5.3.2 线段的对称性及垂直平分线 基础训练（含解析）

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《5.3.2 线段的对称性及垂直平分线》
知识点一 线段的对称性
1.如图所示，线段AB的垂直平分线为直线MN，点P在MN上，则下列结论中，错误的是（ ）
A.PA=PB
B.OA=OB
C.OP=OB
D.PO平分∠APB
2.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为N，AM=5cm，△MAB的周长为16cm，那么AN=（ ）
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为（ ）
A.20°
B.60°或20°
C.65°或25°
D.60°
4.线段的对称轴是（ ）
A.线段的中线
B.线段的垂线
C.线段的垂直平分线
D.线段的平行线
知识点二 线段的垂直平分线的性质
5.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，若PA=5，则PB的长度为（ ）
A.6
B.5
C.4
D.3
6.如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，并且使超市到三个小区的距离都相等，则超市应建在（ ）
A.AC，BC两边高线的交点处
B.AC，BC两边中线的交点处
C.AC，BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A，∠B两个内角平分线的交点处
7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A.8
B.11
C.16
D.17
8.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在线段CD上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD、BC的距离相等：③PD=PC.其中正确的为（ ）
A.①②③ B.①② C.① D.②
9.）如图，OM平分∠POQ，MP⊥OP，MQ⊥OQ，垂足分别为P，Q，，OP=6 cm，则MQ=_________.
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：∠DEF=∠DFE.
11.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A=60°，∠ACE=24°，则∠ABE的度数为（ ）
A.24°
B.30°
C.32°
D.48°
12.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若BD=3，AD=2，则AC的长度的取值范围为 .
13.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若CB平分∠ACF.
求证：BE=CF.
知识点三 尺规作线段垂直平分线
14.线段垂直平分线的尺规作图，其依据是构造两个全等三角形.如图，由作图可知，判定所构造的两个三角形全等的依据是（ ）
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.AAS
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°.
（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）连接CE，求∠BCE的度数.
17.在Rt△ABC中，利用尺规作出斜边AB上的中线.
参考答案
1.答案：C
解析：∵线段AB的垂直平分线为直线MN，∴PA=PB，OA=OB，又OP=OP，∴△AOP≌△BOP，∴∠APO=∠BPO，∴PO平分∠APB.故错误的是OP=OB.故选C.
2.答案：A
解析：∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴BM=AM=5cm，AN=BN，
∵△MAB的周长为16cm，∴AB=6cm，∴AN=AB=3cm.故选A.
3.答案：C
解析：当△ABC为锐角三角形时，如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，则∠ADE=40°，DE⊥AB，∴∠A=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-∠A）=65°；
当△ABC为钝角三角形时，如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交直线AC于点D，
则∠ADE=40°，DE⊥AB，∴∠DAB=50°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠DAE+∠BAC=180°，∴∠B+∠C=∠DAB，∴∠B=25°.
综上可知，∠B的度数为65°或25°，故选C.
4.答案：C
解析：线段是轴对称图形，它的对称轴是其本身的垂直平分线，故选C.
5.答案：B
解析：根据“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”可以得到PB=PA，而已知PA=5，由此可求出PB=5.故选B.
6.答案：C
解析：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可知购物超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处.故选C.
7.答案：B
解析：因为DE垂直平分AB，所以AE=BE.因为BC=6，AC=5，所以△ACE的周长为AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=6+5=11.故选B.
8.答案：A
解析：如图，作PE⊥AD交AD的延长线于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=∠DAB+∠ABC=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠APB=90°，即AP⊥BP，①正确；∵AP平分∠DAB，PE⊥AD，PG⊥AB，∴PE=PG，同理，PF=PG，∴PE=PF，即点P到直线AD、BC的距离相等，②正确；由题意及作图可得△DPE≌△CPF，∴PD=PC，③正确.故选A.
9.答案：3cm
解析：∵S△POM=9cm ，OP=6cm，MP⊥OP，∴PM=3cm.
∵OM平分∠POQ，MP⊥OP，∴MQ⊥OQ，∴MQ=PM=3cm.
10.答案：见解析
解析：证明：如图，连接AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵AB=AC，∴AD是∠BAC的平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE.
11.答案：C
解析：因为点E在BC的垂直平分线上，所以EB=EC，所以∠EBC=∠ECB.因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD.因为∠ABC+∠ACB+∠A=180°，所以2∠ABE+
∠ABE+24°+60°=180°，所以∠ABE=32°.故选C.
12.答案：1<<5
解析：因为MN是线段BC的垂直平分线，所以DC=BD=3.在△ADC中，3-213.答案：因为AD垂直平分BC，所以AB=AC，BD=DC，所以∠ABC=∠ACB.因为CB平分∠ACF，所以∠FCB=∠ACB，所以∠ABC=∠FCB.在△BDE和△CDF中，所以△BDE≌△CDF（ASA），所以BE=CF.
14.答案：A
解析：由作图可知，所构造的两个三角形的三边对应相等，即“SSS"判定三角形全等.故选A.
15.答案：B
解析：在Rt△ABC中，因为∠B=30°，∠C=90°，所以∠BAC=90°-30°=60°.由作图可知MN为AB的垂直平分线，所以DA=DB，所以∠DAB=∠B=30°，所以∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°.故选B.
16.答案：（1）如图，直线DE即为所求.
（2）因为DE垂直平分AC，所以EA=EC，所以∠ECA=∠A=28°，
所以∠BCE=90°-∠ECA=90°-28°=62°.
17.答案：如图所示，作AB的垂直平分线，交线段AB于点D，连接CD，线段CD即为斜边AB上的中线.
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