第七章 万有引力与宇宙航行 章末检测（Word版含解析）

第7章万有引力与宇宙航行章末检测
一、单选题（本大题共7小题，共28.0分）
我国航空航天技术已居于世界前列．如图所示，飞行器绕某星球做匀速圆周运动．已知引力常量，下列说法正确的是
A. 飞行器轨道半径越大，周期越小
B. 若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
C. 若测得周期和张角，可得到星球的质量
D. 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
如图所示为静止于赤道地面上的物体，为低轨道卫星，为同步卫星，则下列说法中正确的是
A. 物体做圆周运动仅由万有引力提供向心力
B. 若某时刻卫星经过的正上方，则再运动一圈会再次经过的正上方
C. 的线速度比的线速度大
D. 的向心加速度比的向心加速度大
若已知行星绕太阳公转的半径为，公转的周期为，引力常量为，则由此可求出
A. 行星的质量 B. 太阳的质量 C. 行星的密度 D. 太阳的密度
年月日，出现超级月亮景观，从科学定义而言，叫作近地点满月更为准确．如图所示，月球的绕地运动轨道实际上是一个椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上，则
A. 月球运动到远地点时的速度最大
B. 月球运动到近地点时的加速度最大
C. 月球由近地点向远地点运动的过程，月球的线速度增大
D. 月球由远地点向近地点运动的过程，月球的线速度减小
年月日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在中国文昌航天发射场点火升空，并将于年登陆火星．假设如图所示为载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动后在点登陆火星，点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的、、三点与火星中心在同一直线上，、两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为，，探测器在轨道Ⅱ上经过点时的速度为下列说法正确的是
A. 相等时间内，在轨道Ⅰ上，探测器与火星中心的连线扫过的面积与在轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B. 探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过点的加速度等于
C. 探测器在轨道Ⅰ上运动时，经过点的速度小于
D. 探测器在轨道Ⅱ上第一次由点到点与在轨道Ⅲ上第一次由点到点运动的时间之比是
北京时间年月日晚点，人类史上首张黑洞照片面世．黑洞的概念是：如果将大量物质集中于空间一点，其周围会产生奇异的现象，即在质点周围存在一个界面事件视界面，一旦进入界面，即使光也无法逃脱，黑洞的第二宇宙速度大于光速．并把上述天体周围事件视界面看作球面，球面的半径称为史瓦西半径．已知地球的半径约为，地球的第一宇宙速度为，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，光速为，假设地球保持质量不变收缩成黑洞，则地球黑洞的史瓦西半径最接近
A. B. C. D.
太阳系中某行星运行的轨道半径为，周期为，但科学家在观测中发现其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是外侧还存在着一颗未知行星，它对的万有引力引起行星轨道的偏离，假设其运行轨道与在同一平面内，且与的绕行方向相同，由此可推测未知行星绕太阳运行的圆轨道半径为
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共9小题，共36.0分）
宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心做匀速圆周运动，引力常量为，则
A. 每颗星体做匀速圆周运动的线速度为
B. 每颗星体做匀速圆周运动的角速度为
C. 每颗星体做匀速圆周运动的周期为
D. 每颗星体做匀速圆周运动的加速度与三星的质量无关
如图所示，质量相同的三颗卫星、、绕地球做匀速圆周运动，其中卫星、在地球的同步轨道上，卫星距离地球表面的高度为，此时卫星、恰好相距最近．已知地球的质量为、半径为、地球的自转角速度为引力常量为，则
A. 发射卫星时速度要大于
B. 卫星距地面的高度为
C. 卫星和下一次相距最近还需经过时间
D. 若要卫星与实现对接，可让卫星加速
已知地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步卫星质量为，引力常量为，下列表述正确的是
A. 同步卫星距离地面的高度为
