必修5全套课件和练习

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④如需返回目录，可按ESC键返回。 第一章　数列
§1　数列
1.1　数列的概念
1.2　数列的函数特性
§2　等差数列
2.1　等差数列
第一课时　等差数列的概念及通项公式
第二课时　等差数列的性质及应用
2.2　等差数列的前n项和§3　等比数列
3.1　等比数列
第一课时　等比数列的概念及通项公式
第二课时　等比数列的性质及应用
3.2　等比数列的前n项和
§4　数列在日常经济生活中的应用
章末复习方案与全优评估第二章　解三角形
§1　正弦定理与余弦定理
1.1　正弦定理
1.2　余弦定理
§2　三角形中的几何计算
§3　解三角形的实际应用举例
章末复习方案与全优评估第三章　不等式
§1　不等关系
1.1　不等关系
1.2　比较大小
§2　一元二次不等式
2.1　一元二次不等式的解法
第一课时　一元二次不等式的解法
第二课时　含参数的一元二次不等
式的解法2.2　一元二次不等式的应用
§3　基本不等式
3.1　基本不等式
3.2　基本不等式与最大(小)值§4　简单线性规划
4.1　二元一次不等式(组)与平面区域
4.2　简单线性规划
4.3　简单线性规划的应用
章末复习方案与全优评估
模块综合检测课件41张PPT。第一章
数列§1数列1.1数列的概念课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点] 1．数列的概念
(1)定义：按 排列的一列数叫作数列．
(2)数列的项：数列中的 叫作这个数列的项．
2．数列的表示
数列的一般形式可以写成 ，简记为数列 ．其中数列的第1项 也称 ； 是数列的第n项，也叫数列的 .一定次序每一个数a1，a2，a3，…，an，…{an}a1首项an通项项数有限的数列项数无限的数列 4．数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N＋
(或它的有限子集)的函数，当自变量 取值时，该函数对应的 ．
从小到大依次一列函数值 5．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的 ．an＝f(n)解析式[小问题·大思维]
1．如果组成两个数列的数相同，而排列次序不同，那
么它们是相同的数列吗？
提示：不是，因为数列的项具有有序性．
2．同一个数在一个数列中可以重复出现，对吗？
提示：正确．数列的项具有可重复性．3．{an}与an有何区别？
提示：{an}与an是两个不同的概念，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，是数列的一种简记形式，而an只表示数列{an}的第n项，也称通项．
4．是否所有的数列都有通项公式？若有，形式上是否唯一？
提示：并不是所有的数列都有通项公式，若有，形式上不一定唯一．[研一题]
[例1]　下列说法中正确的是 (　　)
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列{ }的第k项为1＋
D．数列0,2,4,6，…可记为{2n}
[提示]　根据数列的相关概念逐一判断．[答案]　C[悟一法]
理解数列的概念应注意以下几个方面
(1)数列中项与项之间用“，”隔开．
(2)数列中的项通常用an表示，其中右下角标表示项的位置序号，即an为第n项．
(3)“次序”的重要性：次序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，它们按照不同的次序排列所得到的数列是不同的，这是数列与集合的不同之处． (4)“项”与序号n是不同的：数列的项是这个数列中某一个确定的数，它实质上是序号n的函数值f(n)；而序号则是指该项在这个数列中的位置序号．[通一类]
1．有以下结论：
①数列的项数是无限的；
②任何数列都有首项和末项；
③前若干项相同的两个数列，通项公式必相同；
④自然数按从小到大的次序排列就是一个数列．
其中正确的说法是________(填序号)．解析：数列的项数可能是有限的，也可能是无限的，故①不正确；任何数列都有首项，但不一定有末项(如无穷数列)，②也不正确；对于两个数列，前若干项若相同，但后若干项不一定相同，所以其通项公式也不一定相同，故③不正确；由数列的定义知④正确．
答案：④ [提示]　观察所给数列的前几项，寻找各项an与其位置序号n之间的关系，便可得其通项公式．[悟一法]
通项公式的简单应用主要包括以下两个方面
(1)由通项公式写出数列的前几项．就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
(2)判断一个数是否为该数列中的项．其方法是由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项． 根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和点数，并写出由图中点数依次组成的数列的通项公式． [巧思]　观察图形的构成规律，寻找点数构成的数列中a1与a2，a2与a3的关系，便可发现a4，a5，…，an的取值规律及图形的构成特征．[答案]点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件36张PPT。第一章
数列§1数列1.2数列的函数特性课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点]数列的增减性大于an＋1>an小于an＋11．如果一个数列是递增(或递减)数列，那么其图像有何
特征？
提示：其图像是上升(或下降)的．
2．如果数列按项的变化趋势进行分类，那么可以分成几
类？它们分别是什么数列？
提示：可以分成四类，分别是递增数列、递减数列、常数列和一般数列(既不是单调数列也不是常数列)．[研一题] [提示]　根据数列增减性的定义，考察an＋1－an的正负即可．[悟一法]
判断一个数列的增减性，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定．对n∈N＋.当an＋1－an>0时，{an}为递增数列；当an＋1－an<0时，{an}为递减数列；当an＋1－an＝0时，{an}为常数列；当an＋1－an的符号不确定时，{an}既不是递增的，也不是递减的，也不是常数列．[通一类] [提示]　作差an＋1－an，并对差式变形后可讨论项的变化趋势，从而寻求最大项．[通一类]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，求当n
为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[提示]　将an代入已知函数f(x)的解析式，化简得关于an的一元二次方程，进而求得通项公式，然后判断数列的单调性．[悟一法]? 设数列{an}的通项公式为：an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围． [错因]　导致上述错解的原因是仅考虑了数列{an}为单调递增数列时的一种情形，而没考虑到n∈N＋，n的值是离散的． 法二：结合二次函数y＝x2＋kx的图像，要使{an}是递增数列，只要a1 即1＋k<4＋2k，得k>－3，
所以a的取值范围为(－3，＋∞)．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件36张PPT。第一章
数列§2等差数列2.1等差数列课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测第一课时
等差数列的概念及通项公式[读教材·填要点]1．等差数列的定义2同一个常数公差d(n∈N＋，且n≥2)公差 2．等差数列的通项公式
等差数列{an}的首项是a1，公差为d，则通项公式是：
an＝a1＋( )d.n－1[小问题·大思维]
1．如果一个数列是等差数列，那么每一项与前一项的差
都是同一个常数，对吗？
提示：不对．因为第一项没有“前一项”，应从“第2项
起”，每一项与前一项的差是同一个常数．
2．如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是常数，
那么这个数列是等差数列吗？
提示：不一定．如数列1,2,4,7,10满足条件但不是等差数列，因此等差数列的定义中强调“差是同一常数”．3．已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其
第n项an能否用am与d表示？
提示：能．an＝am＋(n－m)d.[研一题] [例1]　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋2，求证：数列{an}为等差数列；
(2)若数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)，则当p、q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
[提示]　根据等差数列的定义，利用an＋1－an是否是与n无关的常数作答．[自主解答]　(1)证明：∵an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，
∴数列{an}为等差数列．
(2)若{an}为等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)
＝2pn＋p＋q是一个与n无关的常数．
∴只有2p＝0.即p＝0时，an＋1－an是一个与n无关的常数．
∴当p＝0，q∈R时，数列{an}为等差数列．[悟一法]
1．利用等差数列的定义an＋1－an＝d(常数)，可直接对一个数列是否为等差数列作出判断．
2．若一个数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p、q为常数)，则此数列必为等差数列，其公差为d＝p.[通一类]
1．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则a5
＝________.
解析：∵an＋1＝an＋2(n∈N＋)，即an＋1－an＝2.
∴数列{an}是以2为公差的等差数列．
∴a5＝a1＋4d＝1＋4×2＝9.
答案：9[研一题]
[例2]　(1)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项；
(2)若等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求该数列的首项与公差．
[提示]　(1)由等差数列的首项与第二项，可得公差，从而可得通项公式，进而求得第20项；
(2)利用等差数列的通项公式，列方程组求解．[自主解答]　(1)可知a1＝1，a2＝－3，
∴公差d＝a2－a1＝－4.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.
∴a20＝5－4×20＝－75.
即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.[通一类]
2．等差数列{an}中：
(1)a3＝－2，d＝3，则an＝________.
(2)若a5＝11，an＝1，d＝－2，则n＝________.解析：(1)法一：由a3＝a1＋(3－1)d
得a1＝a3－2d＝－8，
an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
法二：an＝a3＋(n－3)d＝－2＋(n－3)×3＝3n－11.
(2)∵an＝a5＋(n－5)d
＝11＋(n－5)×(－2)＝1，
∴n＝10.
答案：(1)3n－11　(2)10 [提示]　利用an与bn的关系，证明bn＋1－bn＝常数，即可解决(1)，进而由bn求得an.[悟一法] 本题是有关等差数列的综合问题，解答该类问题的关键是充分利用已知公式的特点和等差数列的定义证明{bn}是等差数列．注意等差数列的定义中an＋1－an＝d(常数)须对任意的n∈N＋均成立．否则不能说明数列为等差数列． 已知数列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
[错解]　(1)∵an＝an－1＋2，即an－an－1＝2.
∴{an}是等差数列．
(2)由(1)知，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
[错因]　判断{an}是否为等差数列时，未考虑等式an－an－1＝2成立的条件是n≥3，即不包括a2－a1，不符合等差数列的定义，进而得{an}的通项公式，显然不正确．[正解]　(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，
即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件38张PPT。第一章
数列§2等差数列2.1等差数列课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测第二课时
等差数列的性质及应用[读教材·填要点] 1．等差数列的单调性
对于等差数列{an}，由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线 上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是 ，其中公差d是该直线的 ．
(1)当d>0时，{an}为 数列．
(2)当d<0时，{an}为 数列．
(3)当d＝0时，{an}为 ．y＝dx＋(a1－d)正整数斜率递增递减常数列 2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝ .
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq；特别地：若m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则am＋an＝2ak.
(3)从等差数列中，每隔一定项数抽取一项所构成的数列仍是等差数列，如，若{an}为等差数列，则a2，a5，a8，a11，…，仍是等差数列． [小问题·大思维]
1．若(1,5)、(4,8)是等差数列{an}图像上的两点，则{an}的
单调性如何？
提示：由等差数列的函数特征可知，过(1,5)，(4,8)的直线的斜率k＝ ＝1>0，所以数列{an}是递增数列．
2．若a＋b＝2A，则a，A，b一定成等差数列，对吗？
提示：对．由a＋b＝2A得A－a＝b－A，所以a、A、b一定成等差数列3．若{an}为等差数列，则a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2
＝…，对吗？
提示：正确．因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝2a1＋(n－1)d.
由此可得到首末两端等“距离”的两项之和相等．[研一题] [例1]　已知数列{an}为等差数列，若a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，试求数列{an}的通项公式．
[提示]　利用a2＋a8＝2a5，根据已知条件a2＋a5＋a8＝9，可得a5，进而可得a3·a7，然后求出a3，a7，于是求出{an}的通项公式．[悟一法]
利用等差数列的性质解题是处理等差数列问题的重要方法，灵活运用等差数列的有关性质，可使计算过程大大简化，不但提高运算速度而且提高准确度，这就需要认真理解并把握等差数列的常用性质．[通一类]
1．(2011·湖南师大高二期末)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋
a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.答案：182．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，
则a20等于 (　　)
A．－1　　　　　　　　 B．1
C．3 D．7答案：B[研一题]
[例2]　成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．
[提示]　解答本题从这四个数成等差数列，且和为26进行突破，可设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意，列方程组求解．[悟一法]
利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．[通一类]
3．有三个数成等差数列，它们的和为9，积为－21，
求这三个数． 甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只肉鸡上升
到第6年平均每个养鸡场出产2万只肉鸡．
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个． [例3]　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡规模进行调查，提供了两个不同的信息图，[研一题] (1)第2年养鸡场个数及全县出产肉鸡的只数各是多少？
(2)到第3年这个县出产的肉鸡比第1年出产的肉鸡数增加了还是减少了？
[提示]　首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图像建立等差数列，进行求解，得出结论．[自主解答]　(1)设第n年平均每个养鸡场出产肉鸡an万只，养鸡场bn个，由题图可知，数列{an}、{bn}的通项公式都为n的一次函数，所以数列{an}，数列{bn}均为等差数列，n∈N＋且1≤n≤6，a1＝1，a6＝2，
∴an＝0.2n＋0.8，
b1＝30，b6＝10.
∴bn＝－4n＋34.∴a2＝0.2×2＋0.8＝1.2，
b2＝－4×2＋34＝26.
∴a2b2＝1.2×26＝31.2.
即第2年养鸡场26个，全县出产肉鸡31.2万只．
(2)由(1)知a3＝0.2×3＋0.8＝1.4，
b3＝－4×3＋34＝22，
∴a3b3＝22×1.4＝30.8.而a1b1＝1×30＝30，所以a3b3>a1b1，即第3年出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数增加了．[悟一法]
解决与等差数列有关的实际应用问题，关键是从题目中抽象出等差数列的数学模型．本题由所给图像可知，从第一年开始，平均每个养鸡场出产的肉鸡数与养鸡场的个数和年数n为一次函数关系，所以均为等差数列．[通一类]
4．甲虫是行动较快的昆虫之一．下表记录了某种类型的
甲虫在给定时间内的爬行距离(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？ 在－2和14之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为________．
[巧思]　插入的三个数使5个数成等差数列，于是b是－2与14的等差中项，a是－2与b的等差中项，c是b与14的等差中项，利用等差中项的特点，可迅速作答．[答案]　2,6,10点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件43张PPT。 名师课堂·一点通第一章
数列§2等差数列2.2等差数列的n项和课前预习·巧设计创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点]
等差数列的前n项和公式[小问题·大思维]
1．等差数列的前n项和公式中的n的含义是什么？
提示：n表示求和项数，即有多少项相加．
2．等差数列的前n项和公式中共含有几个基本量？你认为须
知几个量，才能求得其他量？
提示：含有a1，d，an，n，Sn共五个量，知三可以求二．3．从函数的观点看，等差数列的前n项和公式有何特征？[研一题][提示]　恰当地选用等差数列的前n项和公式求解．[悟一法]
等差数列的前n项和公式的直接应用，突出表现在基本量的求解计算，Sn，n，a1，an，d五个基本量中，知三可以求二，有时还需要建立关于a1和d的方程组求解，这就需要熟悉并掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，才能灵活作答．[通一类]
1．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求通项公式an；
(2)若Sn＝242，求n.[研一题]
[例2]　(1)在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为 (　　)
A．8　　　　　　　　　 B．10
C．12 D．14
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝100，S100＝10，则S110＝________.[答案]　(1)B　(2)－110[悟一法]
1．本例(2)若用常规方法求解，即先列出关于首项a1和公差d的方程(组)，求得a1和d，再求S110，势必运算量较大，计算繁琐，而采用等差数列前n项和的有关性质求解，则可大大减小运算量，达到事半功倍的效果．因此，应加强对等差数列前n项和的常用性质的把握和应用意识．[研一题]
[例3]　(2011·福州高二期中)在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． [提示]　(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；
(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．法二：由an＝3n－12知，数列{an}为递增数列，
令an≤0，得n≤4.
∴a1∴数列{an}的前3项与前4项之和相等，且最小，Sn的最小值为S3＝S4＝－18. (2)通项公式法：根据通项公式确定数列中各项的正负：
①当a1>0，d<0时，数列{an}为递减数列，前n项和有最大值，其最大值为所有正(或非负)项的和；
②当a1<0，d>0时，数列{an}为递增数列，前n项和有最小值，其最小值为所有负(或非正)项的和．[通一类]
3．[例题多维思考]　若本题条件中“a10＝18，S5＝－15”改
为“a5＝－1，a10＝14”，所求问题不变，结果如何？ 在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件38张PPT。 名师课堂·一点通第一章
数列3.1等比数列课前预习·巧设计创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测第一课时

