2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.7正方形同步优生辅导测评（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　）
A．2.4 B．3.4 C． D．
3．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（　　）
A．7 B．2 C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，动点E在BC边上（点E与点B不重合），∠DAE的平分线AF与CD边交于点M，与BC边的延长线交于点F，连接EM．对于下列四个结论：①AE＝EF；②若CM＝CE，则AF＝2BC；③若EM⊥AF，则CM＝DM；④存在点E，使点E与点D关于直线AF对称．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 　 　．
10．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　 　．
11．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是　 　度．
12．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为 　 　．
13．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　 　．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为　 　．
15．如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若BD＝10，DC＝3，则高AD的长度为 　 　．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，DE＝10，则AD的长为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于O，OE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若点F是OD的中点，连接EF交OC于点G，连接AF．
①求证：GE＝GF．
②若AF＝EF，求证：四边形ABCD是正方形．
18．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
19．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．
20．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
21．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝10，点O为对角线交点，BE＝CF，连接EF，过点O作OG⊥EF交BC边于G，点G始终在BC边上，并且不与点B、点C重合，连接OE、OF、EG．
（1）求证：OE＝OF；
（2）请求出∠EOG的度数？
（3）试求出△BEG的周长；
（4）若AE＝AO，请直接写出四边形BEOG的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：过点E作MN∥AD，交AB于点M，CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∵MN∥AD，
∴MN⊥AB，MN⊥CD，
∵S△ABE＝AB EM＝×4×EM＝2EM＝5，
∴EM＝，
∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，
∴S△CDE＝CD EN＝×4×＝3，
故选：A．
2．解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，
在△DCE和△DGE中，
，
∴△DCE≌△DGE（SAS），
∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，
在Rt△DAF和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），
∴AF＝GF＝1，
∵EG＝EC，
∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
BE2+BF2＝EF2，
∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，
解得EG＝2.4，
∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．
∴EF的长为3.4．
故选：B．
3．解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
则点C到y轴的距离为OE．
∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝2，OB＝3．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB＝90°．
∴∠ECB+∠EBC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠CBA＝90°．
∴∠EBC+∠ABO＝90°．
∴∠ECB＝∠ABO．
在△CBE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EB＝OA＝2．
∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．
∴点C到y轴的距离是5．
故选：B．
4．解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EF⊥AB于点F，AE＝3，
∴AF＝EF＝3，
∵AB＝10，
∴BF＝7，
∴BE＝＝，
∴ED＝．
故选：C．
5．解：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∴AE＝EF，故①正确；
若CM＝CE，
则DM＝BE，
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADM中，
，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠BAE＝∠DAM＝∠EAF＝30°，
∴∠F＝30°，
∴AF＝2AB，
∴AF＝2BC，故②正确；
若EM⊥AF，
∴M是AF的中点，
∴AM＝FM，
在△ADM和△FMC中，
，
∴△ADM≌△FMC（AAS），
∴CM＝DM，故③正确；
只有当点E和点D重合时，
才有点E与点D关于直线AF对称．
与题意不符，故④错误．
综上所述：其中正确结论有①②③，共3个，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝∠DBC＝45°，∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
∵EC＝FC，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠FDC，∠BEC＝∠F，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH＝∠FBH＝∠FDC＝22.5°，
∴∠BDF＝∠BDC+∠FDC＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝∠BEC＝90°﹣∠EBC＝90°﹣22.5°＝67.5°，故④错误，不符合题意；
∴∠BDF＝∠F，
∴BD＝BF，△BDF是等腰三角形，
∴DH＝HF，即点H是DF的中点，
∴CH＝HF，
∴∠HCF＝∠F＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠F＝45°，故②正确，符合题意；