B. 同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C. 同步卫星运行时受到的向心力大小为
D. 同步卫星的运行轨道一定在赤道的正上方
年月日，我国发射的“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆．若已知月球的半径为，月球表面的重力加速度为，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为月球半径的倍则下列说法正确的是
A. “嫦娥四号”绕月球运行的周期为
B. “嫦娥四号”绕月球运行的线速度大小为
C. “嫦娥四号”绕月球运行的加速度为
D. 月球的第一宇宙速度为
宇宙飞船以周期绕地球做匀速圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为，引力常量为，地球自转周期为太阳光可看作平行光，宇宙飞船在点的张角为，则
A. 飞船绕地球运动的线速度为
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为
C. 飞船每次经历“日全食”过程的时间为
D. 地球质量为
天文观测中观测到有三颗星体位于边长为的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为的匀速圆周运动，如图所示．已知引力常量为，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是
A. 它们两两之间的万有引力大小为 B. 某颗星体的质量为
C. 三颗星体的质量相等 D. 它们的线速度大小均为
如图所示，卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星轨道平面与地球赤道平面在同一平面内，地球相对卫星的张角为，若另外颗卫星与卫星一样与卫星在同一轨道适当位置，信号可以覆盖地球的全部赤道表面，下列说法正确的是
A. 张角
B. 张角越大，卫星运行的线速度越小
C. 张角越大，每颗卫星的信号覆盖地球的表面积越大
D. 若地球半径为，则卫星离地面的高度为
设地球半径为，地球表面重力加速度为，地球自转周期为，自转角速度为，地球质量为，地球的第一宇宙速度为，同步卫星离地球表面的高度为，引力常量为，则同步卫星的线速度大小是
A. B. C. D.
宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三颗星体的质量相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，如图乙所示．设这三颗星体的质量均为，且两种系统中各星体间的距离已在图甲、乙中标出，引力常量为，则下列说法中正确的是
A. 直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B. 直线三星系统中星体做圆周运动的周期为
C. 三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
D. 二角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
三、计算题（本大题共3小题，共30.0分）
某行星可视为半径为的球体．它有一沿着半径为的轨道做匀速圆周运动的卫星．已知卫星的运动周期为，求：
卫星运动的加速度大小；
该行星表面的“重力加速度”大小．
发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为的圆形近地轨道上，如图所示，在卫星经过点时点火喷气发动机工作实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为，远地点为在卫星沿椭圆轨道运动经过点时再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道远地点在同步轨道上两次点火过程都使卫星沿切线方向加速，并且点火时间很短．已知同步卫星的运行周期为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为求：
卫星在近地圆轨道运行时的加速度大小；
同步卫星轨道距地面的高度．
已知地球质量约为月球质量的倍，地球半径约为月球半径的倍，月球绕地球公转的轨道半径约为地球半径的倍。设地球表面的自由落体加速度为，月球绕地球公转的向心加速度为，月球表面的自由落体加速度为求：
地球表面的自由落体加速度与月球绕地球公转的向心加速度的大小之比；
地球表面的自由落体加速度与月球表面的自由落体加速度的大小之比。
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据开普勒第三定律可知，轨道半径越大，飞行器的周期越大，故A错误；