等比数列的概念及通项公式[读教材·填要点]1．等比数列的定义同一个常数比公比q公比22．等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式是
an＝ (a1≠0，q≠0)．a1·qn－1[小问题·大思维]
1．在等比数列中，公比q为什么不为0？能否有某一项为0?2．既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？若存在，
是何种数列？
提示：存在．这样的数列是各项不为0的常数列，如数列2,2,2，….
3．已知等比数列{an}的第m项为am，公比为q，则其第n项an
能否用am与q表示？
提示：能，an＝am·qn－m.[研一题][例1]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．[通一类]
1．[例题多维思考]若本题条件改为：a1＝1，an＋2an－1
＋3＝0(n≥2)．所求问题不变，如何求解？[研一题]
[例2]　在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[提示]　利用通项公式根据已知条件列出a1和q的方程组．求出a1和q，再表示其他量．[悟一法]
1．a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出．
2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q知任意三个就可以求出另外一个．
3．在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想．[答案]　B　[答案]　±13．若等比数列{an}中，an＋4＝an，则公比q＝________.[研一题]
[例3]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[提示]　可根据等差数列的特点先设出前三个数，得第四个数，或根据等比数列的特点设出后三个数，得第一个数，从而列方程组求解．[通一类]
3．[例题多维思考]　已知三个数成等比数列，它们的积为
27，若这三个数分别加上1,4,3，又成等差数列，求这三个数．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
求证：{an}是等比数列．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件42张PPT。 名师课堂·一点通第一章
数列3.1等比数列课前预习·巧设计创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测第二课时
等比数列的性质及应用[读教材·填要点]递减递增递增递减等比Ga，b[小问题·大思维]
1．当公比q<0时，等比数列{an}是递增数列或递减数列吗？2．对于任意两个实数a、b，是否一定存在等比中项？若存在，
有几个？3．若G2＝xy，则x，G，y一定成等比数列吗？
提示：不一定，当G＝0，且x，y至少有一个为0时，G2＝xy成立，但x、G、y不是等比数列．[研一题][例1]　已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8；求an.[悟一法]
解决有关等比数列的运算问题，可用常规方法作答，即建立首项与公比的方程(组)求解，但往往运算过程繁琐，运算量较大，若能用等比数列的有关性质求解，则可减小运算量，简化运算过程，从而达到事半功倍的效果，应加强该种方法的应用意识．[通一类]
1．已知等比数列{an}．
(1)若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＋log3a10＝________；
(2)若a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________.
解析：(1)∵a1·a10＝a2·a9＝…＝a5·a6，
∴原式＝log3(a1·a2·a3·…·a10)
＝log3(a5a6)5＝5log3(a5a6)＝5log39＝10.答案：(1)10　(2)64或1[提示]　利用等比中项作答．[通一类]
2．公差不为0的等差数列，第二、三、六项构成等比数列，
则公比为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4答案：C3．已知等比数列{an}的公比q≠1，且am，an，ap成等比数
列，求证：m，n，p成等差数列． [提示]　根据题意，前后两年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决． [自主解答]　(1)从第一年起，每年后车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5(1－10%)，a2＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝ 13.5×0.9，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n.
∴n年后车的价值为an＝13.5×0.9n万元．
(2)由(1)得a3＝a1·q3＝13.5×0.93≈9.8(万元)，
∴用满3年时卖掉这辆车，大概能得到9.8万元．[悟一法]
解数列应用题的具体方法步骤是：
(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，特别要注意准确弄清项数为多少．
②弄清题目中主要的已知条件． (2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式．[通一类]
4．某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012
年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？解：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2010年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．
由100(1＋x)2＝121得(1＋x)2＝1.21，
∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1.
∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)，
a2＝100(1＋x)＝110(万件)．
∴每年增长的百分率为10%,2011年生产这种零件110万件． 在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，试求a7.点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件46张PPT。 名师课堂·一点通第一章
数列3.2等比数列的前n项和课前预习·巧设计创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点] 1．等比数列前n项和公式的推导
设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.
由等比数列的通项公式可将Sn写成
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①
①式两边同乘以q得
qSn＝ . ②a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qna1－a1qna1qn－1Sn＝na12．等比数列的前n项和公式[小问题·大思维]
1．在运用等比数列的前n项和公式时应注意什么？
提示：在运用等比数列的前n项和公式计算时，一定要注意到公式的前提条件是q≠1，而当q＝1时，应按常数列求和，即Sn＝na1，特别是在等比数列的公比未知或含字母参数时，应分q＝1与q≠1两种情况讨论．提示：A，B≠0且A＋B＝0.[研一题]
[例1]　在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)an＞0，Sn＝80，S2n＝6 560，前n项中最大的
一项为54，求a1，q.
[提示]　设出首项a1，公比q，列出方程组，解方程组求出a1、q. 3．等比数列的前n项和公式的使用条件是q≠1，当公比q＝1时，为常数列，这时Sn＝na1，因此，在进行等比数列的求和计算时应注意对公比q是否为1进行讨论．2．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＋a6＝40，求S5.[研一题]
[例2]　已知等比数列{an}中，前4项的和S4＝2，前8项的和S8＝6.
(1)求前12项的和S12；
(2)求a17＋a18＋a19＋a20的值． [提示]　可利用等比数列前n项和公式求解，但利用等比数列前n项和的“片断性”性质求解更简捷．法二：∵{an}为等比数列且Sn≠0，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
∴(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)．
即(6－2)2＝2(S12－6)．
解得S12＝14.[悟一法]
1．有关等比数列的求和问题，通常是列方程组，求首项a1和公比q，但用等比数列的性质，尤其是解决选择题、填空题，显得简捷易行．[通一类]
3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，
S3n＝14，则S4n等于 (　　)
A．80　　　　　　　　 B．30
C．26 D．16答案：B[研一题]
[例3]　已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？
(计算时取1.15＝1.6) [提示]　据题意：每年的住房面积＝当年年初的住房面积×(1＋10%)－b，依次可写出各年的实际住房面积的表达式，进而求解．[悟一法]
解决等比数列的实际问题的关键是通过仔细审题，将实际问题转化为数列问题，构造等比数列模型，分清楚是与通项公式有关，还是与前n项和有关，然后列出算式计算相应结果．[通一类]
4．某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经
营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后)，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值等于(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．1法三：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
∵{an}为等比数列，∴an＝2n－1(n∈N＋)．
∴a1＝20＝S1＝2＋r.
∴r＝－1.
[答案]　B点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件47张PPT。 名师课堂·一点通第一章
数列§4数列在日常经济生活中的应用课前预习·巧设计创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点]1．银行存款计息方式本金×利率×存期本利和P(1＋nr)2．数列应用问题常见模型
(1)零存整取模型：
零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是
；到约定日期，可以取出全部本利和，这是 ．计算公式为：利息＝本金×利率×存期．零存整取 (2)定期自动转存模型：
定期自动转存，是指储户与银行约定在存款到期日自动将本利和按原存期转入下一个存款周期，定期自动转存业务，在计算利息时，以 计算．计算公式为：利息＝本金×(1＋利率)存期．
(3)分期付款模型：
分期付款可以不一次性将款付清，还款时可以 将款逐步还清．分期付款中，一般规定每次付款额 ，每期付款的时间间隔相同．复利分期相同[小问题·大思维]
1．单利和复利的计算，分别以哪种数列为数学模型？
提示：单利以等差数列为数学模型，复利以等比数列为数学模型．
2．零存整取与定期自动转存与数列有何关系？
提示：零存整取是以单利计算利息，各次存款产生的利息(或本息)是一等差数列；而定期自动转存是以复利的方式计息，是等比数列模型的应用．3．分期付款公平吗？
提示：分期付款中规定：各期所付的款额与到最后一次付款时所产生的利息的和，等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的．[研一题]
[例1]　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
[提示]　记每次付款的数额构成的数列{an}，依题意可归纳得出an, 从而可转化为等差数列模型求解．[悟一法]
1．解数列应用题的基本思路： 2．本题属等差数列模型，解答的关键是先构造数列{an}，并求出数列{an}的前几项，再归纳得an，由{an}为等差数列，从而用通项公式和求和公式求解．
3．学习分期付款应注意：
①分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同；
②分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金．[通一类]
1．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润
是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)解：设在相同的时间内，从低到高每档次产品生产的件数分别为a1，a2，…，a10(单位：件)，对应每档次产品的利润分别为b1，b2，…，b10(单位：元)，则{an}、{bn}均为等差数列，且a1＝60，d＝－3，b1＝8，d′＝2，
∴an＝60－3(n－1) ＝－3n＋63，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6.
∴利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.显然，当n＝9时，
f(n)max＝f(9)＝864元．
故在相同的时间内，生产第9档次的产品可以获得最大利润．[研一题]
[例2]　职工小张年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)(1.19＝2.36,1.110＝2.59)
[提示]　解答本题可从第10年还款起分析这10次还款，每次还款至全部还清时，所付款连同利息之和是多少，从而构造数列模型求解． [自主解答]　设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：
第10年还款x元，此次欠款全部还清．
第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元．
第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元．
……[悟一法]
本题是复利计算问题，所以属于等比数列模型，在抽象出数学模型后应注意列式根据：各期所付的款额＋各期所产生的利息＝商品售价＋利息．[通一类]
2．从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇
匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：(1)第n次操作后溶液的浓度是多少？(2)若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?[研一题]
[例3]　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多(计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)?
[提示]　方案甲获利成等比数列，方案乙获利成等差数列，故可分别建立数列模型求解．[悟一法]
1．解决数列的实际应用问题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，转化为数学问题解决．
2．价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模，从而归纳转化为数列问题去解决．[通一类]
3．“十一”国庆节期间， 某家电商场为了促进商品销售，
特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价格2 150元．
第一种付款方式：购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付200元，并加付欠款利息，每月利息按复利计算，月利率1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.
试计算两种付款方式每月所付金额及购买这件家电总共所付金额．(1.0110≈1.105)解：第一种付款方式：购买时付出150元，则欠款2 000元，按要求知10次付清，则以后：
第一次应付a1＝200＋2 000×0.01＝220(元)；
第二次应付a2＝200＋(2 000－200)×0.01＝200＋1 800×0.01＝218(元)；
…
第n次应付an＝200＋[2 000－(n－1)×200]×0.01＝200＋20－(n－1)×2(元)．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件90张PPT。高频考点例析第一章
数列章末复习方案与全优评估要点整合再现阶段质量检测考点一考点二考点三考点四考点五考点六 一、数列的通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．因此，求数列的通项公式是数列的核心问题之一，常见的求数列的通项公式的类型与方法如下： 1．由数列的前几项求数列的通项公式——观察法
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
(3)观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．三、等差与等比数列
1．等差与等比数列的判定方法
(1)等差与等比数列的判定通常有两种方法： (2)解选择题、填空题时，也可用通项或前n项和直接判断．
①通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p、q为常数)，则{an}为等差数列．
若数列通项公式可写成an＝cqn(c，q均为不为0的常数，n∈N＋)，则数列{an}是等比数列；
②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn为Sn＝pn2＋qn(p、q为常数)，则{an}是等差数列．
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数，且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}为等比数列． 2．等差与等比数列的基本运算
(1)等差与等比数列的通项公式和前n项和公式中共涉及五个量，知三可以求二，要求应熟练掌握其运算公式；
(2)在等差与等比数列的运算中常体现“整体化”的思想，这就要求明确这两种数列的常用性质，并能灵活地应用，以提高运算的速度和准确度． ⑤a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.
⑥数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(m为偶数的{an}的公比q≠－1)．
⑦当n是偶数时，S偶＝S奇·q；当n是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q.
⑧若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则{lg an}是公差为lg q的等差数列． 四、数列的综合应用
1．数列求和的常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，对于等差与等比数列的求和，有公式可遵循，而对于非等差与等比数列求和，也有其规律方法，常用方法如下：
(1)公式法：
直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和； (2)倒序相加法：
如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的；
(3)错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的； (4)裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和：
注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提；
(5)分组求和法：
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和然后相加减； (6)并项求和法：
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 2．数列在实际问题中的应用
(1)解答数列应用题的步骤：
①审题——仔细阅读材料，认真理解题意；
②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；
③求解——求出该问题的数学解；
④还原——将所求结果还原到实际问题中． (2)数列应用题常见模型：
①等差数列模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比数列模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比． 注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：
单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差数列模型；
复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比数列模型．
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．[例1]　试分别求满足下列条件的数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1；
(2)a1＝1，a2＝3，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an(n≥2)．
[解]　(1)∵an＋1＝an＋2n＋1
∴a2＝a1＋2×1＋1
a3＝a2＋2×2＋1
a4＝a3＋2×3＋1
…
an＝an－1＋2(n－1)＋1解：(1)∵an＝an－1＋3n－1，
∴an－1＝an－2＋3n－2，
an－2＝an－3＋3n－3，
…
a2＝a1＋31.? [例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，试求数列{an}的通项公式．2．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－n，则通项公式为an＝___. [借题发挥]　如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的通项公式或前n项和公式来求解．答案：C [例4]　(2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n·[解]　(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
故an＝2·3n－1. [借题发挥]　分组求和实际上就是通过“拆”和“组”的手段，把和式转化为等差、等比数列的求和问题，或特殊数列和的形式，从而利用恰当的方法进一步求和．6．本题条件不变，将问题(2)中“求数列{bn}的前2n项和S2n”
改为：“求数列{bn}的前n项的和Sn”．7．(2011·安徽高考)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，
则a1＋a2＋…＋a10＝ (　　)
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.
答案：A [借题发挥]　求形如{anbn}的数列的前n项和Sn(其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位相减法，具体解法是：Sn乘以某一个合适的常数(一般情况下是数列{bn}的公比q)后，与Sn错位相减，使其转化为等比数列的求和问题来解．[解]　(1)∵an＋1＝an＋c，a1＝1，c为常数，
∴an＝1＋(n－1)c.
∴a2＝1＋c，a5＝1＋4c.
又a1，a2，a5成等比数列，
∴(1＋c)2＝1＋4c，解得c＝0或c＝2.
当c＝0时，an＋1＝an不合题意，舍去．∴c＝2. [借题发挥]　裂项相消法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n项和．使用裂项法，要注意正负项相消，消去了哪些项，保留了哪些项．点击下图进入阶段质量检测课件32张PPT。第三章
不等式§1不等关系1.1不等关系课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点]
1．日常生活中常见的不等关系2．用不等式表示不等关系，常用的数学符号≠＞＜≥≤[小问题·大思维]
不等关系与不等式有什么区别？
提示：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”表示；而不等式则是不等关系的具体体现．可用“a≠b”、“a＞b”、“a＜b”、“a≥b”、“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式体现的．?[研一题]
[例1]　用不等式表示下列语句：
(1)a是负数；(2)b是非负数；(3)a，b两数的平方差的2倍不大于10；(4)a与b的和的绝对值不大于a与b的绝对值的和．
[提示]　确定有不等关系的两数(式)的表达式，用不等号连接．[自主解答]　(1)a<0. 　(2)b≥0.
(3)2(a2－b2)≤10.　(4)|a＋b|≤|a|＋|b|[悟一法]
不等式表示代数式之间的不等关系，列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系，然后列出相应的不等式．[通一类]
1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙
物体重；A容器与B容器的容积相等．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为：________；________；________．
答案：a＜b 　a＞b 　a＝b[研一题]
[例2]　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式．
[提示]　根据总长不能超过4 000 mm及两种钢管的数量关系建立不等关系，写出不等式组．[悟一法]
用不等式组表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将各个不等关系用未知量表示出来．[通一类]
2. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥
料需要的主要原料是磷酸盐5 t，硝酸盐14 t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐2 t、硝酸盐13 t，现库存磷酸盐20 t，硝酸盐60 t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出生产条件的数学关系式．[研一题]
[例3]　为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案． [提示]　写出小型图书角的个数及科技书籍、人文类书籍的总数，根据条件写出不等关系，再解出x的范围，确定方案．由于x只能取整数，
∴x的取值是18，19，20.
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10.
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．[悟一法]
1．根据实际问题列不等式的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式．
2．根据实际问题列出不等式，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式．[通一类]
3．[例题多维思考]　在例3的方案中，哪种方案用书籍最
少？共用多少本？
解：比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少．共用书
籍130×18＋90×12＝3 420(本)． 周末，李华和七名同学共8人去爬山，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．
(1)有几种购买方式，每种方式购买可乐和奶茶各多少杯？
(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少购买两杯时，有几种购买方式．
[巧思]　 该问题中的人数、杯数均为自然数，且数字较小，列出关系式，求出范围，用列举法即可解决问题． 法二：由x∈N，y∈N用列举法直接求得可乐和奶茶的杯数分别为：10，0；7，2；4，4；1，6.
(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少购买两杯时，即y≥2且x＋y≥8.
由(1)可知有两种购买方式．即买7杯可乐，2杯奶茶；或买4杯可乐，4杯奶茶．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件33张PPT。第三章
不等式§1不等关系1.2比较大小课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点]1．比较任意两个实数a，b大小的依据
如果a－b>0，那么a b；
如果a－b<0，那么a b；
如果a－b＝0，那么a b.><＝2．不等式的基本性质
(1)传递性：如果a>b，b>c，那么a c；
(2)可加性：如果a>b，那么a＋c b＋c；
(3)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac bc；
如果a>b，c<0那么ac bc.>>><> [小问题·大思维]
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a
－d>b－c成立．
2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．提示：都成立．[研一题]
[例1]　已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[提示]　作差—变形—定号—结论．[悟一法]
利用作差法比较大小关键在于变形，变形的主要目的是为了判断差的符号，变形越彻底越有利于下一步的判断，常用知识有因式分解，配方，通分等，另外当差的符号不确定时要分类讨论．[提示]　利用不等式的性质或通过反例作出判断．[答案]　B[悟一法]
运用不等式的性质判断不等式是否成立时，要根据条件，利用性质进行变形．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行验证排除．[通一类]
2．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是
(　　)
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋c
解析：利用不等式的性质，有a＋c>b＋c.
答案：D
[研一题]
[例3]　有一所学校原来是长方形布局，市政府对这所学校进行规划，要改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么这所学校选择哪种布局有利？
[提示]　比较两种情况下面积的大小，作出决定． [悟一法]
利用不等式解决应用题的关键是用字母表示相关的量，比较两个量的大小，作出判断．[通一类]
3．轮船在甲地和乙地间经历顺流和逆流来回行驶一次的平
均速度和轮船在静水中的速度是否相等，为什么？ [错因] 错用了不等式的性质，不等式不能相减或相除，应将其转化成不等式相加和相乘运算．
点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件40张PPT。第三章
不等式§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测第一课时 一元二次不等式的解法2．1　一元二次不等式的解法
第一课时　一元二次不等式的解法[读教材·填要点] 1．一元二次不等式
(1)定义：形如 ax2＋bx＋c>0(≥0)或 的不等式(其中 )叫作一元二次不等式．
(2)解与解集：使某个一元二次不等式成立的 叫这个一元二次不等式的解．一元二次不等式的所有解组成的
，叫作这个一元二次不等式的解集．ax2＋bx＋c<0 (≤0)a≠0x的值集合 2．一元二次方程的根、一元二次函数的图像、一元二次不等式的解集之间的关系两相异两相等没有{x|xx2}{x|x≠x1}{x|x11．a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？
提示：可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式．
?2．一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴下方的点的横坐标x的集合．[研一题]
[例1]　解不等式：2x2＋7x＋4>0.
[提示]　先求相应方程的根，再写出不等式的解集．[悟一法]
解一元二次不等式的步骤：
(1)确定对应的二次方程的解．
(2)画出对应的二次函数的图像简图．
(3)由图像写出不等式的解集．[通一类]
1．[例题多维思考]　将例1中，二次项系数改为“－2”，
其它不变，解不等式． [提示]　由不等式的解集得到相应方程的根，再由根与系数的关系求解．[悟一法]
已知一元二次方程的根，可以写出相应不等式的解集，反之，已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系．[通一类]
2．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|3 的值．
解：∵不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|3∴3，4是方程ax2＋bx－1＝0的两实数根，[研一题]
[例3]　已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两实数根都大于2，求实数m的取值范围．
[提示]　思路一：由根与系数的关系求解；思路二：结合二次函数的图像，列出不等式求解．[悟一法]
与一元二次方程的根有关的问题可以转化为二次函数图像与x轴的位置关系进行解决．主要考虑判别式Δ的符号、对称轴的位置和端点处的函数值，当然要注意条件的等价转化．[通一类]
3．m为何值时，关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的
两实数根均在区间(0，1)内？ [错解]　由x2>x两边同时约去x，得x>1，
所以原不等式的解集为{x|x>1}．
[错因]　本题因不等式两边同时约去x时，未考虑x的取值(正负性)，机械应用不等式性质而出现失解现象，因此导致求解错误．应将一元二次不等式化成标准形式，再由方程的根得出解集．?[正解]　法一：原不等式可化为x2－x>0，
即x(x－1)>0.
∵方程x(x－1)＝0的两根为x1＝0，x2＝1，
∴不等式x2－x>0的解集为{x|x<0，或x>1}．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件29张PPT。第三章
不等式§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点一考点二考点三课堂强化课下检测2．1　一元二次不等式的解法
第二课时　含参数的一元二次不等式的解法[提示]　分别解二次不等式，再求公共解．[悟一法]
1．解不等式组时，先求出不等式组中每一个不等式的解，然后借助数轴求它们的公共解．
2．对含有字母的不等式，应注意字母的取值对解不等式可能产生的影响，必要时需对字母的取值进行分类讨论．[通一类]
1．已知A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|x2－a2≤0，a>0}
求A∩B.解：A＝{x|x≤－1或x≥4}，
B＝{x|－a≤x≤a}，
所以当0当1≤a<4时，A∩B＝{x|－a≤x≤－1}；
当a≥4时，A∩B＝{x|－a≤x≤－1，或4≤x≤a}．[研一题]
[例2]　解关于x的不等式ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)．
[提示]　a＝0时化为一次不等式；a≠0时化为二次不等式分别求解．[悟一法]
对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏．一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论．
(2)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论．
(3)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小．[通一类]
2．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
∴当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；
当0a}．
当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}．
当a>1时，aa2}．综上所述，当a<0或a>1时，解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．[研一题]
[例3]　当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解是全体实数．
[提示]　可结合相应函数的图像，数形结合建立关于a的不等式求解．
[自主解答]　(1)当a2－1＝0时，a＝±1.
若a＝1，不等式化为－1<0恒成立．
若a＝－1，不等式化为2x－1<0解集不为R.[通一类]
3．若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实
数a的取值范围．解不等式x(mx－1)>0. [错因]　m<0时只是比较了两根的大小，而没有考虑抛物线的开口方向，导致写错解集．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件36张PPT。第三章
不等式§2一元二次不等式2.2一元二次不等式的应用 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点一考点二考点三课堂强化课下检测课前预习·巧设计读教材·填要点小问题·大思维2．2　一元二次不等式的应用?[读教材·填要点]
1．简单的分式不等式的解法>< 2.穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积；
(3)将每一个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[提示]　先化分式不等式为整式不等式，后求解．[悟一法]
对于分式不等式，常先移项．通分转化为右边为0的不等式形式，再转化为整式不等式(组)来求解．[研一题]
[例2]　解不等式x4－5x2＋4≤0.
[提示]　通过因式分解，将左边化成一次因式连乘的形式，再利用穿针引线法得到不等式的解．
[自主解答]　通过分解因式，将原不等式化为(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0，
设y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，则y＝0其图像与x轴交点的横坐标分别是－2，－1，1，2，将其分别标在数轴上，并画出示意图如下：由穿针引线法，得不等式的解集是{x|－2≤x≤－1，或1≤x≤2}．[悟一法]
穿针引线法主要用来解决一元高次不等式的求解问题，非常简便易行，它的解题过程将函数图像、方程、不等式融为一体，其实质是利用函数图像求不等式的解集，是数形结合思想的典型应用．解：(1)将方程x(x－1)2(x－3)＝0的根0，－1，3标在数轴上，并用穿针引线法依次通过每一个根．如图所示．所以，原不等式的解集为{x|x<－1，或－13}．所以，原不等式的解集为{x|x≤－1，或0解不等式应用题，一般可按以下四步进行
(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)回扣实际问题．[通一类]
3．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/
件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为c＝500＋30x元，假设所产风衣能够全部销出，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1 300元？解：设日产量为x件，日获利为y元，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，
∴－2x2＋130x－500≥1 300.
解得20≤x≤45，
∴该日产量为x∈[20，45]件时，日获利不少于1 300元．[答案]　B点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件30张PPT。第三章
不等式§3基本不等式3.1基本不等式 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点一考点二课堂强化课下检测课前预习·巧设计读教材·填要点小问题·大思维3.1 基本不等式aba＝b≥a＝b均值不等式 (2)文字叙述：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．
(3)意义：
①几何意义：半径 半弦．
②数列意义：两个正数的 中项不小于它们
中项．不小于不小于等差正的等比提示：相同．都是当且仅当a＝b时等号成立．3．“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？4．基本不等式中的a，b可以是值恒为正数的任意代数式吗？
提示：可以[悟一法]
利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数
(式)适当的放大或缩小，达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．答案：B [提示]　(1)考虑用不等式a2＋b2≥2ab证明；
(2)考虑“1的代换”即把1换成a＋b＋c.[悟一法]
不等式证明问题可考虑使用基本不等式．运用时注意对要证的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后进行证明．同时要注意基本不等式成立的条件．[错解]　①②③[正解]　②④点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件34张PPT。考点一第三章
不等式§3基本不等式3.2基本不等式与最大（小） 值 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点二课堂强化课下检测课前预习·巧设计读教材·填要点小问题·大思维考点三 ?[读教材·填要点]
x，y都为正数时，下面的命题成立
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最 值 ；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最 值
．大小[小问题·大思维]
利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？?
提示：利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等，即
(1)函数式中的相关项必须是正数，如果不是正数则需要通过构造转化为正数； (2)求积xy的最大值时，要看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，看积xy是否为定值，求解时常用到拆项或凑项等解题技巧；
(3)当且仅当两项相等时，解得的值在给定的定义域内，才能取等号．
以上三点应特别注意，缺一不可．[悟一法]
1．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
2．等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等． [提示]　由于已知条件右边是一定值1，且左边各项均为正数，所以可用代入消元或“1”的代换求解．[悟一法]
利用基本不等式求最值时，最重要的是构建“定值”，恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧．[通一类]
2．[例题多维思考]　例2的条件不变，如何求xy的最小值？[研一题]
[例3]　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
[提示]　先以购买面粉间隔天数为自变量，平均每天支付的总费用为函数值建立函数模型，再利用基本不等式求最值．[悟一法]
在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最值；
(4)写出正确答案．[错因]　利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件35张PPT。考点一第三章
不等式§4简单线性规划4.1二元一次不等式（组）与平面区域 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点二课堂强化课下检测课前预习·巧设计读教材·填要点小问题·大思维考点三 [读教材·填要点]
1．一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了 部分
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足 ；
(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c 0；
(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c 0.三个ax＋by＋c＝0>< 2．在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
3．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的 ．
4．一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成 ，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成 ，则表示平面区域不包括这一边界直线．ax0＋by0＋c公共部分实线虚线[小问题·大思维]
若A(x1，y1)和B(x2，y2)在直线ax＋by＋c＝0的两侧，其坐标应满足什么条件？
提示：(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)<0.?[研一题]
[例1]　画出下列不等式所表示的平面区域：
(1)3x－4y－12≥0；　　(2)3x＋2y<0.
[提示]　先画直线，再取定点分析． [自主解答]　(1)先画直线3x－4y－12＝0，取原点(0，0)，代入3x－4y－12，得－12<0，
所以原点在3x－4y－12<0表示的平面区域内．
所以不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．
(2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．
因为点(1，0)在3x＋2y>0表示的平面区域内，
所以不等式3x＋2y<0表示的平面区域如图②阴影部分所示．[悟一法]
确定二元一次不等式表示的平面区域的步骤归纳如下：
(1)将已知不等式整理为ax＋by＋c>0(或<0或≤0或≥0)
的形式；
(2)直线定界：画出直线ax＋by＋c＝0，若包括边界则用实线，若不包括边界则用虚线，将直角坐标平面分成三个部分； (3)特殊点定域：取一个特殊点(x0，y0)代入不等式左边检验符号，确定区域在直线的哪一侧，若直线不过原点可取点(0，0)，若直线过原点可取点(1，0)或(0，1)；
(4)画出所求区域．[通一类]
1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.解：(1)先画直线x－2y＋4＝0，取原点(0，0)，代入x－2y＋4，得4>0.
所以原点在x－2y＋4>0表示的平面区域内．
所以不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．(2)先画直线y－2x＝0虚线，因为点(1，0)不在y－2x>0表示的平面区域内，所以不等式y>2x表示的平面区域如图②阴影部分所示． [提示]　先分别画出三个不等式所表示的平面区域，再找它们的公共部分． [自主解答] 如图所示，不等式x－y＋5≥0表
示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，
不等式x＋y＋1>0表示直线x＋y＋1＝0右上
方的点的集合(不含边界)，不等式x≤3表示
直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．[悟一法]
1．不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．[通一类]
2．[例题多维思考]　若例2中再加一个条件“x≥0”，则表示的
平面区域是一个什么图形？面积又是多少呢？[研一题]
[例3]　某厂使用两种零件A、B装配甲、乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件，每月生产乙产品最多1 200件，而且装一件甲产品需要4个A，6个B，装一件乙产品需要6个A，8个B.2012年1月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个．请在直角坐标系中画出甲、乙两种产品允许的产量范围．
[提示]　分别设出两种产品的产量，由题目中的条件列出不等式组．[悟一法]
用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据需要选取起关键作用的两个量用x，y表示，再由实际问题中的限制条件及x，y的实际意义写出所有不等式，组成不等式组，再画出平面区域，限制条件较多时可用表格的形式列出限制条件．[通一类]
3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥
料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，并在此基础上进行生产．请在直角坐标系中表示出两种肥料的生产数量的允许范围． [巧思]　将u＝x2＋y2看作动点P(x，y)到定点O(0，0)的距离的平方．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件39张PPT。考点一第三章
不等式§4简单线性规划4.2简单线性规划 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点二课堂强化课下检测课前预习·巧设计读教材·填要点小问题·大思维考点三 [读教材·填要点]
1．线性规划中的基本概念
如果两个变量x，y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的 ，那么我们称这个线性函数为目标函数，称 为约束条件，像这样的问题叫作 ．
在线性规划问题中，满足约束条件的 称为可行解，由所有可行解 称为可行域，使目标函数取得 称为这个问题的最优解．最大值或最小值一次不等式组二元线性规划问题解(x，y)组成的集合最小值或最大值的解 2．求目标函数最值的步骤
在约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序为：
(1)作出 ；
(2)作出直线l0： ；
(3)确定l0的 ，依可行域判断取得最优解的点；
(4)解相关方程组，求出 ，从而得出目标函数的最小值或最大值．可行域ax＋by＝0平移方向最优解[小问题·大思维]
1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可行
域中的某条边界线平行时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最值，最优解就有可能有无数多个．
2．可行解与最优解的关系如何？
提示：最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解． [提示]　先作出可行域，作出直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0求解． [自主解答]目标函数为z＝3x＋5y，可行
域如图所示，作出直线l0：3x＋5y＝0，平行
移动l0可知直线经过点B时，z取得最大值，
直线经过点A时，z取得最小值．[悟一法]
1．利用线性规划求最值：
(1)准确画出可行域是解答此类问题的前提条件．
(2)找准直线平移与目标函数值的变化趋势的关系是解题的关键．
2．最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝6x＋10y－6达到最小值；当l0的平行线l2过线段AC时，可使z＝6x＋10y－6达到最大值．
故zmin＝6×1＋10×1－6＝10，
zmax＝6×5＋10×2－6＝44.
∴z的最大值为44，最小值为10 [提示]　先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用可行域求最值．?[提示]　解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．[悟一法]
已知目标函数的最值或最优解，求参数的值域范围是线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．[通一类]
3．已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.
若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围．解：由约束条件画出可行域(如图)．点C的坐标为(3，1)，∵z＝ax＋y仅在点(3，1)处取得最
大值，
∴－a1. [巧思]　P(x，y)是不等式组表示的平面区域内的任意一点，Q(a，b)是圆上或圆内任意一点，则(x－a)2＋(y－b)2＝|PQ|2. [答案]　D点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件38张PPT。考点一第三章
不等式§4简单线性规划4.3简单线性规划的应用 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点二课堂强化课下检测考点三 [研一题]
[例1]　制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．
某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ [提示]　在题目中，涉及到两个限制条件，一是投资金额不超过10万元；二是资金亏损不超过1.8万元．因此，设出未知量，即可得到约束条件．[悟一法]
解线性规划应用题的关键和难点是从实际问题中抽象出不等式组，在此基础上再作出可行域，利用图像求最优解．[通一类]
1．某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过
300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？作直线l0：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l0：从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值．[研一题]
[例2]　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
[提示]　先设出变量，建立目标函数，并确定约束条件，转化为线性规划问题来求解．平移直线l0：3x＋2y＝0，经过可行域内的直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点A(2，1)z最小，
∴最优解为x＝2，y＝1.
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．[悟一法]
解决实际问题的关键在于正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言进而建立数学模型．?[通一类]
2．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，
需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？最少为多少．作出不等式组所表示的平面区域，如
图，设直线x＋y＝280与y＝260的交点
为M，则M(20，260)，把直线l0：0.5x
＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上
的点M时，z的值最小
∵点M的坐标为(20，260)，
∴zmin＝716－0.5×20－0.8×260＝498.
故甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少，最少为498元．[研一题]
[例3]　预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能的多．但椅子数不能少于桌子数且不多于桌子数的1.5倍．问桌子、椅子各买多少才合适？
[提示]　从题中可获得如下信息：总共有2 000元可支配资金，桌子单价：50元，椅子单价：20元，桌子数≤椅子数≤桌子数的1.5倍，使(桌子数)＋(椅子数)最大．根据题意写出约束条件，建立目标函数求解．[悟一法]
实际问题中经常出现求整数最优解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，直线最先经过或最后经过的整点坐标就是整点最优解．
(2)检验优值法：当可行域内的整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整数最优解对应的最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解．[通一类]
3．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t
支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车320元，B型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司运送成本最低？且z＝320x＋504y＝8(40x＋63y)，作出可行域如图，作直线l0：40x＋63y＝0并向上平移，当直线经过可行域内的点A(7.5，0)时z取最小值、但不满足x∈N，直线继续向上平移经过的第一个整点为(8，0)，即为满足条件的最优解．
答：每天调出A型卡车8辆，不调出B型卡车时，公司运送成本最低. [错因]　对于整点最优解问题，其最优解不一定离是
非整点最优解最近的整点而是在可行域内离直线l0最近的
整点．
[正解]　作出可行域如图(同错解中的图)，平移直线l0：4x＋7y＝0，当直线经过可行域内的第一个整点B(5，2)时z最小，zmin＝4×5＋7×2＝34.点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件59张PPT。高频考点例析第三章
不等式章末复习方案与全优评估要点整合再现阶段质量检测考点一考点二考点三考点四 1．不等式的基本性质
不等式的基本性质既是不等式变形的基础，也是求解与不等式有关问题的重要工具，比较不等式的大小，证明不等式和解不等式等问题，都离不开不等式性质的正确应用．在应用不等式的基本性质解决问题时，应注意以下几个方面： (1)两个实数大小的比较性质是作差比较法的理论依据，具体步骤是：作差―→变形―→定号―→结论．
(2)运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的前提条件．
(3)判断不等式是否成立，一般可采用以下三种方法：第一是利用不等式的基本性质加以判断；第二是利用函数的单调性进行推理；第三是结合特殊值法对命题加以否定后再作出正确的判断． 2．不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法：
解一元二次不等式时，首先将二次项系数化为正实数，然后看对应的方程是否有实根，能求出两根(包括两相等的实根 )求出根，并由此结合二次函数的图像，求出不等式的解集．
(2)分式不等式的解法：
解分式不等式时，可先将其等价变形为不等号一边为零的形式，再等价转化为整式不等式(组)来求解，当分式不等式含有等号时，要注意分母不为零． (3)含参不等式的解法：
对于一些含有参数的一元二次不等式通常要对参数进行分类讨论，讨论的依据主要有以下几点：
①一元二次不等式所对应的方程的根的大小是分类讨论的重要依据；
②实根存在的条件，则判别式的符号是分类的一个依据；
③二次项系数决定了解集的形式，是分类的重要依据． (4)一元高次不等式的解法：
通常用穿针引线法解决，其步骤如下：
①将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可分解因式的积．
②求出各因式的实数根，并在数轴上依次标出．
③自最右端上方起，用曲线自右至左依次由各根穿过数轴，遇到奇重根则穿过，遇到偶重根则不过．
④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集． (2)在运用基本不等式求值时，必须具备三个条件．这就是我们通常所说的“一正，二定，三相等”，即：一要保证两数均为正；二要使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件．
(3)在多次运用基本不等式时，只有各个不等式取等号的条件相同时，方可得到最值． 4．用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤是
(1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(2)运用数形结合的思想，把线性目标函数看成直线系，将目标函数表示的直线平行移动，最先通过的或最后通过的顶点便是所需要的点，由此可以确定目标函数的最优解．特别地，当目标函数表示的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个． [例1]　若x [解]　∵(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，又∵x0，x－y<0，
∴－2xy(x－y)>0.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
[借题发挥]　作差法是比较大小和证明不等式的常用方法．答案：27[解]　①若a>b，则ac≤bc不一定成立，应增加条件“c≤0”；
②若ac2>bc2，则a>b，但只有b≥0，才能使a2>b2，应增加条件“b≥0”；
③由a>b可得a＋1>b＋1，但a＋1与b＋1作为真数，应用a＋1>0，b＋1>0，应增加条件“a>－1，b>－1”；
④可增加条件“b>0，d>0”．[例2]　设f(x)＝mx2－mx－6＋m.
(1)若对于m∈[－2，2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围． [借题发挥]　在(1)中，已知m的取值范围，要求x的取值范围，因此需把f(x)看作m的函数，即以m为变量，而把x看作参数，在(2)中则相反．法二：结合法一，不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x恒成立
则只需m<2x2－8x＋6对任意的x恒成立，
∵2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴2x2－8x＋6在x∈R上的最小值为－2，
∴m<－2.
∴m的取值范围(－∞，－2)．4．关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对一
切实数x恒成立，求m的取值范围．
解：由已知得，当m2－2m－3＝0即m＝－1，m＝3.
而m＝3时，－1<0符合题意．
当m＝－1时，4x－1<0，不符合题意，所以m＝3.
当m2－2m－3≠0时，[例3]　设函数f(x)＝x＋ ，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0 ①作出可行域；
②作出目标函数对应的直线系；
③确定最优解．解析：不等式表示的平面区域如图所示
阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)
过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的
交点(4，6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值12.答案：A答案：2点击下图进入阶段质量检测课件67张PPT。高频考点例析第二章
解三角形章末复习方案与全优评估要点整合再现阶段质量检测考点一考点二考点三考点四考点五一、正弦定理与余弦定理
1．正弦定理与余弦定理3．斜三角形的常见类型与解法(设三角形为△ABC，角A，B，
C所对边的边长分别为a，b，c) 已知两边和其中一边的对角，可能有两解、一解或无解三种情况，要根据已知条件判定解的情形，并正确求解． 二、三角形中的几何计算
解决三角形中的几何计算问题要注意把握三点：一是几何图形中几何性质的挖掘，它往往是解题的切入点；二是根据条件或图形，找出已知、未知及求解中需要的三角形，合理利用正、余弦定理和三角恒等变换公式；三是要有应用方程思想解题的意识，同时还要有引入参数，突出主元，简化问题的解题意识． 三、解三角形的实际应用举例
1．实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要首先抽象概括为解三角形模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解．
2．注意常用的名词与术语
(1)仰角和俯角：
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的叫俯角(如图①) (2)方位角：
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
(3)方向角：相对于某一指定方向的水平角(如图③)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向；
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向；
③其他方向角类似．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，
i为坡比)． [借题发挥]　
1．已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形；
2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的．如已知△ABC的边长a、b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解．? [例2]　在△ABC中，已知(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状． [借题发挥]　
依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． [特别警示]　判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意，“等腰三角形”和“等腰直角三角形”的判定．答案：B4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．[例4]　在四边形ABCD中，BC＝a ，DC＝2a，且∠A∶∠ABC∶∠C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，求AB的长．[解]如图所示，连接BD.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°，
∴∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60，∠ADC＝150°.
在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝a2＋4a2－2a·2a·cos 60°＝3a2， [借题发挥]　正、余弦定理是研究三角形中边角关系的常用工具，在解决几何问题的过程中，经常遇到解多边形的问题，这时可以通过适当的辅助线将多边形分割为多个三角形，将问题转化为三角形来解决．8. 设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距
离分别是1,2,3，求正方形ABCD的边长． [借题发挥]　正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验．11.为了测量两山顶M，N间的距离，
飞机沿水平方向在A，B两点进行测
量．A，B，M，N在同一个铅垂平
面内(如图)．飞机能够测量的数据有
俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．点击下图进入阶段质量检测课件43张PPT。第二章
解三角形1.1正弦定理课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测相等三角形外接圆的半径[小问题·大思维]
1．正弦定理对于任意的三角形都成立吗？
提示：都成立．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么
a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？
提示：不对．根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. [提示]　(1)由三角形内角和定理可求得C，进而运用正弦定理求a，b.
(2)先运用正弦定理求sin A，再用三角形的性质“大边对大角”确定角A，进而用三角形的内角和定理和正弦定理求B，b.[悟一法]
1．把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程，叫做解三角形．
2．应用正弦定理可解两类三角形
(1)已知两角和任意一边，求第三个角和另外两边；
(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和另外两角．
其中类型(1)只有一解，类型(2)可能有两解、一解或无解． 3．已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数的方法
方法一：应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
方法二：在△ABC中，已知a、b和∠A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，如图，解的个数见下表：(1)∠A为锐角：(2)∠A为直角或钝角：[研一题]
[例2]　已知△ABC中，bsin B＝csin C，且sin2 A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
[提示]　利用正弦定理的变形(如a＝2Rsin A)，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．[悟一法]
1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系，或角与角的关系，从而进行判断．
2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形，等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．[通一类]
2．[例题多维思考]　若将本题条件中“bsin B＝csin C”改为
“sin A＝2sin Bcos C”，其他不变，结果如何？点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件42张PPT。第二章
解三角形1.2余弦定理课前预习·巧设计 名师课堂·一点通创新演练·大冲关读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三课堂强化课下检测[读教材·填要点]
余弦定理其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C[小问题·大思维]
1．在三角形的三条边和三个内角六个元素中，你认为已
知哪些元素利用余弦定理可求得其他元素？
提示：(1)已知两边及其夹角；(2)已知三条边．这两种类型的三角形都可用余弦定理求解．
2．在△ABC中，若b2＋c2提示：∵b2＋c2∴cos A<0，∴△ABC为钝角三角形．3．余弦定理与勾股定理之间有怎样的联系？
提示：在三角形的边角关系中，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．在△ABC中，若∠C为直角，由于cos C＝0，则c2＝a2＋b2，若∠A或∠B为直角，也同样有类似的关系，分别满足余弦定理的三个公式．因此，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．[答案]　D[悟一法]
观察已知条件的特征(含有a2＋c2－b2及ac)，因此利用余弦定理将条件转化，是解答本题的关键，但要注意角的取值范围．[悟一法]
1．应用余弦定理及其变形公式解三角形，其题目类型有
(1)已知两边及其夹角，求第三边和另外两角；
(2)已知三边，求三个内角．
2．已知两边及其中一边的对角解三角形，可直接利用正弦定理求解，也可以先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理的变形公式求另外两角，利用前者求解较方便，但需注意讨论解的情况，利用后者求解，缺点是运算较复杂，但较直接，可避免讨论．答案：120°[悟一法]
余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．[通一类]
4．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝
5∶11∶13，则△ABC (　　)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案：C 在△ABC中，若b2sin2 C＋c2sin2 B＝2bccos Bcos C，
试判断三角形的形状．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件36张PPT。第二章
解三角形§2三角形中的几何计算 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点一考点二考点三课堂强化课下检测[研一题]
[例1]如图，已知在四边形ABCD中，
AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝
60°，∠BCD＝135°，求BC的长． [提示]　在△ABD中，利用余弦定理求BD，进而考虑在△BCD中，运用正弦定理求BC. [自主解答]　设BD＝x.
在△ABD中，由余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
即142＝102＋x2－2×10xcos 60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解之得x1＝16，x2＝－6(舍)，
即BD＝16.[悟一法]
对于三角形中的长度计算，可直接应用正弦定理或余弦定理解答，而有关四边形中的长度计算问题，一般则需要构造三角形，转化为解三角形问题，这时需分析所求长度与三角形的哪几个要素有关，往往是正弦定理与余弦定理的综合应用．[通一类]
1．在ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的
一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求
AB的长．[悟一法]
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．[通一类]
3.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，
AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形ABCD
的面积．[悟一法]
在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量，一般是角，θ，通过正弦定理和余弦定理或其他条件，寻求所需边与θ的关系，从而建立函数关系，转化为三角函数求最值问题加以解决，但求最值时应注意变量θ的取值范围．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测课件40张PPT。第二章
解三角形§3解三角形的实际应用举例 名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点一考点二考点三课堂强化课下检测[悟一法]
1．求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 2．在实际测量距离问题中，常涉及“方位角”与“方向角”的概念，应正确理解并区分这两个概念
(1)方位角：指从正北方向顺时针转
到目标方向线所成的角，如图，B处的方
位角为α.
(2)方向角：指从指定方向线到目标
方向线所成的小于90°的水平角，即为方向角．[通一类]
1．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的
东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离．[研一题]
[例2]　如图，某人在塔底B的正东方向C处沿着南偏西60°的方向前进40 m到D处后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度为多少？2．解决高度计算问题的一般步骤是
(1)根据已知条件画出示意图；
(2)分析与问题有关的三角形；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；
(4)要综合运用立体几何知识与平面几何知识；
(5)注意方程思想的运用．[通一类]
2.如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它
的高度h，在地面上选一基线AB＝20 m，
在A点处测得P点的仰角∠OAP＝30°，
在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，
求旗杆的高度h(结果保留两个有效数字)． [提示]　画出示意图，将问题转化为解三角形，应用正、余弦定理求解．[通一类]
3.如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直
的公路以100 km/h的速度向东匀速行驶．
汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500
km且与海岸距离为300 km的海上M处有
一艘快艇，与汽车同时出发，要把一件重要物品送给这辆汽车的司机，问快艇必须至少以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与OM所成的角．点击下图进入课堂强化点击下图进入课下检测模块综合检测
(时间90分钟　满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．)
1．设0A．a>b　　　　　　　　　 B．aC．a≥b D．a≤b
解析：a＝1＋x＝，
∵1－x2<1，1－x>0，
∴<.
即a答案：B
2．在△ABC中，若b＝2asin B，则A等于(　　)
A．30°或60° B．45°或60°
C．120°或60° D．30°或150°
解析：据正弦定理sin B＝2sin Asin B，∴sin A＝.
∴A＝30°或150°.
答案：D
3．(2012·中山质检)在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，则tan(a4＋a6)＝(　　)
A. B.
C．1 D．－1
解析：由a1＋a5＋a9＝3a5＝，解得a5＝，
∴tan(a4＋a6)＝tan(2a5)＝tan＝.
答案：A
4．(2012·惠州调研)若·＋＝0，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由·＋＝0，得c2＝－ac·cos(π－B)
∴cos B＝，根据余弦定理得＝，整理得a2＝c2＋b2，所以该三角形为直角三角形．
答案：A
5．已知x和y是正整数，且满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为(　　)
A．11.5 B．12
C．13 D．14
解析：画出可行域：如图所示，易得点C的坐标为(3.5，1.5)，过点C时取得最小值，但x，y都是整数，考虑与3.5最接近的整数是4，此时2≤y≤6，
因而，最接近的整数解为(4，2)，
故所求的最小值为14.
答案：D
6．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a10的值是(　　)
A．108 B．81
C．100 D．90
解析：由已知得an＋1－an＝2n，
∴a2－a1＝2×1；a3－a2＝2×2；a4－a3＝2×3，…；
an－an－1＝2×(n－1)；以上各式两端分别相加得
an－a1＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)
∴an＝n(n－1)，a10＝90.
答案：D
7．不等式ax2＋2x＋c>0的解集是(－2，3)，则a＋c的值是(　　)
A．10 B．－10
C．14 D．－14
解析：不等式ax2＋2x＋c>0的解集是(－2，3)，即方程ax2＋2x＋c＝0的解为x＝－2或x＝3
∴∴∴a＋c＝10
答案：A
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)
A. B．1
C．2 D．3
解析：S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d，S2＝a1＋a2＝2a1＋d，
∴－＝(a1＋d)－(a1＋)＝＝1.
∴d＝2.
答案：C
9．(2012·江西师大附中月考)在△ABC中，A＝60°，且角A的角平分线AD将BC分成两段BD、DC，且BD∶DC＝2∶1，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：
在△ABD中由正弦定理得
BDsin B＝ADsin 30°，
在△ACD中由正弦定理得
DCsin C＝ADsin 30°，
∵BD∶DC＝2∶1，
∴sin B∶sin C＝1∶2.
即sin C＝2sin B，
又B＝π－(A＋C)＝
π－(＋C)，
∴sin C＝2sin(＋C)＝cos C＋sin C，
则cos C＝0，C＝.
答案：C
10．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使等差数列{an}前n项和Sn取最大值的正整数n是(　　)
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．8或9
解析：由|a3|＝|a9|得(a1＋2d)2＝(a1＋8d)2，所以a1＝－5d，
又an＝a1＋(n－1)d＝(n－6)d，∵d<0.
∴当n≤6时an≥0.
当n>7时，an<0，所以前5项或前6项的和最大．
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．(2012·泰宁一中检测)设x，y为正实数，且x＋y＝2，则＋的最小值为________．
解析：＋＝(＋)×1＝(＋)·()＝＋＋≥＋2＝，
当且仅当即
时等号成立．
答案：
12.(2012·哈师大附中月考)如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________．
解析：∠ABC＝180°－105°＝75°，
∠BCA＝180°－135°＝45°，∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，又AB＝x，BC＝10，∴＝.
得x＝＝.
答案：
13．在等比数列{an}中，若a9·a11＝4，则数列{logan}的前19项之和为________．
解析：由题意an>0，且a1·a19＝a2·a18＝…＝a9·a11＝a.
又a9·a11＝4，∴a10＝2.
∴a1·a2·a3 … a19＝(a10)19＝219.
∴loga1＋loga2＋…＋loga19＝log(a1a2……a19)＝log219＝－19.
答案：－19
14．不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，
即(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切x∈R恒成立，
若a＋2＝0；则4x－3>0，显然不恒成立，
若a＋2≠0，则即
∴a>2.
答案：(2，＋∞)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
15．(12分)解关于x的不等式x2－x－a(a－1)>0(a∈R)
解：原不等式可以化为：(x＋a－1)(x－a)>0.
若a>－(a－1)，即a>，
则x>a或x<1－a；
若a＝－(a－1)，即a＝，
则(x－)2>0，即x≠，x∈R；
若a<－(a－1)，即a<，
则x1－a.
综上所述，原不等式的解集是：
当a>时，{x|x>a，或x<1－a}；
当a＝时，{x|x≠，x∈R}；
当a<时，{x|x1－a}．
16．(12分)某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
解：设矩形温室的左测边长为a m，后侧边长为b m，则ab＝72，蔬菜的种植面积S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝80－2(a＋2b)≤80－4＝32(m2)，
当且仅当a＝2b，即a＝12，b＝6时，Smax＝32.
答：矩形温室的边长6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.
17．(12分)在△ABC中，角A、B、C成等差数列，并且sin A·sin C＝cos2B，三角形的面积S△ABC＝4，求三边a，b，c.
解：∵角A、B、C成等差数列，
∴A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°.
∴B＝60°.
所以sin Asin C＝cos260°＝.①
又S△ABC＝4＝acsin B，
得ac＝16.②
由①②得：
＝()2＝64＝()2，
所以＝＝8.
由b＝＝8sin B＝8sin 60°＝4，
据cos B＝＝，
∴a2＋c2－b2＝ac，(a＋c)2－b2＝3ac.
∴(a＋c)2＝48＋48＝96.
∴a＋c＝4.③
联立③与②得a＝2(＋)，c＝2(－)，或a＝2(－)，c＝2(＋)．
18．(14分)已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足a2·a3＝45，a1＋a4＝14，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)通过bn＝构造一个新的数列{bn}，是否存在一个非零常数c，使{bn}也为等差数列；
(3)对于(2)中的等差数列{bn}求f(n)＝(n∈N＋)的最大值．
解：(1)∵等差数列{an}中，公差d>0，
∴即
∴
∴d＝4，∴an＝4n－3.
(2)Sn＝＝2n(n－)，
bn＝＝，
当c＝－时，即得bn＝2n，数列{bn}为等差数列，
∴存在一个非零常数c＝－，使{bn}也为等差数列．
(3)f(n)＝＝
＝≤＝，当且仅当n＝，即n＝10时等号成立．∴n＝10时f(n)取最大值.

