2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.6菱形同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-6菱形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．3 D．8
2．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　）
A．16 B．16 C．32 D．32
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（　　）
A．6 B．8 C． D．
4．如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．（2，2）
5．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
7．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
8．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形（　　）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：
①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；
④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（　　）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
13．菱形ABCD的面积为24，对角线AC的长为6，则对角线BD的长为 　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB＝5cm，AO＝4cm，则BD的长为 　 　cm．
15．菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO＝1：2，则菱形ABCD的面积为 　 　．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有 　 　．（填写序号）
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：
①∠BAE＝∠C；
②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；
③∠ADF＝2∠CDF；
④四边形AGFD是菱形；
⑤CH＝DF．
其中正确的结论是　 　．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
20．如图，已知菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．
（1）∠EAF的度数是 　 　；
（2）求证：AE＝AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，当∠BAE＝30°时，求点F到BG的距离
21．如图，正方形ABCD边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠AEH＝∠CGF；
（2）当AH＝DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH＝1，DG＝x，△FCG的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并直接写出S的最小值．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
23．在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH．
（1）如图，若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG；
（2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究 ABCD的边和角需要满足的条件．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝CD＝AE＝6．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝18，F为AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，在直线AB上向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在直线CD上向左运动，设运动时间为t秒．当M，N运动时，是否存在以点M，F，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值和平行四边形的面积，若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，CD＝DE，
∵PF⊥CD，
∴△DPF是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，PD＝PF，
设PF＝DF＝x，则PD＝x，
∵△PDF的周长为8，
∴x+x+x＝8，
解得：x＝8﹣4，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF＝x，
∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，
∴BC＝CD＝DE＝8，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，
∵AC＝6，DB＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC＝，
∵AC＝6，DB＝8，
∴菱形ABCD的面积＝，
∵BC＝5，
∴AE＝＝，
故选：C．
4．解：过C作CD⊥OA于D，如图：
则∠ODC＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝4，
∵∠AOC＝60°，
∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴DD＝OC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故选：A．
5．解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝3，
∴EC＝BE+BC＝3+3＝6，
同理可得AF＝6，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．
故选：B．
6．解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．
7．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，
∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×6×PE+×6×PF＝12，
∴PE+PF＝4，
故选：A．
8．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下：
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG∥AB，EG＝AB，
同理HF∥AB，HF＝AB，EH∥CD，EH＝CD，
∴EG∥HF，EG＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形EGFH是菱形．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，
故②错误，
∵BG＝EF，AB∥CD∥EF
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS）
故③正确
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，
故④正确，
若四边形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝AB，
∴∠BAC＝30°
与题意不符合
故⑤错误
故选：B．
10．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，BO＝OD，
∴AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴BO＝BD＝2，
故选：D．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF＝AD，BG＝BC，
∴AF＝BG，
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB∥FG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故①正确；
∵AD＝2AB，AD＝2AF，
∴AB＝AF，
∴四边形ABGF是菱形，故②正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，故③正确；