设星球的质量为，半径为，平均密度为，星球相对于飞行器的张角为，飞行器的质量为，轨道半径为，周期为，对于飞行器，根据万有引力提供向心力得，解得星球质量，若测得周期和张角，不能得到星球的质量，故C错误；
由几何关系有，星球的平均密度，测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故B正确；
由上述分析可知，若测得周期和轨道半径可以得到星球质量，不能得到星球的平均密度，故D错误．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同步卫星及近地卫星和卫星的运行规律。为静止于赤道地面上的物体，所以做圆周运动的向心力由万有引力和地面对其支持力的合力提供；根据万有引力提供向心力求出周期的表达式，判断再运动一圈是否会再次经过的正上方；由万有引力提供向心力求解线速度的表达式，判断、的线速度的大小关系；根据判断、的向心加速度的大小关系。
【解答】
物体做圆周运动的向心力由万有引力和地面对其支持力的合力提供，故A错误；
B.根据万有引力提供向心力得，解得，轨道半径越大，周期越大，的周期比的周期大，由于物体和同步卫星的周期相同，所以的周期大于的周期，若某时刻卫星经过的正上方，则再运动一圈不会再次经过的正上方，故B错误；
C.由万有引力提供向心力得，，解得，轨道半径越小，线速度越大，的轨道半径比的轨道半径小，故的线速度比的线速度大，故C正确；
D.、的角速度相同，由可知，的向心加速度比的向心加速度小，故D错误。
3.【答案】
【解析】
【分析】行星绕太阳公转时，由太阳的万有引力提供向心力，据万有引力定律和向心力公式列式，即可进行分析。
已知环绕天体的公转半径和周期，根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量．熟知描述圆周运动的物理量之间的关系是正确解题的关键。
【解答】设该行星的质量为，太阳的质量为，由 得 ，即可求出太阳的质量，因不知太阳的半径，故不能求出太阳的密度．B正确。
4.【答案】
【解析】
【分析】根据开普勒第二定律判断线速度的大小；根据万有引力提供向心力分析加速度的变化。
【解答】
由开普勒第二定律可知，月球运动到远地点时的速度最小，月球由近地点向远地点运动的过程中，月球的线速度减小，由远地点向近地点运动的过程中，月球的线速度增大，故ACD错误；
B.根据牛顿第二定律和万有引力定律可得，月球运动到近地点时所受万有引力最大，加速度最大，故B正确．
5.【答案】
【解析】根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上，探测器与火星中心的连线在相等的时间内扫过的面积相等，在两个不同的轨道上，不具备上述关系，故A错误；
轨道Ⅱ是圆轨道，半径为，经过点时的速度为，根据圆周运动的规律可知，探测器经过点的加速度，故B正确；
探测器在轨道Ⅰ上运动，经过点时需减速才能变轨到轨道Ⅱ上，则探测器在轨道Ⅰ上运动时，经过点的速度大于，故C错误；
轨道Ⅲ的半长轴为，根据开普勒第三定律可知，，解得，则由对称性可知，探测器在轨道Ⅱ上第一次由点到点与在轨道Ⅲ上第一次由点到点运动的时间之比是，故D错误．
6.【答案】
【解析】由题意，地球变成黑洞后，光无法从黑洞中逃脱，即黑洞的第二宇宙速度大于光速，转换成临界条件为光速，则地球形成黑洞的最大半径，又，可知，则，代入数据得，故B正确，、、D错误．
7.【答案】
【解析】在太阳系中行星每隔时间实际运行的轨道发生一次最大偏离，说明、此时相距最近，此过程类似于钟表的时、分两针从重合到再次重合，已知的轨道半径小于的轨道半径，则有，即，得，利用开普勒第三定律有，解得，所以选项A正确．
8.【答案】
【解析】由图可知，每颗星体做匀速圆周运动的半径：．
由牛顿第二定律得：，解得：，，，。
故ABC均正确，D错误．
9.【答案】
【解析】发射卫星时速度要大于第一宇宙速度，即大于，故A正确．
设卫星的轨道半径为，由得，卫星距地面的高度为，故B错误．
卫星、在地球的同步轨道上，所以卫星、和地球自转具有相同的周期和角速度，对卫星，由万有引力提供向心力得，即卫星的角速度，又因为，联立解得卫星和下一次相距最近还需经过时间，故C正确．
卫星加速后做离心运动，离开卫星的轨道，卫星与无法实现对接，故D错误．
10.【答案】
【解析】同步卫星绕地球做匀速圆周运动，设其距离地面的高度为，根据万有引力提供向心力得，解得，、C错误；
由万有引力提供向心力得，解得线速度大小为，由于第一宇宙速度为人造地球卫星在地面附近做匀速圆周运动的线速度，其轨道半径小于同步卫星的轨道半径，故同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，B正确；
地球同步卫星相对地面静止，故其轨道在赤道面内，即同步卫星的运行轨道一定在赤道的正上方，D正确．
11.【答案】