一、选择题
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．数列a，a，a，…是无穷数列
B．{0，－1，－2，－3}不是数列
C．数列{f(n)}可以看作是一个定义域为正整数N＋或它的有限子集{1,2，…，n}上的函数值
D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
解析：A，D显然正确；对于B，表示的是数的集合，不是数列，故B正确；对于C，∵数列{f(n)}是定义在正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}上的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，∴C不正确．
答案：C
2．(2012·洋浦检测)数列1,0,1,0,1，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：令n＝1，则A中的a1＝0，C中的a1＝－1，D中的a1＝0，B中的a1＝1.
答案：B
3．已知数列{an}的通项公式为an＝cos ，则该数列的首项a1和第4项a4分别为(　　)
A．0,0 B．0,1
C．－1,0 D．－1,1
解析：∵an＝cos
∴a1＝cos ＝0，a4＝cos 2π＝1.
答案：B
4．(2012·楚雄高二检测)在数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则a6＝(　　)
A．13 B.
C. D．11
解析：∵a1＝1，∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，
a6＝.
答案：B
二、填空题
5．已知数列{an}的通项公式为an＝9n()n，则数列前4项依次为________．
解析：a1＝9×＝6，a2＝9×2×()2＝8，
a3＝9×3×()3＝8，a4＝9×4×()4＝.
答案：6,8,8，
6．用火柴棒按图所示的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是____________．
解析：图中三角形的个数分别为1,2,3,4，对应的火柴棒数分别为3,5,7,9，所以an＝2n＋1.
答案：an＝2n＋1
7．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第________项．
解析：令an＝，即＝，解得n＝10或n＝－11舍去．又n∈N＋，则n＝10.
答案：10
8．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋，满足ap＋q＝ap·aq，且a2＝2，则a8＝________.
解析：由题意知，a8＝a4＋4＝a＝(a2＋2)2＝a＝16.
答案：16
三、解答题
9.工厂把所生产的钢管堆放成如图所示的形状．写出自上而下各层钢管数组成的数列，并写出通项公式．
解：由图可知，自上而下各层钢管数组成的数列为：2,3,4,5,6,7,8.
通项公式为an＝n＋1，n∈{1,2,3,4,5,6,7}．
10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
解：(1)设an＝an＋b，
∴a1＝a＋b＝2， ①
a17＝17a＋b＝66. ②
②－①得16a＝64，∴a＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2(n∈N＋)．
(2)令4n－2＝88?4n＝90，
n＝?N＋(舍去)，
∴88不是数列{an}中的项．