∵O为BD的中点，
∴OH是三角形BDF的中位线，
∴OH∥BF，故①正确，符合题意；
∴GH＝CF，
在正方形ABCD中，BD＝BC，
∴BC＝BD，
∵BF＝BD，CF＝BF﹣BC，
∴CF＝BD﹣BD＝BD，
∴GH＝BD＝×BC＝BC，故③错误，不符合题意；
∴正确的有①②两个，
故选：B．
7．解：连接ED，
∵AE＝EC，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DEC＝90°，DE＝EC，∠EDN＝∠ECM＝45°，
∴∠DEN+∠NEC＝90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MEC+∠NEC＝90°，
∴∠DEN＝∠CEM，
∴△MEC≌△NED（ASA），
∴S△MEC＝S△NED，
∴S四边形EMCN＝S△MEC+S△NEC＝S△NED+S△NEC＝S△DEC，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝4，
∴ED＝EC＝2，
∴S△DEC＝＝×2×2＝4，
∴重叠部分四边形EMCN的面积为4．
故选：B．
8．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，
故错误；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝＝＝2，
故错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，
故正确；
∴其中正确的结论为①④，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，
∴EF＝4，
∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．
故答案为：20．
10．解：阴影部分的面积＝
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故答案为：2．
13．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝，
∴FG＝＝2，
∴MN＝1，
故答案为：1．
14．解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴FM＝5．
故答案为：5．
15．解：以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD＝10．
在△ABD和△AQF中，
，
∴△ABD≌△AQF（SAS），
∴AB＝AQ，∠BAD＝∠FAQ，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAD+∠DAC＝45°，
∴∠DAC+∠FAQ＝45°，
即∠CAQ＝45°，
∴∠BAC＝∠CAQ．
在△BAC和△QAC中，
，
∴△BAC≌△QAC（SAS），
∴BC＝CQ＝BD+CD＝13．
设AD＝x，则QE＝x﹣10，CE＝x﹣3．
在Rt△CQE中，∠E＝90°，
∵CE2+QE2＝CQ2，
∴（x﹣3）2+（x﹣10）2＝132，
解得：x1＝15，x2＝﹣2（不合舍去），
∴AD＝15．
故答案为：15．
16．解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE，
在直角梯形ABCD中∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝12，
∵∠DCE＝45°，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS）．
∴ED＝DF＝10，
∴DE＝DF+DG＝BE+GD，
设AD＝x，则DG＝12﹣x，
∴AE＝14﹣x，
在Rt△AED中，∵DE2＝AD2+AE2，
∴102＝（14﹣x）2+x2
∴x＝8，x＝6
即AD＝8或6．
故答案为：8或6．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（1）证明：∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于O，
∴O是BD的中点，
∵OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，
∴E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝CD；
（2）①证明：如图，取OB的中点H，连接EH，
∵点E是BC边的中点，
∴EH∥OC，
∴＝，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB＝OD，
∵点F是线段OD的中点，
∴OF＝OH，
∴GE＝GF；
②证明：如图，过点F作FM⊥BC于M，连接FC，
∵OB＝OC，
∵点E是BC边的中点，
∴OE⊥BC，
∴OE∥FM∥CD，
∵点F是线段OD的中点，
∴点M是线段EC的中点，
∴FE＝FC，
∵AF＝FE，
∴AF＝CF，
∵OA＝OC，
∴OF所在直线是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴矩形ABCD为正方形．
18．（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG＝∠FGA，
∴∠FAG＝∠FGA，
∴FG＝AF＝AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AEGF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠BAE＝30°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝150°﹣30°﹣30°＝90°，
∵四边形AEGF是菱形，
∴四边形AEGF是正方形．
19．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∵CE＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝．
20．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
21．（1）证明：∵点O是正方形对角线交点，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
在△EBO和△FCO中，
，
∴△EBO≌△FCO（SAS），
∴OE＝OF，
（2）解：由（1）可知，△EBO≌△FCO，
∴∠BOE＝∠COF，
∵∠BOF+∠COF＝∠BOE+∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴OG垂直平分EF，OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝45°，
（3）解：∵OG垂直平分EF，
∴EG＝GF，
∴△BEG的周长为BE+EG+BG＝CF+GF+BG＝BC，
∵BC＝AB＝10，
∴△BEG的周长为10，
（4）∵AC＝＝10，
∴AO＝AC＝5，
∵AE＝AO，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣5，
在△AED中，∠AOE＝（180°﹣∠EAO）＝67.5°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝22.5°，
∴∠BOG＝∠EOG﹣∠BOE＝22.5°，
∴OB为∠EOG的角平分线，
∵BO为∠EBG的角平分线，
∴∠OBG＝∠OBE，
∴△OBG≌△OBE（ASA），
∴BE＝BG，OE＝OG，
∴OB⊥EG，
在△EBG中，EG＝＝10﹣10，
∴S四边形BEOG＝2S△OBG＝×EG OB＝50﹣25．