【解析】“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，，在月球表面的物体，，解得，选项A正确；
由得，“嫦娥四号”绕月球运行的线速度大小为，选项B正确；
“嫦娥四号”绕月球运行的加速度，选项C正确；
由得，月球的第一宇宙速度为，选项D错误．
12.【答案】
【解析】
【分析】
宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，由飞船的周期及半径可求出线速度，由万有引力提供向心力，得到周期与半径、角度的关系，当进入地球的影子后出现“日全食”到离开阴影后结束，有地球的自转时间和飞船的转动周期可求次数，以及一次“日全食”的时间。
本题考查了人造卫星以及万有引力提供向心力，根据公式计算。
【解答】
A.飞船绕地球做匀速圆周运动，所以线速度为，又由几何关系知，可得，所以，故A正确；
B.地球自转一圈时间为，飞船绕地球一圈时间为，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间就有一次日全食，得一天内飞船经历“日全食”的次数为，故B错误；
C.由几何关系可知，飞船每次经历“日全食”过程的时间内飞船转过角，所需的时间为，故C正确；
D.根据万有引力提供向心力有，所以，故D正确．
13.【答案】
【解析】由题意可知，这三颗星体的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，又由几何关系可知轨道半径由受力分析可知，其中任意两颗星体对第三颗星体的合力方向均指向圆心，所以这两颗星体对第三颗星体的万有引力等大，由于这两颗星体到第三颗星体的距离相同，故这两颗星体的质量相等，同理可知，这三颗星体的质量一定相等，质量记为，则；星体做匀速圆周运动，合力提供向心力，故，解得，它们两两之间的万有引力大小为，、C正确，B错误．
根据得线速度大小为，D错误．
14.【答案】
【解析】颗卫星在同一轨道适当位置，信号可以覆盖地球的全部赤道表面，由几何关系可知，张角的最大值为，即，选项A正确；
由题图中几何关系可知，张角越大，卫星离地面越近，卫星的信号覆盖地球的表面积越小，根据可知，卫星运行的线速度越大，选项BC错误；
由题图中几何关系可得，卫星离地面的高度，选项D正确．
15.【答案】
【解析】同步卫星的轨道半径为，其运动周期等于地球自转的周期，则线速度，A正确；
根据牛顿第二定律得，解得，，联立得，B错误；
地球的第一宇宙速度为，结合选项分析联立解得，C错误；
，又，联立得，D正确．
16.【答案】
【解析】
【分析】
明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。
三星系统中星体靠另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，抓住周期相同，结合牛顿第二定律进行求解。
【解答】
A.在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律，有，解得，故A错误；
B.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为，故B正确；
C.对三角形三星系统中做圆周运动的星体，
有，解得，故C错误；
D.由，得，故D正确。
17.【答案】解：
卫星做匀速圆周运动的向心加速度大小 ．
根据牛顿第二定律，卫星的加速度大小 由上式可知．
设行星表面的“重力加速度”大小为，则有所以
可得行星表面的“重力加速度”大小．
【解析】见答案
18.【答案】解：
设地球质量为，卫星质量为，引力常量为，卫星在近地圆轨道运动时加速度为，
根据牛顿第二定律有
物体在地球表面上受到的万有引力等于重力，有
联立以上两式解得．
设同步卫星轨道距地面的高度为，
根据牛顿第二定律有 ，
又
联立解得．
【解析】见答案
19.【答案】解：对于地球表面自由落体的物体，重力与万有引力相等，则有：
得
月球绕地球公转，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有：
得
则
对于月球表面自由落体的物体，所受重力与万有引力相等，则有：
得
则
答：地球表面的自由落体加速度与月球绕地球公转的向心加速度的大小之比为；
地球表面的自由落体加速度与月球表面的自由落体加速度的大小之比为：。
【解析】地球表面上的物体，所受重力与万有引力相等；月球绕地球运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律与万有引力列式即可分析；
利用重力与万有引力相等求出月球表面的重力加速度，即可求比值。
本题的关键是要抓住天体运动问题分析的两个基本思路：天体表面上的物体所受的重力与万有引力的关系；环绕天体绕中心天体运动时，万有引力提供向心力。
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