1．下列说法不正确的是(　　)
①数列就是数的集合；
②数列中的项不能相等；
③数列的通项公式不唯一；
④数列可以用图像表示．
A．①②　　　　　　　　 B．②③
C．①④ D．①②③④
答案：A
2．(2012·宝鸡市金台区高二检测)数列，，，，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝　　　　　　 B．an＝
C．an＝ D．an＝
答案：C
3．(2012·宁阳高二检测)设数列，，2，，…，则2是这个数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
解析：，，，，…，通项为an＝，令＝2＝，∴n＝7.
答案：B
4．在数列{}中，第6项是________．
解析：可知an＝，∴a6＝＝.
答案：
5．先填空，再写出数列的一个通项公式：
2，________，1，，….
解析：由a1＝2＝，a3＝1＝，a4＝＝，
可知，an＝，∴a2＝＝.
答案：　an＝
6．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n，求a3，a10，a2n－1.
解：分别用3,10,2n－1去代换通项公式中的n得
a3＝(－1)3＝－，
a10＝(－1)10＝，
a2n－1＝(－1)2n－1＝－.

一、选择题
1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图像是(　　)
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
解析：由于n∈N＋，所以{an}的图像是一群孤立的点．
答案：D
2．(2012·福建师大附中高二检测)若数列{an}为递减数列，则它的通项公式可以为(　　)
A．an＝2n＋3 B．an＝－n2＋3n＋1
C．an＝ D．an＝(－1)n
答案：C
3．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}最大项是(　　)
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
解析：∵a1>0，且an＋1＝an，
∴an>0.
又＝<1，
∴an＋1∴此数列为递减数列，最大项为a1.
答案：A
4．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，则该函数的图像是(　　)
解析：由an＋1＝f(an)，an＋1>an，得f(an)>an，即f(x)>x.
答案：A
二、填空题
5．数列{－n2＋12n－7}的最大项为第________项．
解析：令an＝－n2＋12n－7，配方得an＝－(n－6)2＋29.
∴当n＝6时，an最大．
答案：6
6．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则是该数列的第______项，且最大项为第________项．
解析：令an＝，即＝，∴n2＋2n－120＝0，得n＝10或n＝－12(舍去)．
由an＋1－an＝－
＝－<0，
知数列{an}为递减数列，∴最大项为第1项．
答案：10　1
7．已知正项数列{an}，满足an＋1＝，则an与an＋1的大小关系是________．
解析：an＋1－an＝－an＝
∵an>0，∴an＋1－an<0.
答案：an＋18．已知数列{an}的通项公式为an＝，则此数列中的最大项为第______项．
解析：an＝1＋，函数f(x)＝1＋在(0，)及(，＋∞)上都是减函数，所以a1>a2>
a3；a4>a5>a6>…，又a1＝1＋<1，a4＝1＋>1，
即a4为最大项．
答案：4
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．
(1)求证：an>－2；
(2)数列{an}是递增数列，还是递减数列？为什么？
解：(1)证明：an＝f(n)＝＝＝－2＋.
∵n∈N＋，
∴>0.则an＝－2＋>－2.
(2){an}是递减数列．证明如下：
∵an＝，an＋1＝＝，
∴an＋1－an＝－
＝
＝
＝<0.
∴an＋110．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求证：数列{an}是递增数列；
(2)若存在一个正实数M使得|an|≤M对一切n∈N＋都成立，则称数列{an}为有界数列．试判断此数列是否为有界数列，并说明理由．
解：(1)证明：∵an＋1－an＝－
＝＝>0，
∴an＋1>an.即数列{an}是递增数列．
(2)∵|an|＝||＝<1，
∴数列{an}是有界数列．

1．已知数列{an}满足an＋1＝an＋，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　　　　　　　 B．递减数列
C．增减性不确定 D．常数列
解析：an＋1＝an＋?an＋1－an＝>0?an＋1>an，
∴{an}是递增数列．
答案：A
2．递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
解析：∵{an}为递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
答案：C
3．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：an＝－2(n－)2＋.
∵n∈N＋，当n＝7时，an最大，最大值为108.
答案：B
4．若数列{an}的通项公式为an＝(k<0，且k为常数)则该数列是________(填“递增”、“递减”)数列．
解析：＝·＝<1，
∵k<0，∴an<0.
∴an＋1>an.故该数列是递增数列．
答案：递增
5．已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a，b均为正常数，那么 an与an＋1的大小关系是________．
解析：an＋1－an＝－
＝
∵a，b>0，∴an＋1－an>0.即an＋1>an.
答案：an6．写出数列1，，，，，…的通项公式，并判断它的增减性．
解：数列的通项公式为an＝.
又∵an＋1－an＝－
＝<0，
∴an＋1∴{an}是递减数列．

一、选择题
1．已知等差数列{an}的前三项依次为x－2，x,2x＋1，则此数列的通项公式为(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
解析：∵x－2，x,2x＋1是等差数列的前三项，
∴x－(x－2)＝2x＋1－x.即x＝1.
∴a1＝－1，a2＝1，a3＝3.∴d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
答案：B
2．(2012·武州高二检测)设{an}为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为(　　)
①{a}　②{pan}　③{pan＋q}　④{nan}(p、q为非零常数)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①不是等差数列，如令an＝n，则a＝n2，显然1,4,9,16，…不是等差数列，②、③是等差数列，可由等差数列的定义推知．对于④，由于(n＋1)an＋1－nan＝n(an＋1－an)＋an＋1不为常数，所以④也不是等差数列．
答案：B
3．(2012·黄岗高二检测)已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有(　　)
A．a7＋a9＞0 B．a7＋a9＜0
C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0
解析：由题意知，an＝3n－24，
∴a1＝－21，d＝3，a7＋a9＝－21＋3×6＋(－21)＋3×8＝0.
答案：C
4．(2011·四川高考)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
A．0 B．3
C．8 D．11
解析：因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，
故公差d＝＝2.于是b1＝－6，
且bn＝2n－8(n∈N＋)，即an＋1－an＝2n－8，
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
答案：B
二、填空题
5．等差数列{an}中，a2 010＝lg 2，a2 012＝lg 20，则公差d＝________.
解析：2d＝a2 012－a2 010＝lg 20－lg 2＝lg 10＝1，d＝.
答案：
6．在等差数列{an}中，a10＝13，a15＝33，an＝105，则n＝________.
解析：法一：列方程组求首项a1及公差d，再求n.
∵a10＝13，a15＝33，∴
解得
∵an＝a1＋(n－1)d＝105.∴－23＋(n－1)×4＝105，
∴n＝33.
法二：由a15＝a10＋5d得33＝13＋5d，∴d＝4.
又由an＝a10＋(n－10)d＝105，得13＋(n－10)×4＝105，∴n＝33.
答案：33
7．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.则a2 012＝________.
解析：由题意，得解得
∴a2 012＝a1＋2 011d＝1＋2 011×2＝4 023.
答案：4 023
8．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝0，则a70＝________.
解析：由an＋1＝an＋知{an}是以为公差的等差数列，故a70＝a1＋69d＝46.
答案：46
三、解答题
9．在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2){an}中有多少项属于区间[－18,18]?
解：(1)由题意，得an＝a1＋(n－1)d.
∴得a1＝100，d＝－10.
∴通项公式an＝100－10(n－1)＝－10n＋110.
(2)由题意得－18≤－10n＋110≤18，
解得9.2≤n≤12.8，
∵n∈N＋，∴n＝10,11,12.
∴属于区间[－18,18]的项有3项，它们是a10，a11，a12.
10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N＋)确定．
(1)求证：{}是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
解：(1)证明：xn＝f(xn－1)＝(n≥2且x∈N＋)，
∴＝＝＋，
－＝(n≥2且x∈N＋)．
∴{}是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝35.
∴x100＝.

