函数，且在(－∞，0)内是减少的，f(－2)＝0，则f(x)>0的解集为(－2，2)；③若f(x)为R上的奇函数，则y＝f(x)·f(|x|)也是R上的奇函数；
④若对任意的实数x，都有f(2＋x)＝f(2－x)，则y＝f(x)关于直线x＝2对称．
其中所有正确结论的序号为________．
【解析】①当x2f(x1)，所以f(x)在R上是减少的，正确；②根据条件可知，函数在(0，＋∞)上是增加的，且f(2)＝0，f(x)>0，故f(|x|)>f(2)，所以|x|>2，即x>2或x<－2，所以解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，不正确；
③设F(x)＝f(x)·f(|x|)，F(－x)＝f(－x)·f(|－x|)＝－f(x)·f(|x|)＝－F(x)，所以F(x)＝f(x)·f(|x|)也是R上的奇函数，正确；④＝2，所以f(x)关于直线x＝2对称，所以正确．
答案：①③④
16．已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则f(x)＝________．
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由条件f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，
从而解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
答案：x2－2x－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知f为R上的奇函数，当x>0时f＝x.
(1)求函数f的解析式；
(2)画出函数图像，写出函数f的单调区间(不需证明).
【解析】(1)x＝0时，f＝0，
设x<0，则－x>0.
因为f(x)是奇函数，所以f＝－f ，
即f＝－f＝－
＝－x，
所以f＝
(2)函数图像如图所示．
递增区间：和，
递减区间：.
18．(12分)(2021·长春高二检测)已知函数f(x)＝.判断并证明f(x)在[0，1]上的单调性．
【解析】f(x)在[0，1]上的单调递增函数，证明如下：
任取0≤x1f(x1)－f(x2)＝ eq \f(x1,x＋2) － eq \f(x2,x＋2)
＝ eq \f(x1（x＋2）－x2（x＋2）,（x＋2）（x＋2）)
＝ eq \f(（2－x1x2）（x1－x2）,（x＋2）（x＋2）) ，
因为0≤x1所以x1－x2<0，0≤x1x2≤1，
2－x1x2>0，x＋2>0，x＋2>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
又因为x1所以f(x)在[0，1]上是增函数．
19．(12分)已知一次函数f(x)＝kx＋b的图像经过点(4，－1)，且g(x)＝－2x·f(x)的图像关于直线x＝1对称．
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)若x0满足g(x0)＋＜0，试判断g(x0＋2)的符号．
【解析】(1)由已知4k＋b＝－1，
即b＝－4k－1(k≠0)，f(x)＝kx－4k－1，
g(x)＝－2kx2＋2(4k＋1)x.
因为g(x)＝－2x·f(x)的图像关于直线x＝1对称，
所以＝1，得k＝－.f(x)＝－x＋1.
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x，
g(x0)＋＜0，即x－2x0＋＜0，
所以2x0＞x＋.
而g(x0＋2)＝(x0＋2)2－2(x0＋2)
＝x＋2x0＞x＋x＋＞0.
即g(x0＋2)的符号为正号．
20．(12分)小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13).
由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式．
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
【解析】(1)依题意得，
当0≤t≤3时，
s(t)＝－5t(t－13)，
所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.
即小张家距离景区150 km，
小张的车在景区逗留时间为16－8－3＝5(h).
所以当3＜t≤8时，s(t)＝150，
小张从景区回家所花时间为＝2.5(h)，
所以当8＜t≤10.5时，
s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝
(2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60得
t2－13t＋12＝0，
解得t＝1或t＝12(舍去)，
当8＜t≤10.5时，
令60t－330＝2×150－60＝240，
解得t＝.
故小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分．
21．(12分)已知f(xy)＝f(x)＋f(y).
(1)若x，y∈R，求f(1)，f(－1)的值；
(2)若x，y∈R，判断f(x)的奇偶性；
(3)若函数f(x)在其定义域(0，＋∞)上是增加的，f(2)＝1，f(x)＋f(x－2)≤3，求x的取值范围．
【解析】(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0.又令x＝y＝－1，
则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
由(1)知f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数．
(3)因为f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，
所以f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3，
因为f(x)＋f(x－2)≤3，
所以f(x(x－2))≤f(8)，
因为f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
所以即
所以x的取值范围是(2，4].
22．(12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋2x－3.
(1)当a＝1时，求函数f(g(x))的递增区间、值域；
(2)求函数g(f(x))在区间[－2，＋∞)上的最大值h(a).
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝为减函数，g(x)＝x2＋2x－3的减区间为
(－∞，－1]，所以函数f(g(x))＝的递增区间为(－∞，－1]，g(x)＝
x2＋2x－3＝(x＋1)2－4∈[－4，＋∞)，所以f(g(x))的值域为.
(2)令t＝f(x)＝∈(0，4]，即求g(t)在(0，4]上的最大值h(a).对于g(t)＝at2＋
2t－3，
当a＝0时，g(t)＝2t－3，在(0，4]上是增加的，
所以h(a)＝g(4)＝5；
当a>0时，对称轴为t＝－<0，在(0，4]上是增加的，所以h(a)＝g(4)＝16a＋5；
当a<0时，对称轴为t＝－>0，当－≥4，即－≤a<0时，在(0，4]上是增加的，
所以h(a)＝g(4)＝16a＋5；当－<4，即－>a时，在上是增加的，在上是减少的，所以h(a)＝g＝－－3，
综上所述：h＝
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