∴∠FCD＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵AF＝DF，AD＝2AB，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，
∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，
故选：D．
二．填空题
13．解：菱形ABCD的面积S＝AC BD＝24，
∵AC＝6，
∴BD＝＝8，
故答案为8．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝DO，
∵BO＝＝＝3（cm），
∴DO＝BO＝3（cm），
∴BD＝6（cm），
故答案为：6．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，周长为，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD＝，AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，
∵AO：BO＝1：2，
设AO＝x，则BO＝2x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（）2，
解得：x＝1（负数舍去），
即AO＝1，BO＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积是S＝×AC×BD＝×2×4＝4，
故答案为：4．
16．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；
②∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；
③∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；
④∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；
故答案为：①②④．
17．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝2，
故答案为：2．
18．解：①∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，①正确；
②作AM∥BD交CB的延长线于M，如图所示：
则∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠M＝∠BAM，
∴AB＝BM，
∵AM∥BD，
∴AG：GE＝BM：BE，
∴AG：GE＝AB：BE，
∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，
∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；
④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AG＝AD，
∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴AG＝DF，
∵AE⊥BC，
∴AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形，
又∵AG＝AD，
∴四边形AGFD是菱形；④正确；
⑤∵四边形AGFD是菱形；
∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，
∴∠AGB＝∠FGB，
在△ABG和△FBG中，，
∴△ABG≌△FBG（AAS），
∴∠BAE＝∠BFG，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BFG＝∠C，
∴GF∥CH，
∵GH∥BC，
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴GF＝CH，
∴CH＝DF，⑤正确；
③∵∠ADF＝2∠ADB，
当∠C＝30°，∠CDF＝60°，
则∠ADF＝120°，
∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；
故答案为：①②④⑤．
三．解答题
19．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝AE，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
20．解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是正三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝∠EAC+∠BAE＝60°，
故答案为60°；
（2）由（1）可知，△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，
（3）当∠BAE＝30°时，
∵∠B＝60°，
∴∠AEB＝90°，
∵∴△ABC是正三角形，
∴E为BC中点，
∴F为CD中点，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝3，
∴AE＝＝3，
过点F作FH⊥CG于点H，
∵F为CD中点，FH∥AE，
∴FH为△AEG中位线，
∴FH＝＝，
∴点F到BG的距离．
21．证明：（1）连接EG，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CGE，
∵EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEG﹣∠HEG＝∠CGE﹣∠FGE，
即∠AEH＝∠CGF，
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝GH，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，
∵∠DHG+∠DGH＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH是正方形；
（3）过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，则∠A＝∠M＝90°，
在△AHE和△GFM中，
，
∴△AHE≌△GFM（AAS），
∴AH＝MF＝1，
∵CD＝3，DG＝x，
∴CG＝3﹣x，
∵12+AE2＝22+DG2，
当AE最大为AB＝3时，DG最大为，
∴S＝＝（3﹣x）×1＝，
∴S＝，
∴x＝时，S最小为．
22．证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：
∵OC＝OE，
∴CF＝EF，
∵OF⊥CE，CE⊥CD，
∴OF∥CD，
∵AB∥DC，
∴OF∥AB，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
23．（1）证明：连接OG，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AC⊥AB，
∴AC⊥CD，
∴∠OCG＝90°，
∵EF⊥BD，
∴∠OFG＝90°，
在Rt△OFG和Rt△OCG中，
，
∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL），
∴FG＝CG；
（2）解：如图2所示：
若四边形OCGH是菱形，
则OH＝OC，OH∥CG，OC∥GH，
∵EF⊥BD，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，
∴CD＝AD，OA＝OC，
∴OA＝OH，
∴∠OAH＝∠OHA，
∵OH∥CG，
∴∠OHA＝∠ADC，
∵CD＝AD，
∴∠CAD＝∠DCA，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠DCA，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
即要使四边形OCGH是菱形， ABCD的边和角需要满足的条件是：CD＝AD，∠ADC＝60°．
24．（1）证明：∵AB∥CD，
∴AE∥CD，
∵CD＝AE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形，
（2）存在，
由题意知AF＝AB＝9，过点D作AB的垂线，垂足为H，
∵AB∥CD，∠A＝60°，
∴在Rt△AHD中，∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝3，
∴DH＝＝＝3，
∵运动时间为t秒，
①如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AF﹣AM＝9﹣3t，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，
若MF＝ND，则四边形MFND为平行四边形，
即9﹣3t＝6﹣t，
解得t＝，
此时S MFND＝MF×DH＝（9﹣3×）×3＝；
②如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AM﹣AF＝3t﹣9，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，
若MF＝ND，则四边形FMND为平行四边形，
即3t﹣9＝6﹣t，
解得t＝，
此时S FMND＝MF×DH＝（3×﹣9）×3＝；
综上：当t＝时，四边形MFND为平行四边形，面积为；当t＝时，四边形FMND为平行四边形，面积为．