1．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列是(　　)
A．公差为2的等差数列　 B．公差为3的等差数列
C．公差为5的等差数列 D．不是等差数列
解析：可知：an＝2n＋5，则an＋1－an＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N＋)
∴{an}是以2为公差的等差数列．
答案：A
2．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d的值为(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
解析：由已知得
解得a1＝1，d＝－.
答案：B
3．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是(　　)
A．an＝a＋(n－1)d B．an＝a＋(n－3)d
C．an＝a＋2(n－2)d D．an＝a＋2nd
解析：由题意知，该数列的首项为a－2d，公差为2d.
∴an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.
答案：C
4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：法一：由已知得
解得
∴a6＝a1＋5d＝3＋5×2＝13.
法二：由a5＝a2＋6得：d＝＝＝2.
∴a6＝a3＋3d＝7＋3×2＝13.
答案：13
5．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.
解析：法一：由得
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝11＋(n－1)·(－1)＝12－n.
法二：d＝＝＝－1，
∴an＝a4＋(n－4)d＝8－(n－4)＝12－n.
答案：12－n
6．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a15＝33，a61＝217，
∴
解得a1＝－23，d＝4，
∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27.
令an＝153，即4n－27＝153，
解得n＝45，∴153是第45项．

一、选择题
1．(2012·宁阳高二检测)等差数列{an}中，a1＝3，a100＝36，则a3＋a98等于(　　)
A．38 B．36
C．39 D．45
解析：由等差数列的性质知，
a3＋a98＝a1＋a100＝39.
答案：C
2．在等差数列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则其通项公式为(　　)
A．an＝10n＋45 B．an＝6n－24
C．an＝10n－45 D．an＝6n＋24
解析：可知a3＋a12＝a7＋a8，∴a6＝15.又a6＋a8＝2a7，∴3a7＝75，a7＝25.
∴公差d＝a7－a6＝10.
∴an＝a6＋(n－6)d＝15＋10(n－6)
＝10n－45.
答案：C
3．等差数列{an}中，若a1、a2 011为方程x2－10x＋6＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝(　　)
A．10 B．15
C．20 D．40
解析：由题意知，a1＋a2 011＝2a1 006＝10，∴a1 006＝5.
∴a2＋a1 006＋a2 010＝(a2＋a2 010)＋a1 006＝3a1 006＝15.
答案：B
4．(2011·福建三明模拟)数列{an}满足3＋an＝an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－2 B．－
C．2 D.
解析：法一：由已知得{an}是等差数列，公差为d＝3，所以a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36.所以log6(a5＋a7＋a9)＝2.
法二：由已知可得，{an}是以3为公差的等差数列，
由a2＋a4＋a6＝9得：3a4＝9，∴a4＝3.
∴log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log6[3(a4＋3d)]
＝log636＝2.
答案：C
二、填空题
5．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，则这三个数依次是________．
解析：设这三个数分别是a－d，a，a＋d，依题意得：
解得或
∴这三个数为1,5,9或9,5,1.
答案：1,5,9或9,5,1
6．(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝____.
解析：法一：由a3＋a7＝37，得(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝37，即2a1＋8d＝37.
∴a2＋a4＋a6＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋3d)＋(a1＋5d)＋(a1＋7d)＝2(2a1＋8d)＝74.
法二：可知a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝37，
∴a2＋a4＋a6＋a8＝2×37＝74.
答案：74
7．若数列a，x1，x2，b与数列a，y1，y2，y3，b均为等差数列(a≠b)，则＝________.
解析：∵数列a，x1，x2，b与数列a，y1，y2，y3，b均成等差数列．
∴x2－x1＝(b－a)，y3－y2＝(b－a)．
∴＝＝.
答案：
8．(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析：法一：设自上而下各节的容积构成的等差数列为{an}，公差为d，则有
即
解得则a5＝.
法二：设所构成的等差数列为{an}，则
由a7＋a8＋a9＝4得3a8＝4，∴a8＝.
由a1＋a2＋a3＋a4＝3得2(a1＋a4)＝3，∴a1＋a4＝.
∴(a8－7d)＋(a8－4d)＝得d＝.
∴a5＝a8－3d＝－3×＝.
答案：
三、解答题
9．已知，，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，试证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
证明：∵，，成等差数列，
∴＋＝.即＝.
∴b(a＋c)＝2ac.
∴lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)
＝lg[(a＋c)·(a＋c－2b)]
＝lg[(a＋c)2－2b(a＋c)]
＝lg[(a＋c)2－4ac]
＝lg(a－c)2
＝2lg(a－c)
即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．
10.如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.
(1)求AB，BC，CD的长；
(2)以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，
则AB＝x－d，CD＝x＋d.
由题意得
解得或(舍去)．
∴AB＝3 cm，BC＝7 cm，CD＝11 cm.
(2)以AB、BC、CD的长为前三项所构成的等差数列是以3为首项，公差为4的等差数列{an}，
∴a10＝3＋(10－1)×4＝39.∴a＝392＝1 521(cm2)．
所求正方形的面积是1 521 cm2.

1．已知数列{an}，c为常数，那么下列命题正确的是(　　)
A．{an}是等差数列时，{can}不一定是等差数列
B．{an}不是等差数列时，{can}一定不是等差数列
C．{can}是等差数列时，{an}一定是等差数列
D．{can}不是等差数列时，{an}一定不是等差数列
解析：{an}是等差数列时，{can}一定是等差数列；{an}不是等差数列时，{can}可能是等差数列(c＝0时)，故A、B均不正确；c＝0时，选项C也不正确；由等差数列的定义可知D正确．
答案：D
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)
A．40　　　　　　　　 B．42
C．43 D．45
解析：法一：∵a2＋a3＝2a1＋3d＝13，又∵a1＝2，
∴d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.
法二：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，d＝3.
∴a5＝a2＋3d＝14.∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42.
答案：B
3．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：∵m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5.
∴解之得∴＝3.
∴m和n的等差中项为3.
答案：B
4．数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根．若{an}为等差数列，则a5＋a8＝________.
解析：由题意可得a3＋a10＝3，又由等差数列的性质a5＋a8＝a3＋a10.所以a5＋a8＝3.
答案：3
5．等差数列{an}中，a1－a5＋a9－a13＋a17＝20，则a3＋a15＝________.
解析：法一：设数列{an}的公差为d，
则a1－(a1＋4d)＋a1＋8d－(a1＋12d)＋a1＋16d＝20，
即a1＋8d＝20.
∴a3＋a15＝a1＋2d＋a1＋14d＝2(a1＋8d)＝40.
法二：由a1－a5＋a9－a13＋a17＝20及a1＋a17＝a5＋a13
得a9＝20，则a3＋a15＝2a9＝40.
答案：40
6．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
解：法一：设这三个数为a，b，c，则由题意得解得a＝4，b＝6，c＝8.
法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去．
∴这三个数为4,6,8.

一、选择题
1．(2011·江西高考)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18 B．20
C．22 D．24
解析：法一：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，
∴a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
法二：由已知得：10a1＋d＝11a1＋d，
得a1＝－10d＝－10×(－2)＝20.
答案：B
2．(2012·湖南师大附中模拟)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝(　　)
A．－11 B．11
C．10 D．－10
解析：法一：因为Sn＝na1＋d，所以＝a1＋d，
由－＝2，得a1＋d－(a1＋d)＝2，
∴d＝2.∴＝a1＋d＝－11＋5×2＝－1，
∴S11＝－11.
法二：由等差数列的前n项和性质知，{}为等差数列，设其公差为d′，则－＝2d′＝2，∴d′＝1.
∴＝＋(11－1)d′＝－11＋10×1＝－1，
∴S11＝－11.
答案：A
3．(2012·兰州一中高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：a4＋a6＝2a5＝－6，∴a5＝－3.
∴a5－a1＝4d＝－3－(－11)＝8.
∴d＝2>0，∴数列{an}为递增数列．
令an＝a1＋(n－1)d＝－11＋2(n－1)＝0，
得n＝6，∴数列{an}的前6项和最小，故n＝6.
答案：A
4．(2012·宝鸡市金台高二检测)已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A．7 B.
C. D.
解析：＝＝
＝＝＝.
答案：D
二、填空题
5．(2011·湖南高考)设Sn是等差数列{an}(n∈N＋)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.
解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋×2＝25.
答案：25
6．(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝____________.
解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，
得9×1＋d＝4×1＋d，
所以d＝－.又ak＋a4＝0，
所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0.
即k＝10.
答案：10
7．(2012·宿预区高二检测)在等差数列{an}中，a2＋a8＝10，前n项和为Sn，则S9＝________.
解析：S9＝＝(a2＋a8)＝45.
答案：45
8．等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为________．
解析：由等差数列的定义知，{an＋bn}仍是等差数列，设其前n项和为Sn，则S100＝＝＝10 000.
答案：10 000
三、解答题
9．(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.
又k∈N＋，故k＝7为所求结果．
10．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，它的前n 项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
解：在数列{an}中，
∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设公差为d.
由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－2.
∴bn＝an－30＝2n－31.
∴n≤15时，bn<0，n≥16时，bn>0.
由bn＝3n－31得，bn是2为公差，－29为首项的等差数列．
∴{bn}的前15项和的最小为－225.

1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．13
C．14 D．15
解析：由题意，得解得
于是，a7＝a1＋6d＝1＋12＝13.
答案：B
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．42
解析：法一：由得
即解得
∴S6＝6a1＋d＝24.
法二：可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，
∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．
∴S6＝3(S4－S2)＝3×8＝24.
答案：C
3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)
A．138 B．135
C．95 D．23
解析：∵(a3＋a5)－(a2＋a4)＝2d＝6，∴d＝3，a1＝－4.∴S10＝10a1＋＝95.
答案：C
4．已知等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差为________．
解析：法一：设该等差数列为{an}，依题意：
由a1＋a9＝a3＋a7＝2a5和a2＋a10＝a4＋a8＝2a6得：
∴∴公差d＝a6－a5＝4.
法二：由题意得：(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋(a8－a7)＋(a10－a9)＝5d＝30－10＝20，∴d＝4.
答案：4
5．已知数列{an}满足an＝28－2n，则使其前n项和Sn取得最大值的n的值为________．
解析：由an＝28－2n可知，数列{an}为递减等差数列，令an＝0，得n＝14，∴a1>a2>…>a13>a14＝0>a15>…，
故S13＝S14且最大．
答案：13或14
6．已知等差数列{an}，
(1)若a2＋a7＋a12＝21，求S13；
(2)若S15＝75，求a8.
解：(1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，a2＋a7＋a12＝21，
∴3a7＝21.即a7＝7.
∴S13＝＝＝91.
(2)∵S15＝＝＝75，∴a8＝5.

一、选择题
1．(2012·白银市平川高二检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a6＝，则公比q＝(　　)
A. B．－
C．± D．±2
解析：法一：由题意得q4＝，
∴q＝±.
法二：＝q4＝＝，
∴q＝±.
答案：C
2．(2012·禹州市高二月考)已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则＝(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：由题意知，b＝2a，c＝4a，d＝8a.
∴＝＝.
答案：C
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±.又q＞0，所以有q＝1＋，＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案：C
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：∵{an}是等比数列，a5＝－8a2，
∴q3＝＝－8.得q＝－2.
若a1＝1，则a2＝－2，a5＝(－2)4＝16，满足a5>a2，则an＝(－2)n－1；
若a1＝－1，则a2＝2，a5＝－(－2)4＝－16不满足a5>a2，则此种情况不成立．
∴an＝(－2)n－1.
答案：A
二、填空题
5．等比数列{an}中，a4＝24，a6＝96，若an＝768，则n＝________.
解析：由已知得＝q2＝4，∴an＝a4·qn－4＝24qn－4＝768，qn－4＝32＝25.
当q＝2时，n＝9；当q＝－2时无解．
答案：9
6．(2012·北京宣武模拟)设a1＝1，数列{2an－1}是公比为－2的等比数列，则a6＝________.
解析：2a6－1＝1×(－2)6－1＝－32，
∴a6＝－.
答案：－
7．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
解析：设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
∵1＋3d＝4，∴d＝1.∴a1＝2，a2＝3.
∵q4＝4，∴q2＝2.∴b2＝q2＝2.
∴＝＝.
答案：
8．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝32，则＝________.
解析：∵a3a5a7a9a11＝aq30＝(a1q6)5＝a＝32，
∴a7＝2.则＝＝a1q6＝a7＝2.
答案：2
三、解答题
9．(2011·宿州高二检测)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．
解：(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，
则有解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
10．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：数列{an－}是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
解：(1)根据根与系数的关系，得
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3，
∴an＋1＝an＋.
(2)证明：∵an＋1＝an＋，
∴an＋1－＝(an－)，
若an－＝0，则an＋1＝，此时方程x2－x＋1＝0无实根．∴an－≠0.
∴数列{an－}是以为公比的等比数列．
(3)当a1＝时，a1－＝，
故数列{an－}是以首项为a1－＝，公比为的等比数列，
∴an＝＋()n.

1．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是(　　)
A．1　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：依题意，首项a1＝，公比q＝＝3－，
∴a4＝a1·q3＝×(3－)3＝1.
答案：A
2．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：原式＝＝＝＝.
答案：A
3．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是它后面两项的和，则其公比为(　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意，a1＝a2＋a3，∴a1＝a1q＋a1q2.
∵a1≠0，∴q2＋q－1＝0，得q＝，
又该数列的各项均为正数，
∴q＝.
答案：D
4．若等比数列{an}中，a3＝3，a5＝27，则此数列的通项公式是________．
解析：∵＝q2＝9，∴q＝±3.
∴an＝a3·qn－3＝3·(±3)n－3.
∴an＝3n－2或an＝(－1)n－3·3n－2.
答案：an＝3n－2或an＝(－1)n－3·3n－2
5．已知数列{an}满足a1＝，3an＝2an－1(n≥2)，则a10＝________.
解析：由已知得＝(n≥2)，
∴{an}是以为公比的等比数列，
∴a10＝a1·q9＝×()9＝()8.
答案：()8
6．已知三个数成等比数列，它们的积为64，和为14，求这三个数．
解：设这三个数分别为，a，aq，
由已知得
∴
得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或，
故所求的三个数为2,4,8或8,4,2.

一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝，a1＝－，则数列{an}是(　　)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．既不是递增数列也不是递减数列
解析：an＝a1·qn－1＝－·()n－1＝－2·()n，由指数函数y＝()x的单调性可知，{an}一定是递增数列．
答案：A
2．(2012·厦门一中高二检测)在正项等比数列{an}中，a3·a5＝4，则a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7＝
(　　)
A．64 B．128
C．256 D．512
解析：由等比数列的性质知，
a1·a7＝a2·a6＝a3·a5＝a＝4.
∵数列{an}的各项均为正数，
∴a4＝2.
∴原式＝a4·(a)3＝a＝27＝128.
答案：B
3．(2012·锦州模拟)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
答案：D
4．已知等比数列{an}满足an>0(n∈N＋)，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析：由a5·a2n－5＝22n得，a＝22n，∵an>0，
∴an＝2n，log2an＝n.
∴log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1
＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
答案：C
二、填空题
5．(2012·白银市平川高二检测)已知a，b，c成等比数列，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的个数是________．
解析：二次函数f(x)的图像与x轴交点的个数即是方程ax2＋bx＋c＝0的个数，∵a、b、c成等比数列，
∴b2＝ac.
∴Δ＝b2－4ac＝－3b2<0.∴二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，故函数f(x)的图像与x轴无交点．
答案：0
6．在等比数列中a4·a7·a13·a16＝625，则a10＝________.
解析：a4·a7·a13·a16＝a·a＝625，
∴a10＝－5或a10＝5.
答案：±5
7．在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________．
解析：由已知得a＝3，a＝24，∴a9·a10·a11＝a＝()3＝＝＝192.
答案：192
8．{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
解析：{an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为d.∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，
∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)，
整理可得d＝－a1.设数列{bn}的公比为q，
则q＝＝＝.
∴bn＝b1qn－1＝3×()n－1.
答案：3×()n－1
三、解答题
9．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加的台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月的产量正好成等比数列．而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台．问该厂第一季度实际生产微机多少台？
解：根据已知，可设该厂第一季度原计划三个月生产微机台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，则实际上三个月生产微机台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25.
由题意得
解得
故(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)．
所以该厂第一季度实际生产微机305台．
10．设数列{an}是等差数列，bn＝()an，已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．
解：法一：设数列{an}的公差为d，则＝＝()d.
∵()d为非零常数，∴数列{bn}是等比数列．设公比为q，
∵b1＋b2＋b3＝，b1·b2·b3＝，
∴解得b2＝，q＝或q＝4.
当q＝4时，b1＝，
bn＝b1·qn－1＝×4n－1＝5－2n.
又bn＝an，∴an＝5－2n.
当q＝时，b1＝2，bn＝2n－3.
又bn＝an，∴an＝2n－3.
故an＝5－2n或an＝2n－3.
法二：由法一知，数列{bn}是等比数列，设公比为q，则q＝()d>0
∴b1·b2·b3＝b＝，∴b2＝，
∵b1＋b2＋b3＝.
∴b1＋b3＝.又b1·b3＝，
∴b1，b3是方程x2－x＋＝0的两根．解方程得x1＝，x2＝2，
∴b1＝，b3＝2或b1＝2，b3＝，
∴q2＝＝16或.
∴q＝4或.
(以下同解法一，略)．

1．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4　　　　　　　　 B．4
C．± D.
解析：由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.
答案：A
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1.则a1＝(　　)
A. B.
C. D．2
解析：∵a3·a9＝2a＝a，∴＝.
又a2＝1＝a1·，∴a1＝.
答案：B
3．某种产品平均每三年降价，目前售价为640元，则9年后此产品的价格为(　　)
A．210元 B．240元
C．270元 D．360元
解析：依题意，9年后此产品的价格为640×(1－)3＝270(元)．
答案：C
4．在1与25之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的这三个数为________．
解析：设插入的这三个数为a，b，c，则b2＝1×25＝25.
a2＝1·b＝b>0，∴b＝5.∴a＝±.又c2＝25b＝125.
∴c＝±5.由b2＝ac>0知，a、c同号．
∴a＝，b＝5，c＝5或a＝－，b＝5，c＝－5.
答案：，5,5或－，5，－5
5．等比数列{an}中，若a4a6a8＝－125，则a2a10＝________.
解析：∵a4a6a8＝a＝－125，∴a6＝－5.
∴a2a10＝a＝25.
答案：25
6．已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0.若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列．
证明：设等差数列的公差为d，
∵a，b，c成等差数列，且d≠0，
∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0.
代入已知条件得－d(logmx－2logmy＋logmz)＝0，
∴logmx＋logmz＝2logmy.即logm(xz)＝logmy2.
∴y2＝xz.即x，y，z成等比数列．

