5.3.1等腰三角形的对称性及性质基础训练（含答案）

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《5.3.1等腰三角形的对称性及性质》
知识点一 等腰三角形的对称轴
1.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，
∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A.50°
B.5l°
C.51.5°
D.52.5°
2.如图，AC=CD=DA=BC=DE，则∠BAE是∠BAC的（ ）
A.4倍
B.3倍
C.2倍
D.1倍
3.若△ABC是等边三角形，M是AC上一点，N是BC上点，且AM=BN，∠MBC=25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为（ ）
A.110°
B.105°
C.90°
D.85°
4.等腰三角形的对称轴是（ ）
A.顶角平分线
B.底边上的高
C.底边上的中线
D.顶角平分线、底边上的高和底边上的中线所在的直线
5.等边三角形的对称轴有（ ）
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
知识点二 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）
6.如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其他两个内角为（ ）
A.50°，80°
B.65°，65°
C.50°，65°
D.50°，80°或65°，65°
7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A= 度.
8.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为 .
知识点三 等腰三角形的“三线合一”
9.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为_________.
10.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A D、E在一条直线上，若BE=12，CE=24，则AE=_________.
11.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF=60°.
（1）若∠1=50°，求∠2的度数；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1=∠3.
12.如图，在△ABC中，AC=BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于点G，若∠BCG=50°，则∠A的度数为（ ）
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
13.]如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=35°，E是BC边上一点且AE=CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE.
（1）求∠DAE的度数.
（2）若BD上存在点F，且∠AFE=∠AEF.试说明BF=CE.
知识点四 等边三角形的性质
14.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=50°，则∠ABE等于（ ）
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
15.如图，直线∥，△ABC的顶点C在直线上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1= .
16.如图，等边△ABC，在AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数.
知识点五 易错点 对等腰三角形“三线合一”性质理解错误
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AE=BE，CE平分∠ACB吗？为什么？
参考答案
1.答案：D
解析：∵AC=CD，∴∠ADC=∠A=50°，又∵CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵∠B+∠BCD+∠CDB=180°，∠CDB+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠B+∠BCD=50°，∴∠B=25°，∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED=77.5°，∵∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=52.5°.
2.答案：A
解析：∵AC=CD=DA=BC=DE，∴△ACD是等边三角形，△BCA和△ADE均为等腰三角形，可知∠BAC=30°，∠BAE=120°，∴∠BAE=4∠BAC，故选A.
3.答案：A
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，又∵AM=BN，AB=AB，∴△AMB≌△BNA，∴∠NAB=∠MBA=60°-∠MBC=35°，∴∠AOB=180°-2×35°=110°，∵∠MON=∠AOB，∴∠MON=110°.故选A.
4.答案：D
解析：等腰三角形的对称轴是直线，可以叙述为顶角平分线所在的直线，底边上的高所在的直线，底边上的中线所在的直线，过顶点和底边中点的直线（以上四种叙述满足一种即可）.但不能叙述为顶角平分线，底边上的高，底边上的中线（这三种叙述都是线段）.
5.答案：B
解析：等边三角形是三条边都相等的等腰三角形，任意一条边上的高、中线及任意顶角平分线所在的直线都是其对称轴，所以说等边三角形有3条对称轴.故选B.
6.答案：D
解析：当该角是底角时，另外两个角分别为50°，80°；当该角是顶角时，另外两个角分别是65°，65°.故选D.
7.答案：36
解析：设∠A=.因为AD=BD，所以∠ABD=∠A=，所以∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-2.所以∠BDC=180°-∠ADB=180°-（180°-2）=2.因为BC=BD，所以∠C=∠BDC=2.因为AB=AC，所以∠ABC=∠C=2.在△ABC中，有+2+2=180°，解得=36°，即∠A=36°.
8.答案：9
解析：因为AB=AC，所以∠B=∠C.在△ABD和△ACE中，因为∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠B=∠C，所以△ABD≌△ACE.所以CE=BD=9.
9.答案：120°或20°
解析：设两内角分别是x°，4x°（x>0）.
当底角为x°时，根据三角形的内角和定理，得x°+x°+4x°=180°，解得x=30，∴4x=120，此时顶角为120°；
②当顶角为x°时，x°+4x°+4x°=180°，解得x=20，此时顶角为20°.
所以这个等腰三角形的顶角为120°或20°.
10.答案：36
解析：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB=CB，BD=BE=DE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∴AE=AD+DE=EC+BE=36.
11.答案：见解析
解析：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
∵∠B+∠1+∠DEB=180°
∠DEB+∠DEF+∠2=180°，
∠DEF=60°=∠B，
∴∠2=∠1=50°.
（2）证明：∵DF∥BC，
∴∠FDE=∠DEB，
∵∠B+∠1+∠DEB=180°，∠FDE+∠3+∠DEF=180°，
∠B=60°，∠DEF=60°，
∴∠1=∠3.
12.答案：A
解析：因为AC=BC，CF⊥AB，所以∠ACG=∠BCG=50°，∠CGA=90°，所以∠A=90°-∠ACG=40°.故选A.
13.答案：（1）因为AB=AC，∠ABC=35°，所以∠C=35°.
因为AE=CE，所以∠CAE=∠C=35°.
因为D是BC边上的中点，所以AD⊥BC，所以∠ADC=90°，所以∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-35°=55°，所以∠DAE=∠DAC-∠CAE=55°-35°=20°.
（2）因为D是BC边上的中点，所以BD=CD.因为∠AFE=∠AEF，所以AF=AE.
因为AD⊥BC，所以D是EF边上的中点，所以FD=ED，所以BD-FD=CD-ED，即BF=CE.
14.答案：C
解析：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=60°.因为AD⊥BC，E是AD上一点，所以∠ADC=90°，EC=BE，所以∠EBC=∠ECB.因为∠CED=50°，所以∠ECB=40°，所以∠EBC=40°.所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-40°=20°.故选C.
15.答案：40°
解析：因为△BCD是等边三角形，所以∠BDC=60°，所以∠ADC=180°-∠BDC=120°.因为∠A=20°，所以∠ACD=180°-∠A-∠ADC=40°.因为∥，所以∠1=∠ACD=40°.
16.答案：因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠ACB.
在△ABP和△CAQ中， 所以△ABP≌△CAQ，所以∠ABP=∠CAQ.所以∠ABP+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=60°.所以∠AOB=180°-（∠ABP+∠BAQ）=180°-60°=120°.所以∠BOQ=180°-∠AOB°=180°-120°=60°.
17.答案：CE不一定平分∠ACB.因为CE是腰上的中线，并不是底边上的中线.
解析：易错警示 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，而本题中CE是腰上的中线，并不是底边上的中线.
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