10.4.2三角形三条边的垂直平分线 同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
4 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三条边的垂直平分线
知识梳理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到____________的距离相等.
基础练习
1.线段a，h如图所示，求作等腰三角形ABC，使AB=AC，且BC=a，边BC上的高AD=h.小红的作法如下：①作线段BC=a；②作线段BC 的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，△ABC即为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，错误的是( )
A.① B.② C.③ D.④
2.如图，直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线.若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，
当顶点A的位置移动时，点O始终在( )
A.直线MN上 B.直线MN的左侧 C.直线MN的右侧 D.直线MN的左侧或右侧
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是_____________.
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线，交BC 于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，与相交于点O，△ADE的周长为6，△OBC的周长为16，则AO的长为__________.
5.(1)如图①，O为AB的中点，直线，分别经过点O，B，且∥.以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线于点C，连接AC.求证：直线垂直平分AC.
(2)如图②，平面内直线∥∥∥，且相邻两直线间距离相等，点P，Q分别在直线，上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线上求作一点D，使线段PD最短(两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM，交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，交AD于点P；③连接PB，PC.请你观察图形解答下面的问题：
(1)线段PA，PB，PC之间的数量关系是______________；
(2)若∠ABC=70°，求∠BPC的度数.
巩固提高
7.在△ABC中，AO平分∠BAC，且OA=OB=OC=10.若点O到AB，AC的距离都是6，到BC的距离是8，则△ABC的周长是( )
A. 16 B. 32 C. 40 D. 44
8.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，线段AB，AC的垂直平分线交于点O，则OA的长为___________.
第8题图 第9题图
9.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交直线BC于点E，D，连接AD，AE.若
∠DAE=82°，则∠BAC的度数为___________.
10.线段a和∠α如图所示，求作等腰三角形ABC，使AB=AC，∠B=∠α，高AD=a(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
11.如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线交于点P，连接PA，PB，PC.
(1)求证：点P在AC的垂直平分线上；
(2)若∠BAC=85°，求∠BPC的度数；
(3)求证：∠ABP+∠ACB为定值.
12.如图，在△ABC中，DE，MN分别是边AB，AC的垂直平分线，交BC于点E，N，且直线
DE，MN相交于点F.
(1)若∠B=20°，求∠BAE的度数；
(2)若∠EAN=40°，求∠F的度数；
(3)若AB=8，AC=9，求△AEN周长的取值范围.
参考答案
［知识梳理］
三个顶点
[课堂作业]
1.C 2.A 3.4 4.5
5.(1)如图①，连接OC.∵OA=OB=OC，∴结合三角形内角和定理，易得∠ACB=90°.∴AC⊥CB.∵∥，∴⊥AC.∵OA=OC，∴直线平分AC，∴直线垂直平分AC
(2)如图②，线段PD即为所求作
6.(1)PA=PB=PC
(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵ABC=70°，∴∠BAC=180°-2×70°=40°.
∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°.∵PA=PB=PC,∴∠ABP=∠BAP=∠CAP=∠ACP=20°.
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°.
[巩固提高]
7.D 8. 9.49°
10.等腰三角形ABC如图所示
11.(1)∵AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC.∴PA=PC.∴点P在AC的垂直平分线上
(2)由(1)，知PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP.∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=85°,
∴∠ABP+∠ACP=85°.∴∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠BAC=170°
(3)由(1)，知PA=PB=PC，∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA,∠PBC=∠PCB.∵∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB+∠PAC+∠PCA=180°,∴∠PBA+∠PCB+即∠ABP+∠ACB=90°，为定值
12.(1)∵DE是边AB的垂直平分线，∴BE=EA.∴∠BAE=△B=20°
(2)∵DE，MN分别是边AB，AC 的垂直平分线，∴∠ADF=∠AMF=90°，AE=BE，AN=CN.
∴∠BAE=∠B,∠CAN=∠C.∵∠EAN=40°,∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°,∴∠BAE+
∴∠BAC=110°.∴∠F=360°-∠ADF-∠AMF-∠BAC=
360°-90°-90°-110°=70°
(3)由(2)，知AE=BE，AN=CN，∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN，即BC的长与△AEN的周长相等.
∵AB=8，AC=9，∴1＜BC＜17.∴△AEN周长的取值范围是1＜△AEN的周长＜17 .
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