1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．－4
C．2 D．－2
解析：∵＝44，
∴a1·＝44.
即a1＝4.
答案：A
2．在等比数列{an}(n∈N＋)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项的和为(　　)
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
解析：q3＝＝，∴q＝.
∴S10＝＝＝2－.
答案：D
3．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：an＝a1·qn－1?96＝3·qn－1，
∴qn－1＝32.
Sn＝＝＝189，＝63.
解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
4．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项的和为________．
解析：当q＝1即a＝1时，Sn＝n，
当q≠1即a≠1时，Sn＝＝.
答案：Sn＝
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
解析：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．
∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，由＝3，得：S6＝3S3.
∴(2S3)2＝S3·(S9－3S3)，S9＝7S3.
∴＝＝.
答案：
6．某商场今年销售计算机5 000台．如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销量达到30 000台(lg 1.6≈0.2，lg 1.1≈0.04)?
解：根据题意，每年比上一年销售量增加10%，
所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000，
由等比数列前n项和公式得＝30 000，
整理，得1.1n＝1.6.
两边取对数，得nlg 1.1＝lg 1.6.
∴n＝≈＝5(年)．
故大约5年可使总销量达到30 000台．

一、选择题
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝(　　)
A．33 B．72
C．84 D．189
解析：∵a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，
∴1＋q＋q2＝7.即q2＋q－6＝0.
又∵an>0，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)·q2＝21×4＝84.
答案：C
2．(2011·浙江名校联盟模拟)正项等比数列{an}中的前n项和为Sn，且a4＝8，S4－S1＝38，则公比等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：设首项为a1公比为q，由a4＋a3＋a2＝38，且a4＝8，得a3＋a2＝30，
∴a1q3＝8，a1q(1＋q)＝30.解得a1＝27，q＝.
答案：D
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)
A．－3 B．5
C．－31 D．33
解析：∵S3＝2，S6＝18，
∴＝，
∴＝，即q3＝8.∴q＝2.
∴＝＝1＋q5＝33.
答案：D
4．(2011·温州市八校联考)已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于(　　)
A．50 B．70
C．80 D．90
解析：法一：设等比数列的公比为q，由已知得：
?q3＝.
∴S9＝＝·(1＋q3＋q6)
＝S3·(1＋q3＋q6)＝40×(1＋＋)＝70.
法二：可知S3＝40，S6－S3＝20，∴S6＝60.
∵{an}为等比数列．
∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
∴(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，
即202＝40(S9－60)得S9＝70.
答案：B
二、填空题
5．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：a4＝a1()3＝a1，S4＝＝a1，
∴＝15.
答案：15
6．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2.等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝ ×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.
答案：－2　2n－1－
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a2＝2，a1a5＝16，则S5＝________.
解析：因为a1a5＝a＝16，故a3＝4，再由a2＝2可得a1＝1，q＝2，故S5＝＝31.
答案：31
8．(2012·中山一中高二期中)等比数列{an}中，公比q＝， 且log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝55，且a1＋a2＋…＋a10＝________.
解析：由已知得，log2(a1a2…a10)＝55，
∴a1·a2·…·a10＝255.
∴(a1·a10)5＝255.
∴a1·a10＝211.即a·q9＝211
∴a＝220，得a1＝210.
∴a1＋a2＋…＋a10
＝＝＝211－2.
答案：211－2
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.
解：由等比数列性质知a1an＝a2an－1＝128，
联立方程组
∴a1，an为方程x2－66x＋128＝0的两根，
又由此方程两根分别为2,64，
∴或
当a1＝64，an＝2时，又∵Sn＝＝126，得q＝，
又由an＝a1·qn－1，即2＝64·qn－1＝64·()n－1，
∴n＝6；
当a1＝2，an＝64，又∵Sn＝＝126，得q＝2，
又由an＝a1·qn－1，即64＝2·2n－1，得n＝6.
综上知n＝6，q＝或2.
10．(2012·长沙重点中学联考)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汏一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；
(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．
解：(1)设an、bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．
所以数列{an}的前n项和Sn＝＝256[()n－1]，数列{bn}的前n项和Tn＝400n＋＝a.
所以经过n年，该市更换的公交车总数
S(n)＝Sn＋Tn＝256[()n－1]＋400n＋a.
(2)若用7年的时间完成全部更换，则S(7)≥10 000，
即256[()7－1]＋400×7＋a≥10 000，
即21a≥3 082，
所以a≥.
又a∈N＋，所以a的最小值为147.

一、选择题
1．某工厂2011年底制定生产计划，要使工厂的年产值到2021年在原有基础上翻两番，则年总产值的平均增长率为(　　)
A．4－1 B．5－1
C．3－1 D．4－1
解析：设年总产值的平均增长率为x,2011年底的年产值为a，则2012年、2013年，…，2021年的年产值分别为a(1＋x)，a(1＋x)2，…，a(1＋x)10，令a(1＋x)10＝4a，得x＝4－1.
答案：A
2．某钢厂的年产量由2000年的75万吨增加到2010年的90万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2020年的年产量将达(　　)
A．102万吨 B．105万吨
C．108万吨 D．110万吨
解析：设年增长率为x，则由条件可知，各年产量成等比数列，记为{an}，设2001年产量为a1＝75(1＋x)，则a10＝75·(1＋x)10＝90，∴(1＋x)10＝，则2020年的年产量为a20＝a10(1＋x)10＝90(1＋x)10＝108(万吨)．
答案：C
3．已知甲、乙两间工厂的月产值在2011年元月份时相同，甲工厂以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙工厂以后每个月比前一个月产值增加的百分比相同，到2011年11月份发现两间工厂的月产值又是相同的．现比较甲、乙两间工厂2011年6月份的产值，则有(　　)
A．甲的产值小于乙的产值
B．甲的产值等于乙的产值
C．甲的产值大于乙的产值
D．不能确定
解析：不妨设2011年元月份甲、乙两间工厂的产值均为a，甲工厂以后每个月比前一个月增加的产值为d(d>0)，乙工厂以后每个月比前一个月产值增加的百分比为q(q>0)，则由题意得a＋10d＝a(1＋q)10.易知甲、乙两间工厂6月份的产值分别为a＋5d、a(1＋q)5＝a·＝.又答案：C
4．一父母为了给他们的孩子准备上大学的费用，从婴儿一出生就到银行存入一笔钱，以后每年生日都到银行储存相同数目的钱，假设大学学费4年共需4万元，若银行储蓄年利率为2%，每年按复利计算，为使孩子到十八周岁上大学时本金和利息共有4万元，则父母每年至少应存入(　　)
(参考数值：1.0217≈1.400,1.0218≈1.428,1.0219≈1.457)
A．1 716元 B．1 960元
C．1 831元 D．1 869元
解析：设每年存入的钱为a元，依题意得：
a(1＋2%)18＋a(1＋2%)17＋…＋a(1＋2%)＝40 000
∴a·＝a·
＝50a×0.437＝40 000，得a≈1 831.
答案：C
二、填空题
5．某种产品计划每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是________．
解析：设现在的成本是x，则
x(1－q%)3＝a，∴x＝.
答案：
6．银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于________．
解析：设储户开始存入的款数为a，由题意得，
a(1＋3q)>a(1＋r)3，∴q>[(1＋r)3－1]．
答案：[(1＋r)3－1]
7．某人从1月起每月的第一天存入100元，到下一年1月第一天取出全部本金和利息，已知月利率为0.165%(按单利计息)，那么实际取出________元．
解析：第1个月存款利息：100×12×0.165%，
第2个月存款利息：100×11×0.165%，
…
第12个月存款利息：100×1×0.165%.
∴所有利息为：100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋11＋12)＝100×0.165%×＝12.87.
故实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元)．
答案：1 212.87
8．某厂为试制新产品，需增加某些设备，若购置这些设备，需一次付款25万元，若租赁这些设备，每年初需付租金3.3万元，已知一年存款的年利率为2.55%(按复利计息)，则选用________(方案更好)(设备寿命为10年)．
解析：法一：若购置设备，则25万元10年后的价值为25(1＋2.55%)10≈32.159(万元)，若租赁设备，每年初付租金3.3万元，10年后的总价值为3.3(1＋2.55%)10＋3.3(1＋2.55%)9＋…＋3.3(1＋2.55%)≈38.001(万元)．
∴购置设备的方案较好．
法二：租赁设备时10年所付租金和相当于目前的：
3．3＋＋＋…＋
≈29.542(万元)，比购置设备一次付25万元多．
故购置设备的方案较好．
答案：购置设备
三、解答题
9．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an和bn的表达式．
解：第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…，第n年的投入为800×(1－)n－1万元．
所以，n年内的总投入为
an＝800＋800×(1－)＋…＋800×(1－)n－1
＝800[1＋(1－)＋…＋(1－)n－1]
＝4 000×[1－()n]．
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1＋)万元，…，第n年旅游业收入为400×(1＋)n－1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)n－1
＝400[1＋(1＋)＋…＋(1＋)n－1]
＝1 600×[()n－1]．
10．(2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．
解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×()n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an＝
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，由于S6＝570，
故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)
＝570＋70××4×[1－()n－6]
＝780－210×()n－6，
An＝.
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．
又A8＝＝82＞80，
A9＝＝76＜80，
所以须在第9年初对M更新．

1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)
A．6秒钟　　　　　　　　 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
解析：依题意，得1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，
∴≥100.
∴2n≥101.∴n≥7.
则所求为7秒钟．
答案：B
2．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是(　　)
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
解析：因a1＝26 ℃，an＝14.1 ℃，d＝－0.7 ℃.
∴an＝a1＋(n－1)d.∴14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)．
∴n＝18.∴其高度为(18－1)×100＝1 700.
答案：C
3．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为(　　)
A．a(1＋r)7 B.[(1＋r)7－(1＋r)]
C．a(1＋r)8 D.[(1＋r)8－(1＋r)]
解析：2014年1月1日，2013年1月1日，…，2009年1月1日存入钱的本息分别为：a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加求和得B答案．
答案：B
4．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：
存期
1年
2年
3年
5年
年利率(%)
2.25
2.4
2.73
2.88
某人在该段时间存入10 000元，存期两年，则到期时的本利和为________元．
解析：由已知得：10 000×(1＋2×2.4%)＝10 480(元)．
答案：10 480
5．某工厂的生产总值月平均增长率为p，则该厂的年平均增长率为________．
解析：设第一年各月份的产值依次为a1，a2，……a12，则第二年各月份产值依次为a1(1＋p)12，a2(1＋p)12，……a12(1＋p)12，第一年的年产值S＝a1＋a2＋…＋a12.
第二年的年产值S′＝a1(1＋p)12＋a2(1＋p)12＋…a12(1＋p)12
年平均增长率＝＝(1＋p)12－1
答案：(1＋p)12－1
6．李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，共存三年.
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息多少元？
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收入多少元？
解：(1)依题意：100×36＋100×2.7‰×
＝3 779.82(元)
(2)100×36＋100×1.725‰×
＝3 714.885
3 779.82－3 714.885＝64.935
答：“教育储蓄”一次支取本息3 779.82元，比“零存整取”多收益64.935元．

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a－1(n∈N＋)，则a2 012＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．0
C．－1 D．2 012
解析：由a1＝1，an＋1＝a－1，依次可得a2＝a－1＝0，a3＝a－1＝－1
a4＝a－1＝0，a5＝a－1＝－1.
…
故a2 012＝0.
答案：B
2．(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：法一：由得∴a1＝0，d＝2
∴a10＝a1＋9d＝18.
法二：d＝a3－a2＝2，∴a10＝a2＋(10－2)d＝18.
答案：D
3．等比数列中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列的通项公式为(　　)
A．an＝24－n　　　　　　　 B．an＝2n－4
C．an＝2n－3 D．an＝23－n
解析：设公比为q，由已知得
即?q3＝，
∴q＝.∴a1＝8.
∴an＝a1·qn－1＝8×()n－1＝24－n.
答案：A
4．(2012·成都模拟)已知数列的前n项和为Sn，n∈N＋，若2(Sn＋1)＝3an，则＝(　　)
A．9 B．3
C. D.
解析：∵2(Sn＋1)＝3an①，
∴2(Sn＋1＋1)＝3an＋1②.②－①得：2(Sn＋1－Sn)＝3an＋1－3an，∴2an＋1＝3an＋1－3an.
∴an＋1＝3an.
∴数列是以3为公比的等比数列．
∴＝＝q＝3.
答案：B
5．(2012·海淀区模拟)已知数列为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝(　　)
A．10 B．16
C．20 D．24
解析：由已知得S3＝3a1＋d＝6＋3d＝12，
∴d＝2.
∴S4＝4a1＋d＝8＋6×2＝20.
答案：C
6．(2012·甘肃诊断)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由等差数列的性质可知，a2＋a8＝2a5.
∴S5＝3(a2＋a8)＝6a5.又S5＝＝5a3，
∴6a5＝5a3，∴＝.
答案：A
7．(2012·珠海检测){an}是等比数列，{lg an}成等差数列，公差d＝lg 3，且{lg an}的前三项和为6lg 3，则{an}的通项为(　　)
A．nlg 3 B．3n
C．3n D．3n－1
解析：依题意有3lg a1＋3lg 3＝6lg 3，所以a1＝3.设等比数列{an}的公比为q，则q＝，所以lg q＝lg a2－lg a1＝d＝lg 3.
∴q＝3.∴an＝3·3n－1＝3n.
答案：B
8．(2012·兰州一中高二检测)在1与3之间插入8个数，使这十个数成等比数列，则插入的这8个数之积为(　　)
A．3 B．9
C．27 D．81
解析：设该等比数列为{an}，则a1＝1，
a10＝3，∵a1·a10＝a2a9＝a3a8＝…＝a5a6，
∴a2a3…a9＝(a1a10)4＝34＝81.
答案：D
9．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为(　　)
A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2
C．2n－n D．2n
解析：∵an＝2n－1，
∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.
答案：B
10．(2012·丰台模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 011＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：由an＝1－及a1＝得a2＝－，a3＝，a4＝，a5＝－，…，所以数列中的项呈周期出现，周期为3，于是a2 011＝a670×3＋1＝a1＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝________.
解析：由已知得3(S3－S2)＝a4－a3，
即3a3＝a4－a3.
∴4a3＝a4，＝4＝q.
答案：4
12．(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
解析：根据已知条件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，而由等差数列性质得，a3＋a6＝a4＋a5，所以，a4＋a5＝0，又a4＝1，所以a5＝－1.
答案：－1
13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝p·5n－1－，则实数p的值为________．
解析：Sn＝p·5n－1－＝·5n－，由等比数列的前n项和公式Sn＝＝－·qn＋
可知：＝－(－)，∴p＝.
答案：
14．(2011·福建高考)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及实数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a). 这里，x被称为乐观系数．
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
解析：根据题目条件可知，c－a＝x(b－a)，b－c＝b－a－(c－a)＝(1－x)(b－a)，最佳乐观系数满足：c－a是b－c和b－a的等比中项，所以有[x(b－a)]2＝(1－x)(b－a)(b－a)，又因为(b－a)＞0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0.解得x＝，又0＜x＜1，所以x＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)(2012·福州市高二检测)等差数列{an}中，已知a1＝3，a4＝12，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a4分别为等比数列{bn}的第1项和第2项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，
由已知有
解得d＝3，
∴an＝3＋(n－1)3＝3n.
(2)由(1)得a2＝6，a4＝12，则b1＝6，b2＝12，
设{bn}的公比为q，则q＝＝2，
从而bn＝6·2n－1＝3·2n，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6(2n－1)．
16．(12分)(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．
解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列．其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.
(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2，
所以S1＋＝，＝＝2.
因此{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列．
17．(12分)(2011·新课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．
解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝
－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2(－)．
＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.
所以数列{}的前n项和为－.
18．(14分)某地区在占地3 250亩的荒山上建造森林公园，2012年春季开始当年植树100亩，以后每年春季都比上一年多植树50亩，直到荒山全部被绿化为止．
(1)问哪一年春季才能将荒山全部绿化完？
(2)如果新植的树木每亩木材量为2 m3，树木的每年自然增长率为20%，那么全部绿化完时该森林公园的木材总量是多少？(精确到1 m3，计算时1.29≈5.16)
解：(1)可知，从2012年起，每年的植树量构成等差数列，记为{an}，则：a1＝100，d＝50，
∴Sn＝na1＋d＝25n2＋75n.
令Sn＝3 250，即25n2＋75n＝3 250.
亦即n2＋3n－130＝0.
∴(n＋13)(n－10)＝0.
∵n>0，∴n＝10.
故当n＝10，即到2021年春季时，才能将荒山全部绿化完．
(2)设从2012年开始，第n年春季木材量为Tn，则：
T10＝2a1×1.29＋2a2×1.28＋…＋2a9×1.2＋2a10
1．2T10＝2a1×1.210＋2a2×1.29＋…＋2a9×1.22＋2a10×1.2
两式相减得：
0．2T10＝100×(7×1.210－17)，
∴T10＝100(42×1.29－85)≈13 172(m3)
故全部绿化完时该森林公园的木材总量约为13 172 m3.

一、选择题
1．不在3x＋2y<6表示的平面区域内的点是(　　)
A．(0，2) B．(0，0)
C．(1，1) D．(2，0)
解析：逐个代入验证，D中(2，0)代入得左边＝6，因为6<6不成立．
答案：D
2．(2012·福建师大附中检测)不等式组围成的三角形的面积为1，则a的值为(　　)
A．2 B．±2
C．1 D．±1
解析：由题意结合不等式组表示的平面区域，可得a>0且×a×＝1得a＝2.
答案：A
3．原点和点(1，1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C．(0，2) D．[0，2]
解析：由题意得(－a)(1＋1－a)<0，即a(a－2)<0.
∴0答案：C
4．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是
(　　)
解析：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?
或
结合图形可知选C.
答案：C
二、填空题
5．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是________．
解析：点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)
由题意知解之得答案：(，)
6．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
解析：由题意知点(x，y)的坐标应满足
由图可知，整数点有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)6个．
答案：6
7．不等式组所表示的平面区域的面积是________．
解析：平面区域如图，
解得A(1，1)．易得
B(0，4)，C(0，)，|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
答案：
8．(2012·安溪高二检测)设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D内的点，则a的取值范围是________．
解析：画出可行域如图阴影部分，易知a∈(0，1)时不合题意，故a>1.
两直线的交点为A(2，9)．
由图像可知，当y＝ax通过该交点A时，a取最大值，
∴f(2)＝a2＝9，a＝3.
故a∈(1，3]．
答案：(1，3]
三、解答题
9．已知x，y，2－x－y是三角形的三边长，求点P(x，y)所在的平面区域的面积．
解：由题意得
即
作出不等式组表示的平面区域如图中△ABC其面积S△ABC＝.
10．(2012·禹州高二检测)一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A需要10 min打磨，6 min着色，6 min上漆；桌子B需要5 min打磨，12 min着色，9 min上漆．如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min，着色每天至多工作480 min，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围．
解：设家具厂每天生产A类桌子x张，B类桌子y张．对于A类x张桌子需要打磨10x min，着色6x min，上漆6x min；对于B类y张桌子需要打磨5y min，着色12y min，上漆9y min.而打磨工人每天最长工作时间是450 min，
所以题目中包含的限制条件为
上述条件表示的平面区域如下图的阴影部分所示，每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点．

1．不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的(　　)
A．右上方　　　　　　　　 B．右下方
C．左上方 D．左下方
解析：将特殊点(0，0)代入式子x－2y＋6得6>0，故x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．
答案：C
2．下列二元一次不等式组中，能表示图中阴影部分的是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：三条边界直线的方程分别为y＝－1，x＝0，2x－y＋2＝0排除选项A，B；在平面区域内取点(0，1)检验，可排除D.
答案：C
3．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(　　)
A．3 B．6
C. D．9
解析：平面区域如图阴影部分所示，
平面区域是△ABC，且A(－2，2)，B(1，5)，C(1，－1)，则BC边上的高h＝3，|BC|＝6，所以平面区域的面积是S＝×3×6＝9.
答案：D
4．点(1，2)与点(－3，4)在直线x＋y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意，得(1＋2＋a)(－3＋4＋a)<0，解不等式，得－3答案：(－3，－1)
5．用三条直线x＋2y＝2，2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式(组)表示为________．
解析：先作出三条直线(虚线)，取三角形内一点(，0)检验可得相应不等式组．
答案：
6．画出不等式组表示的平面区域．
解：在直角坐标系中分别画出不等式2x－y＋5≥0，x＋y≥0，x－y≤3表示的平面区域，如图所示，其中阴影部分就是不等式组表示的平面区域．

