2022年苏科版八年级数学下册 9.2 中心对称与中心对称图形课件（37张）

(共37张PPT)
9.2 中心对称与中心对称图形
看图思考：为什么有这种现象发生？
问题2：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。
C
两点之间线段最短.
C′
三角形两边之和大于第三边
　　　
　　从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
探究一
A
B
l
l
A
B
C
C
转化为数学问题
当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
分析：
A
B
l
转化为数学问题
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
转化需要遵循的原则是什么？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
分析：
l
A
B
C
l
A
B
C
l
A
B
C
B′
作法（1）作点B关于直线 l 的对称点B′ .
（2）连接AB′,线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
在直线 l 上任取另一点C′ ，
连接AC′ 、BC′ 、B′ C′
l
A
B
C
B′
C′
证明：
∴A B′ < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
三角形任意两边之和大于第三边
归纳
l
A
B
C
l
A
B
C
B′
l
A
B
C
抽象为数学问题
用旧知解决新知
联想旧知
解决实
际问题
A
B
l
探究二
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
思考：
你能把这个问题转化
为数学问题吗？
分析：
a
B
A
b
M
N
假设在M点建桥MN ，由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把AM、BN直接连在一起呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
分析：
l
A
B
C
a
B
A
b
M
N
a
B
A
b
M
N
A'
解：
A
A
A
A
A
另任意造桥M′N′，
连接AM′、BN′、A′N′.
在△A′N′B中，A′N′+BN′ ＞A′B，
∴AM+MN+BN最短.
证明：
a
B
A
b
M
N
A'
N′
M′
归纳
抽象为数学问题
用旧知解决新知
联想旧知
解决实
际问题
l
A
B
C
小结归纳
l
A
B
C
l
A
B
C
B′
转化
轴对称
变换
平移
变换
两点之间，线段最短.
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
要在两条街道l1和l2上各设立一个邮筒,A处是邮局,问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？
实际应用：
l1
l2
A
l1
l2
N’
A
A2
A1
（3）在两条直线上分别求一点M、N使三角形MAN的周长最小
M’
M
N
分析：
l
A
B
C
a
B
A
b
M
N
A'
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B
A.
a
.
.
P
Q
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最短即AP+QB最短.此题类似课本问题二的“造桥选址”问题。
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
a
.
.
P
Q
B’
A’
Q’
.
P’
.
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
B
●
●
A
M
N
　这是一个实际问题，解决它先要把它抽象为数学问题
探索新知
所走路径为AMNB
路径长度为AM+MN+NB
a
b
●
●
A
B
M
N
●
B′
●
●
●
P
问题：如何使这条路径最短呢？
●
Q
在AM+MN+NB中，MN的长度保持不变，
只要AM+NB最短即可
能把AM与NB连在一起吗？
a
b
●
A
●
●
●
M
N
●
B
B′
●
●
P
Q
=AM+MN+MB′
=AP+PB′+MN
AM+MN+NB
=AB′ + MN
=AP+PQ+PB′
AP+PQ+QB
∵ AP+PB′＞ AB′
∴ AP+PQ+QB ＞ AM+MN+NB
a
b
●
●
A
B
●
A′
●
M
N
●
方法2
a
b
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
　　追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
B
·
·
A
l
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，
如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B
的距离的和最短？
联想：
两点之间，线段最短.
？
l
A
B
C
A
B
l
B/
P
点P的位置即为所求.
M
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.
为什么这样做就能得到最短距离呢？
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
三角形任意两边之和大于第三边
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
练习1
A'
C
作法：① 作点A关于街道的对称点A'.
② 连接A'B,交街道于点C.
点C的位置即为所求.
勇攀高峰
　　练习2　如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
回P 处，请画出旅游船的最短路径．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
　　基本思路：
　　由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
另任意造桥M′N′，
连接AM′、BN′、A′N′.
由平移性质可知，
AM＝A′N，AM′＝A′N′，
AA′＝MN＝M′ N′.
∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，
AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
在△A′N′B中，A′N′+BN′ ＞A′B，
∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
证明：
a
B
A
b
M
N
A'
N′
M′
谢 谢