一、选择题
1．(2012·西安中学月考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：在坐标系中作出约束条件所表示的可行域为图中△ABC，其中A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)则目标函数z＝2x＋y在B(1，1)处取得最小值，最小值为3.
答案：B
2．(2012·山东省实验中学检测)已知实数x，y满足若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：
作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值，又kBC＝－1，kAB＝1，
l0：ax＋y＝0的斜率为－a，
∴－1≤－a≤1.即－1≤a≤1.
答案：C
3．(2012·广东五校联考)当点M(x，y)在如图所示的△ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1，2)则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B．[－1，1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，1)
解析：由目标函数z＝kx＋y及图形可知，要使z取得最大值的一个最优解为(1，2)，则－1≤－k≤1
∴k∈[－1，1]．
答案：B
4．设实数x，y满足则u＝的取值范围是(　　)
A．[2，] B．[2，]
C．[，] D．[，4]
解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)．由于u＝＝＋，令t＝，则u＝t＋，t＝表示P(x，y)与原点连线的斜率，M(3，1)，N(1，2)由图形可知，kOM≤t≤kON，而kOM＝，kON＝2，所以≤t≤2，从而2≤t＋≤.
答案：B
二、填空题
5．(2012·厦门一中检测)已知x，y满足不等式组且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝________．
解析：
依题意可知a<1，作出可行域如图所示．z＝2x＋y在A点和B点处取得最小值和最大值．
由得A(a，a)
由得B(1，1)
∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝3a.∴a＝.
答案：
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
解析：可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线2x－y＝z经过可行域内的点A(1，0)时，z取最大值，zmax＝2.
答案：2
7．(2012·淮南高二检测已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5，1)与点B(1，2)的距离最大，所以|MN|的最大值为.
答案：
8．(2012·禹州检测)设z＝x＋y，其中x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为________．
解析：如图，x＋y＝6过点A(k，k)，则k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上,又B(－6，3)∴zmin＝－6＋3＝－3.
答案：－3
三、解答题
9．(2012·锦州调研)若x、y满足条件求z＝x－2y的最小值．
解：根据条件作出可行域如图所示
解方程组得A(2，8)．
作直线l0：x－2y＝0，并向上平移至过点A(2，8)时，z取得最小值
zmin＝2－2×8＝－14.
10．已知x、y满足约束条件求的取值范围．
解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．
设k＝，因为＝，表示平面区域内的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，
由图可知kPA最小，kPC最大，而A(5，0)、C(0，2)，则kPA＝＝，kPC＝＝3，所以k∈[，3]，
即的取值范围为[，3]．

1．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是(　　)
A．90　　　　　　　　 B．80
C．70 D．40
解析：目标函数为z＝3x＋2y，可行域如图所示，作出直线3x＋2y＝0，通过平移可知，直线经过A点时，z取得最大值.
解方程组得
∴A(10，20)．∴zmax＝3×10＋2×20＝70.
答案：C
2.若实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：实数x、y满足的相关区域如图中的阴影部分所示．
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0，0)连线的斜率，由图可知，的取值范围为(1，＋∞)．
答案：C
3．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m等于
(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：如图，设x＋y＝9，显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0的交点处满足要求，解得此时x＝4，y＝5，即点(4，5)在直线x－my＋1＝0上，代入得m＝1.
答案：C
4．设变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最小值为________．
解析：作出可行域如图阴影部分所示．可知当x－3y＝z经过点A(－2，2)时，z有最小值，z的最小值为－2－3×2＝－8.
答案：－8
5．设实数x，y满足条件则的最大值为________．
解析：画出平面区域，如图所示．
的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率，易知在点A(2，1)处取得最大值．
答案：
6．若求目标函数z＝x＋3y的最大值与最小值．
解：满足的可行域如图所示，作出直线x＋3y＝0，通过平移直线可知当直线过点A(2，2)时，z取最小值，zmin＝2＋3×2＝8，
过点B(2，4)时，z取最大值zmax＝2＋3×4＝14，
∴z＝x＋3y的最大值为14，最小值为8.

一、选择题
1．有5辆载重为6吨的汽车，4辆载重为4吨的汽车，要运送最多的货物，设要完成这项运输任务需载重为6吨的汽车x辆，载重为4吨的汽车y辆，运送的货物为z吨．完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
答案：A
2．(2012·兰州检测)某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是(　　)
A．80 B．85
C．90 D．95
解析：
画出不等式组
表示的平面区域如图．
由可知A(，)．
而由题意知x和y必须是整数．
直线z＝10x＋10y由经过A点的位置向下平移经过的第一个整点为(5，4)
∴z＝10x＋10y的最大值为90
答案：C
3．(2012·衡阳月考)甲、乙、丙三种食物维生素A、维生素D的含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
60
70
40
维生素D(单位/千克)
80
40
50
成本(元/千克)
11
9
4
某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D，则成本最低为
A．84元　　　　　　　　 B．85元
C．86元 D．88元
解析：设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克，混合食物的成本为p元，则z＝10－x－y，p＝11x＋9y＋4z＝11x＋9y＋4×(10－x－y)＝7x＋5y＋40，由题意可得：
即
作出可行域(如图)，当直线p＝7x＋5y＋40经过点A时，它在y轴上的截距最小，即p最小，解方程组得x＝5，y＝2，故点A的坐标为(5，2)，所以pmin＝7×5＋5×2＋40＝85.
答案：B
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(　　)
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料(x，y∈N)，甲、乙两车间每天总获利为z元．
依题意得
z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，
画出可行域如图阴影部分，
联立?
知z在A点取得最大值．
答案：B
二、填空题
5．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：　
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y，
由得
可行域如图中阴影部分所示：
记P(1，2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取得最小值15.
答案：15
6．(2012·上冈检测)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．
解析：设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，此时可获得利润z万元，则z＝0.4x＋0.6y，作出可行域，如下图的阴影部分所示．
作直线l：2x＋3y＝0，将其向上平移，可知当经过A点时，z取得最大值，由得A(24，36)．
∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.
答案：31.2
7．(2012·广元质检)毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
解析：设租大船x只，小船y只(x，y∈N)
则租金z＝12x＋8y，
作出可行域如图：
由图可知，当直线z＝12x＋8y经过点(9.6，0)时，z取最小值，但x，y∈N∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.
答案：116
8．某工厂生产甲、乙两种产品，生产每一吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示：
品种
电力(千瓦时)
煤(吨)
劳动力(人)
产值(千元)
甲
2
3
5
7
乙
8
5
2
10
该厂的劳动力满足200人，根据限额每天用电不得超过160千瓦时，用煤不得超过150吨时，每天生产甲产品________吨，乙产品________吨时，可创造最大的经济价值．
解析：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨，所创价值为z千元，
由题意得线性约束条件
目标函数为z＝7x＋10y，作出可行域，如图所示，
把直线l：7x＋10y＝0向右上方平移到l′的位置时，直线经过可行域上的点P，此时z＝7x＋10y取最大值．
解方程组得点P的坐标为(，)．
答案：　
三、解答题
9．(2012·中山高二检测)某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8 h计算，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z，又由已知条件可得二元一次不等式组：
目标函数为z＝2x＋3y.
作直线l0：2x＋3y＝0，将其向上平移，当经过点M时，z最得最大值．
由得∴M(4，2)此时2x＋3y＝14.
∴每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．
10．某工厂要制造A种电子装置41台，B种电子装置66台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m2，可做A、B的外壳分别为2个和7个，乙种薄钢板每张面积5 m2，可做A、B的外壳分别为7个和9个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解：设甲、乙两种薄钢板各用x，y张(x，y∈N)，用料总面积为z，则目标函数为z＝2x＋5y，
约束条件为作出约束条件的可行域如图：
作直线l：2x＋5y＝0，平移，观察知，当l经过点M时，z取到最小值．
解方程组得M点坐标为(3，5)，
所以zmin＝2x＋5y＝31 m2.
故：甲种钢板用3张，乙种钢板用5张，能够使总的用料面积最小．

1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得的最大利润是(　　)
A．12万元　　　　　　　　 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，该企业获得的利润为z万元，则有关系：目标函数z＝5x＋3y.
作出可行域
如图所示：
由得A(3，4)，当直线z＝5x＋3y过点A(3，4)时，z取到最大值，故zmax＝15＋12＝27.
答案：D
2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)
　　　原料
药剂　　
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为1百元、2百元．现有原料甲16千克，原料乙23千克，那么可获得的最大销售额为(　　)
A．6百元 B．7百元
C．8百元 D．9百元
解析：
设配制药剂A x剂，药剂B y剂(x，y∈N)，销售额为z百元，则
z＝x＋2y，
作出可行域，平移直线l0：x＋2y＝0，过A(3，2)时zmax＝7.
答案：C
3．“在家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　　)
A．2 100元 B．2 200元
C．2 300元 D．2 400元
解析：设甲型货车x辆，乙型货车y辆(x，y∈N)
则
z＝400x＋300y，可行域如图：
作直线l：4x＋3y＝0并平移至过A点时，z取得最小值．zmin＝2 200元．
答案：B
4．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则线性约束条件是________，线性目标函数是________．
解析：由题意可得线性约束条件为
即
线性目标函数为z＝80x＋120y.
答案：
　z＝80x＋120y.
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台)租赁费z元，由题意得　
z＝200x＋300y.
作出如图所示的可行域．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．
又由
得A点坐标为(4，5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2 300(元)．
答案：2 300
6．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1 t A产品，1 t B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.
　　　　　　　产品
所需原料　　　　
原料　　　
A产品
(1 t)
B产品
(1 t)
总原料
( t)
甲原料( t)
2
5
10
乙原料( t)
6
3
18
利润(万元)
4
3
问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？
解：设生产A、B两种产品分别为x t、y t，其利润总额为z万元，
根据题意，可得约束条件为
目标函数z＝4x＋3y，作出可行域如图：
作直线l0：4x＋3y＝0，再作一组平行于l0的直线l：4x＋3y＝z，当直线l经过点P时z＝4x＋3y取得最大值，
由解得交点P(，1)．
所以有zmax＝4×＋3×1＝13(万元)．
所以生产A产品2.5 t，B产品1 t时，总利润最大，为13万元．

一、选择题
1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式(　　)
A．a＋b<0　　　　　 B．a＋b>0
C．a＋b≤0 D．a＋b≥0
解析：a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
答案：C
2．(2012·临沂检测)大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为(　　)
A．T<40 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
解析：“限重40吨”用不等式表示为T≤40.
答案：C
3．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　)
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
解析：根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.
答案：A
4．如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)，则(　　)
A．x1>x2>x3 B．x1>x3>x2
C．x2>x3>x1 D．x3>x2>x1
解析：由已知图形知x1＝50＋x3－55，x2＝x1－20＋30，x3＝x2－35＋30.由此得x1＝x3－5，x2＝x1＋10，x2＝x3＋5，故x1答案：C
二、填空题
5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是________．
解析：请木工共需付工资500x元，请瓦工共需付工资400y元，总工资不能超过预算资金，即500x＋400y≤20 000，∴5x＋4y≤200.
答案：5x＋4y≤200
6．(2012·聊城模拟)已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，设买铅笔x支，练习本y本．则满足条件的不等式组为______________．
解析：由题意得
答案：
7．下表给出了X，Y，Z三种食物的维生素含量：
维生素A(单位/kg)
维生素B(单位/kg)
X
300
700
Y
500
100
Z
300
300
某人欲将这三种食物混合成100 kg的食品，要使混合食品中至少含35 000单位的维生素A及40 000单位的维生素B，设X，Y这两种食物各取x kg，y kg，那么x，y应满足的不等式组是________．
解析：因为食物X，Y分别为x kg，y kg，故食物Z为(100－x－y) kg，则有
即
答案：
8．投资生产A产品时，每生产100万吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100万吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，若生产A产品x百万吨，生产B产品y百万吨，则x，y应满足的数学关系式为________．
解析：依题意，应有
答案：
三、解答题
9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．
解：设宿舍x间，则学生(4x＋19)人，依题意，
解得∵x∈N＋，∴x＝10，11或12.学生人数为：59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．
10．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N＋)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组．
解：依题意得，第二次钉子没有全部进入木板，第三次全部进入木板，所以 (k∈N＋)

1．下面列出的不等式中，正确的是(　　)
A．a不是负数，可表示成a>0
B．x不大于3，可表示成x<3
C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0
D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
解析：a不是负数，可表示为a≥0；x不大于3可表示为x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0.
答案：C
2．李辉准备用自己节省的零花钱买一台复读机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元，设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400　　　　 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋60≤400.
解析：x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
答案：B
3．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m．用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h
B．d≥10 m
C．v≤120 km/h或d≥10 m
D.
解析：两个条件同时成立，需用不等式组表示．
答案：D
4．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．
解析：设两位数可表示为10y＋x，∴70<10y＋x.
答案： 10y＋x>70
5．某种杂志以3元的价格销售可卖出10万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就减少2 000本，若把提价后的杂志定为x元，则表示销售收入不低于20万元的不等式为____________________(不需要化简)．
解析：由题意知销售收入为(10－×0.2)x万元，
∴销售收入不低于20万元可表示为
(10－×0.2)x≥20.
答案： (10－×0.2)x≥20.
6．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？
解：设初中有x个班级，高中有y个班级，此时所需要的资金为(28x＋58y)万元，市政府准备投资1 800万元，
则28x＋58y≤1 800，
班级数量非负且要满足20≤x＋y≤30，
即需要满足的条件是

一、选择题
1．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是(　　)
A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－a
C．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a
解析：b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)，
∵a>b，∴a－b>0，又(b－1)2≥0，
∴(b－1)2＋(a－b)>0.即b2＋1>3b－a.
答案：A
2．(2012·兰州一中检测)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．A>B或AB
解析：A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2＋b2－ab＝(a－)2＋b2≥0.
∴A≥B.
答案：B
3．(2012·兰州一中检测)设实数a，b是满足ab<0的实数，则下列不等式成立的是(　　)
A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：∵ab<0∴ab异号．不妨设a>0，则b<0结合选项，可得选项B正确．
答案：B
4．已知a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解析：法一：由－1又a<0，∴a0.∴a法二：取a＝－2，b＝－，
则ab＝1，ab2＝－，从而a答案：D
二、填空题
5．已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”，“>”，“＝”)．
解析：两式作差得，ab－a2－b2＝－(a－)2－b2<0，
所以，ab－a2答案：<
6．(2012·吉安高二检测)若a>b>0，则a＋________b＋(用“<”，“>”，“＝”填空)．
解析：法一：∵a>b>0，∴0<<.即>>0.
∴a＋>b＋
法二：a＋－(b＋)＝
∵a>b>0，∴a－b>0，ab>0，1＋ab>0.
则a＋>b＋.
答案：>
7．若a解析：－＝＝，
∵a答案：<
8．已知－≤α<β≤，则的取值范围是________．
解析：∵－≤α<β≤，∴－≤<≤.
∴－≤<，①－<≤，
∴－≤－<.②
①＋②得　－≤<.
又知α<β，∴α－β<0.
∴－≤<0.
答案：[－，0)
三、解答题
9．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围．
解：法一：设u＝a＋b，v＝a－b
得a＝，b＝
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
4a－2b的取值范围为[－2，10]．
法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴∴又
∴－2≤4a－2b≤10. 4a－2b的取值范围是[－2，10]．
10．已知a，b，x，y都为正数，且>，x>y，
求证：>.
证明：－＝＝
∵>>0, x>y>0，
∴b>a>0, x>y>0.
∴bx>ay. 即bx－ay>0
又x＋a>0, y＋b>0，
∴>0.
即>.

1．已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是(　　)
A．ab
C．与m有关 D．恒成立
解析：－＝，而a>0，m>0且>0，∴a－b>0.即a>b.
答案：B
2．已知m>n，则(　　)
A．m2>n2 B.>
C．mx2>nx2 D．m＋x>n＋x
解析：由于m2－n2＝(m－n)(m＋n)，而m＋n>0不一定成立，所以m2>n2不一定成立，而， 不一定有意义，所以选项A、B不正确；选项C中，若x2＝0，则不成立．
答案：D
3．若a>b，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.< B.<1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
解析：取特殊值可排除A，B，D；再结合指数函数的单调性可得C成立．
答案：C
4．若8解析：∵2∴<<.
又∵8∴2<<5.
答案：(2，5)
5．下列命题中，真命题是________．
①若a>b>0，则<　②若a>b，则c－2ab，e>f，则f－acb，则lg a>lg b
解析：①a>b>0?0<②a>b?－2a<－2b?c－2a对③取a＝2，b＝e＝1，f＝0，c＝－1，则f－ac对④当a<0或b<0时lg a，lg b无意义，故④不正确．
答案：①②
6．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，
∵(x＋)2≥0，∴(x＋)2＋≥>0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0.
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.

一、选择题
1．(2011·广东高考)不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)
A．(－，1)　　　　　　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
解析：由一元二次不等式的解法易得x>1或x<－.
答案：D
2．(2012·宿豫检测)不等式x2<3x的解集为(　　)
A．{x|x>3} B．{x|x<0，或x>3}
C．R D．{x|0解析：不等式变形为x2－3x<0，易得0答案：D
3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A．{x|x≠－} B．{x|－≤x≤}
C．? D．{－}
解析：Δ＝0，则方程9x2＋6x＋1＝0的根为x1＝x2＝－，所以原不等式的解集为{－}．
答案：D
4．函数y＝＋ 的定义域为(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
解析：解不等式组得x≥1或x＝0.
答案：C
二、填空题
5．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1的解集为?，则实数a的取值范围是________．
解析：∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为?，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，
∴a2－2a－3<0.∴－1答案：(－1，3)
6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数m＝________．
解析：1，m是关于x的方程ax2－6x＋a2＝0的两根，则
解得m＝2或m＝－3(舍去)．
答案：2
7．若a>1，则不等式(x－a)(x－)>0的解集为________．
解析：方程(x－a)(x－)＝0的两根为x1＝a，x2＝，又a>1时，a>，
∴不等式(x－a)(x－)>0的解集为{x|x>a，或x<}．
答案：{x|x>a，或x<}
8．(2012·福州师大附中检测)若2x2＋1≤()x－2，则函数y＝2x的值域是________．
解析：∵2x2＋1≤()x－2＝2－2x＋4，∴x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0.
解得－3≤x≤1，∴≤y≤2，
∴函数y＝2x的值域是[，2]．
答案：[，2]
三、解答题
9．已知方程x2＋(2m－3)x＋m2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，求实数m的取值范围．
解：设函数f(x)＝x2＋(2m－3)x＋m2－15，
则由题意：
即解得－1∴m的取值范围为(－1，5)．
10．解不等式－2≤3x2－5x≤2.
解：原不等式等价于3x2－5x＋2≥0，
且3x2－5x－2≤0，
方程3x2－5x＋2＝0的解为x1＝，x2＝1，
∴3x2－5x＋2≥0的解集为{x|x≤，或x≥1}．
方程3x2－5x－2＝0的解为x1＝－，x2＝2.
∴3x2－5x－2≤0的解集为{x|－≤x≤2}，
∴原不等式解集为{x|－≤x≤，或1≤x≤2}．

1．下列不等式中一元二次不等式的个数为(　　)
①(m＋1)x2>x　　　　②－x2＋5x＋6>0
③(x＋a)(x＋a＋1)<0 ④2x2－x>2
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：由一元二次不等式的定义可知，②③④为一元二次不等式．
答案：C
2．在下列不等式中，解集是?的是(　　)
A．2x2－3x＋2>0 B．x2＋4x＋4≤0
C．4－4x－x2<0 D．－2＋3x－2x2>0
解析：不等式－2＋3x－2x2>0可化为2x2－3x＋2<0.因为Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0，
∴不等式2x2－3x＋2<0的解集为?.
答案：D
3．函数y＝log2(3x2－x－2)的定义域为(　　)
A．R B．?
C．{x|x<－，或x>1} D．{x|－解析：由题意3x2－x－2>0，即(3x＋2)(x－1)>0.
∴x>1或x<－.
答案：C
4．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a－b的值等于________．
解析：由题意可得，－与为方程ax2＋bx＋2＝0的两实数根，代入方程得
解得a＝－12，b＝－2，a－b＝－10.
答案：－10
5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，则?UA等于________．
解析：易知A＝{x|x>2，或x<0}，故?UA＝{x|0≤x≤2}．
答案：{x|0≤x≤2}
6．若不等式x2－ax－b<0的解集为{x|20的解集．
解：∵不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2∴方程x2－ax－b＝0的两个根为x1＝2，x2＝3.
∴a＝5，b＝－6.
∴ax2＋bx＋1>0，即为5x2－6x＋1>0，
又∵方程5x2－6x＋1＝0的两个根为x1＝1，x2＝，
∴不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|x<，或x>1}．

一、选择题
1．(2011·潮州调研)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的值的集合是(　　)
A．{a|0C．{a|0解析：当a＝0时符合题意．当a>0时相应二次方程中Δ＝a2－4a≤0得{a|0答案：D
2．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则(　　)
A．－1C．－解析：根据题意，不等式(x－a)?(x＋a)<1可变形为(x－a)(1－x－a)<1，∴x2－x－a2＋a＋1>0.
要使x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，则
Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，
∴－答案：C
3．(2012·兰州一中检测)若0A．{x|，或x<1}
C．{x|x<，或x>1} D．{x|1解析：∵方程(x－1)(x－)＝0的两个根为1，.
又∵01.
∴原不等式的解集为{x|1答案：D
4．(2012·芒市中学检测)设A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．
若A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，则a＋b等于(　　)
A．7 B．－1
C．1 D．－7
解析：A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
∵A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，∴B＝[－1，4]．
∴a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4.
∴a＋b＝－7.
答案：D
二、填空题
5．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z有____个元素．
解析：由(x－1)2<3x＋7，得－1∴集合A{x|－1∴A∩Z的元素有0，1，2，3，4，5，共6个元素．
答案：6
6．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1，2]，则f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
∴??m≤－5.
答案：(－∞，－5]
7．(2012·福建师大附中模拟)若不等式ax2＋x＋2>0的解集为R，则a的范围是________．
解析：①若a＝0则x＋2>0即x>－2，不合题意．
②若a≠0，则∴a>
综上，a>
答案：(，＋∞)
8．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围是________．
解析：根据题意得2x2－2ax－a－1≥0的解集为R，
即x2－2ax－a≥0恒成立．
∴Δ＝(－2a)2－4(－a)≤0.
∴a2＋a≤0.∴－1≤a≤0.
答案：[－1，0]
三、解答题
9．已知不等式x＋2>m(x2－1)．若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
解：原不等式可化为mx2－x－m－2<0，
①当m＝0时，此不等式为－x－2<0，对任意实数不恒成立．
②当m≠0时，mx2－x－m－2<0，对任意x恒成立等价于
??
?－1－综合①②知m的取值范围为(－1－，－1＋)．
10．关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围．
解：原不等式等价于(ax－1)(x－1)<0，分类讨论：
(1)当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)整数不止3个；
(2)当a≠0时，方程(ax－1)(x－1)＝0的两根为和1，－1＝.
①当0②当a＝1时，不等式的解集为?；
③当a>1时，不等式的解集为(，1)显然不满足题意．
④当a<0时，不等式的解集为
(－∞，)∪(1，＋∞)整数不止3个．
综上所述a的取值范围为[，)

1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－2x－8>0}，则M∩N为(　　)
A．{x|－4≤x<－2，或4B．{x|－4C．{x|x≤－2，或x>4}
D．{x|x<－2，或x≥4}
解析：M＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x<－2，或x>4}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2，或4答案：A
2．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1，或x>a}其中a≠－1，则(　　)
A．a≥1　　　　　　 B．a<－1
C．a>－1 D．a∈R
解析：x(x－a＋1)>a?(x＋1)(x－a)>0.
∵解集是{x|x<－1，或x>a}，∴a>－1.
答案：C
3．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(－∞，1] B．(1，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2]
解析：不等式3x－2－x2<0可化为x2－3x＋2>0，
∴x>2或x<1.由不等式x－a<0，得x答案：A
4．若不等式ax2－2ax＋2a－3>0的解集为?，则a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，解集为?；当a≠0，若不等式的解集为?，则解得a<0.
综上，a的取值范围是a≤0.
答案：(－∞，0]
5．不等式x2＋(a＋b)x＋ab<0(a解析：x2＋(a＋b)x＋ab<0?(x＋a)(x＋b)<0.
∵a－b，
∴原不等式的解集为{x|－b答案：{x|－b6．m为何值时，方程mx2－(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数解？
解：①若m＝0则x＝0只有一个实数根，不合题意．
②若m≠0，mx2－(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数解，则(2m＋1)2－4m2>0
∴m>－.即m∈(－，0)∪(0，＋∞)时，方程mx2－(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数解．

1．不等式≤0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(－1，2]　　 B．[－1，2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1，2]
解析：此不等式等价于
∴－1答案：D
2．不等式≥2的解集是(　　)
A．[－3，] B．[－，3]
C．[，1)∪(1，3] D．[－，1)∪(1，3]
解析：≥2??
∴x∈[－，1)∪(1，3]．
答案：D
3．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　)
A．[1，3] B．[3，5]
C．[2，4] D．[4，6]
解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则
y＝2 400(20－t)×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900.
解得3≤t≤5.
答案：B
4．不等式≥－1的解集是________．
解析：≥－1?＋1≥0?≥0?
∴不等式的解集是{x|x≤0，或x>1}．
答案：{x|x≤0，或x>1}
5．不等式x(x－1)(1－2x)>0的解集是________．
解析：原不等式可化为x(x－1)(x－)<0，画出数轴，如图，其解集为{x|x<0，或答案：{x|x<0或6.某单位在对一个长为800 m、宽为600 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
解：设花坛宽度为x米，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，(0根据题意得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
因此0故当花坛的宽度在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．

一、选择题
1．若不等式(x－2a)(x＋1)(x－3)<0的解集为(－∞，－1)∪(3，4)则a的值为(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
解析：当2a＝4时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，∴a＝2.
答案：D
2．不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|0≤x<2 011，或x>2 012}
B．{x|02 012}
C．{x|x≤0，或2 011D．{x|x<0，或2 011解析：原不等式等价于
如图所示
用穿针引线法，求得原不等式的解集为{x|0≤x<2 011，或x>2 012}．
答案：A
3．要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，由题意知，f(1)＝1＋a2－1＋a－2＝a2＋a－2＝(a－1)(a＋2)<0.
∴－2答案：C
4．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是(　　)
A．(90，100) B．(90，110)
C．(100，110) D．(80，100)
解析：设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.
要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2－10x<0，得0答案：A
二、填空题
5．(2012·上冈检测)不等式≤1的解集为________．
解析：≤1?－1≤0?≤0??－2≤x<1.
所以原不等式的解集是{x|－2≤x<1}．
答案：{x|－2≤x<1}
6．设关于x的不等式>－1的解集为A，且1?A，则实数a的取值范围是________．
解析：∵1?A，∴≤－1?－1≥0?≥0?≥0?－2答案：(－2，－1]∪[2，＋∞)
7．(2012·宝鸡金台检测)已知x＝1是一元二次不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
解析：由题意，k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
又k≠0，∴k的取值范围是k≥4或k≤2且k≠0.
答案：(－∞，0)∪(0，2]∪[4，＋∞)
8．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)(x－)<0的解集为________．
解析：∵a<－1，∴a(x－a)(x－)<0?(x－a)(x－)>0.
又∵a<－1，∴>a.∴x>或x解集为{x|x>，或x答案：{x|x>，或x三、解答题
9．解关于x的不等式>x(a∈R)．
解：原不等式?>0?x(ax－1)>0.
当a>0时，不等式的解集为{x|x<0，或x>}，
当a<0时，不等式的解集为{x|当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}．
10．(2012·唐山检测)不等式≥m对任意实数x都成立，求自然数m的值．
解：因为x2＋x＋1>0对于任意实数x恒成立，
所以原不等式可化为3x2＋2x＋2≥m(x2＋x＋1)，即(3－m)x2＋(2－m)x＋2－m≥0.
当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不合题意．
当m≠3时，依题意，
得
整理得
解得即m≤2.
又∵m∈N，∴m＝0，1，2.

1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)
A.　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
解析：xy≤＝2，当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时，等号成立，
∴xy的最大值为2.
答案：C
2．已知a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则(　　)
A．ab≤≤1 B．1C．ab≤1< D．ab<1<
解析：∵1＝()2≤，a≠b，∴1<.
∵a＋b＝2，∴a、b同为正或ab≤0.若ab≤0，显然ab<1；若a、b同为正，可得1＝()2≥()2＝ab.
∵a≠b，∴ab<1.
综上可得，ab<1<.
答案：D
3．(2012·潍坊联考)已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　)
A. B.(＋)
C. D.
解析：法一：∵x＋y>2，∴<.排除D；
∵(＋)＝＝>＝，∴排除B；
∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>排除A.
法二：取x＝1，y＝2.
则＝；(＋)＝；＝；＝＝.其中最小．
答案：C
4．对于任意正数a，b，设A＝，G＝ ，则A与G的大小关系是________．
解析：∵A2＝≤＝，
∴A≤ ＝G.
答案：A≤G
5．若a>0，b>0，则与的大小关系是________．
解析：∵a＋b≥2，
∴≤＝≤(当且仅当a＝b时等号成立)．
答案：≥
6．设a，b，c均为正数．求证：＋＋≥＋＋.
证明：∵a、b、c均为正数，
∴(＋)≥≥，当a＝b时等号成立；
同理，(＋)≥≥，当b＝c时等号成立；
(＋)≥≥，
当a＝c时等号成立．
三个不等式相加即得＋＋≥＋＋，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．

一、选择题
1．设b>a>0，且a＋b＝1，则四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是(　　)
A．b B．a2＋b2
C．2ab D.
解析：∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab.
又∵a＋b＝1.∴b>.
又b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2，
∴b最大．
答案：A
2．(2012·福建师大附中模拟)设a>0，b>0，若 是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．1 D.
解析：∵是3a与3b的等比中项∴()2＝3a·3b
∴3＝3a＋b.∴a＋b＝1.
∴＋＝＋＝2＋＋，
∵a>b，b>0，∴＋＋2≥2＋2.
∴＋≥4，∴当且仅当a＝b＝时，等式成立．
答案：A
3．2012·兰州一中检测已知a、b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；　②＋≥2；　③ab≤()2；　④()2≤这四个不等式中，恒成立的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由基本不等式可知，①③④正确，当ab<0时②不正确．
答案：C
4．下列不等式中，对任意实数x都成立的是(　　)
A．lg(x2＋1)≥lg x B．x2＋1>2x
C.≤1 D．x＋≥2
解析：当x<0时，选项A，D都不成立；当x＝1时，选项B不成立．
答案：C
二、填空题
5．(2012·聊城检测)已知a>b>c，则与的大小关系是________．
解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c.
即2b＝a＋c时取等号．
答案：≤
6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
解析：用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，x≤.当且仅当a＝b时等号成立．
答案：x≤
7．式子＋的取值范围是________．
解析：∵与同号，
∴①当>0，即ab>0时，＋≥2(当且仅当a＝b时等号成立)，
②当<0即ab<0时，＋＝－[(－)＋(－)]
∵(－)＋(－)≥2.∴－[(－)＋(－)]≤－2.
即＋≤－2(当且仅当a＝－b时等号成立)．
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
8．当a>1，0解析：∵a>1，0∴－logab>0，－logba>0.
∴(－logab)＋(－logba)≥2＝2(当且仅当b＝时等号成立)．∴logab＋logba≤－2.
答案：(－∞，－2]
三、解答题
9．已知x>0，y>0，z>0，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤.
证明：∵x>0，y>0，z>0，
∴x＋y≥2，x＋z≥2，y＋z≥2，
∴2(x＋y＋z)≥2(＋＋)．
∵x＋y＋z＝1，
∴＋＋≤1成立．
∵x＋y＋z＋2(＋＋)≤3，
即(＋＋)2≤3.
∴＋＋≤.
10．(2012·滨州检测)已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．
求证：＋＋>a＋b＋c
证明：∵a>0，b>0，c>0，
∴＋≥2＝2c，
＋≥2＝2a，
＋≥2＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立
∴＋＋>a＋b＋c.

1．当x>0时，f(x)＝＋4x的最小值为(　　)
A．4　　　　　　　　 B．8
C．8 D．16
解析：∵x>0，∴>0，4x>0.
∴f(x)＝＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，f(x)的最小值为8.
答案：C
2．如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是(　　)
A．4　　　　　　　　 B．4
C．9 D．18
解析：∵m>0，n>0，由log3m＋log3n＝log3mn＝4.
∴mn＝81.∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时等号成立．
答案：D
3．若x<4，则函数y＝x＋(　　)
A．有最小值－6 B．有最大值6
C．有最小值－2 D．有最大值2
解析：因为x<4，所以x－4<0，
所以y＝x＋
＝(x－4)＋＋4＝－[(4－x)＋]＋4≤－2＋4＝2.
当且仅当4－x＝，即x＝3时等号成立．
答案：D
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则a＋c的最小值为________．
解析：∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
∴a>0，且Δ＝4－4ac＝0，则c＝.
∴a＋c＝a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立，即a＋c的最小值为2.
答案：2
5．已知x，y均为正数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
解析：∵x>0，y>0.
∴4xy≤()2＝()2＝.∴xy≤.
当且仅当x＝4y，即x＝，y＝时取等号．
答案：
6．已知正数x，y满足＋＝1，求x＋2y的最小值．
解：∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋2y＝(＋)(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.

一、选择题
1．(2012·东营质检)在下列函数中，最小值等于2的函数是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝cos x＋(0C．y＝
D．y＝ex＋－2
解析：x<0时，y＝x＋≤－2，故A错；∵0∴0∵≥，∴y＝＋≥2中等号也取不到，故C错；
∵ex>0，∴ex＋－2≥2×2－2＝2，当且仅当ex＝2时等号成立．故D正确．
答案：D
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：∵x<0，∴－x>0.
∴x＋－2＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4.
当且仅当－x＝－即x＝－1时取等号．
答案：C
3．已知x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy(　　)
A．有最大值e B．有最大值
C．有最小值e D．有最小值
解析：∵x>1，y>1且ln x，，ln y成等比数列，
∴ln x·ln y＝≤()2，当且仅当x＝y＝时等号成立．
∴ln x＋ln y≥1.
∴xy≥e.
答案：C
4．(2012·宿豫检测)若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是(　　)
A. B．1
C．4 D．8
解析：由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号．
答案：C
二、填空题
5．(2012·南京模拟)若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．
解析：∵logmn＝－1，∴mn＝1且m>0，n>0，m≠1.
∴3n＋m≥2＝2.
当且仅当3n＝m即n＝，m＝时等号成立．
答案：2
6．已知函数f(x)＝x＋(p为常数且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________
解析：由题意得x－1>0，f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1当且仅当x＝＋1时，取等号，则2＋1＝4.∴p＝.
答案：
7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析：由基本不等式得xy≥2＋6，当且仅当即时等号成立，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或t≥3
∴xy的最小值为18.
答案：18
8．已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0垂直，则ab的最小值为________．
解析：∵两直线垂直，∴ab2－(b2＋4)＝0.a＝，
∴ab＝＝b＋≥4，当且仅当b＝2时等号成立．
答案：4
三、解答题
9．求函数f(x)＝2x(5－3x)，x∈(0，)的最大值．
解：∵x∈(0，)，∴5－3x>0.
∴f(x)＝2x(5－3x)＝[3x(5－3x)]
≤·()2＝.
当且仅当3x＝5－3x，即x＝时，等号成立．
故f(x)的最大值为.
10．(2012·唐山检测)已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(816)
解：设每小时燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.
当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122.得k＝5.
设全程燃料费为y，依题意得：
y＝y1·＝＝1 000·
＝1 000(v＋8＋)＝1 000(v－8＋＋16)
≥1 000(2＋16)＝32 000.
当且仅当v－8＝即v＝16时，y有最小值32 000.
∵816，∴v＝16成立即等号成立．
所以全程燃料费最省时，船的静水速度为16 km/h.

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．(2012·菏泽检测)如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是(　　)
A.<　　　　　　　 B.<
C．a2|b|
解析：如果a<0，b>0，那么<0，>0，∴<.
答案：A
2．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为(　　)
A．(－3a，4a) B．(4a，－3a)
C．(－3，4) D．(2a，6a)
解析：方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，且4a<－3a，∴4a答案：B
3．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的正的等比中项的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：≤＝4，当且仅当a＝b时等号成立．
答案：B
4．设z＝2y－2x＋4式中x，y满足条件则z的最大值和最小值分别是(　　)
A．8　4 B．10　4
C．8　5 D．10　5
解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)．
作直线l0：y＝x，将其向上平移，当l0经过点A时，z最大，经过B点时，z最小
∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
答案：A
5．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[0，4) D．(0，4)
解析：(1)当k＝0时，不等式变为1>0成立；
(2)当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，
则
即0答案：C
6．(2012·禹州三中高二月考)已知x，y均为正实数，2x＋y＝2，c＝xy，那么c的最大值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：由已知，2＝2x＋y≥2＝2，所以c≤.当且仅当2x＝y＝1时等号成立．
答案：B
7.已知点(x，y)是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z＝x＋ay取最小值时，其最优解有无数个，则的最大值是(　　)
A. B．0
C. D.
解析：目标函数z＝x＋ay可化为y＝－x＋z，由题意知，当a<0，且直线y＝－x＋z与直线AC重合时，符合题意，此时kAC＝＝1，所以－＝1，a＝－1，而＝表示过可行域内的点(x，y)与点(－1，0)的直线的斜率，显然过点C(4，2)与点(－1，0)的直线的斜率最大，即＝.
答案：A
8．已知t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t和s的大小关系正确的是(　　)
A．t>s B．t≥s
C．t解析：∵t－s＝a＋2b－a－b2－1＝－(b－1)2≤0.
∴t≤s.
答案：D
9．设x>0，y>0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是(　　)
A. B.
C．2 D．2
解析：∵1＝x＋y≥2，令t＝＋，
则t2＝x＋y＋2＝1＋2≤1＋1＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立。
即t≤，∴a≥，则amin＝.
答案：B
10．(2012·中山检测)实数x，y满足不等式组则k＝的取值范围是
(　　)
A．[－1，] B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
解析：作平面区域如图所示，k＝表示点P(x，y)与点M(－1，1)连线的斜率，又kMA＝－，故kPM∈[－，1)．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．(2012·聊城检测)不等式>0的解集是________．
解析：不等式化为(x－1)(x－6)(x＋5)>0，
利用穿针引线法可得－56.
答案：{x|－56}
12．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．
解析：∵a>0，b>0，∴＋≥.当且仅当a＝b时取等号，
∴＋＋2≥＋2≥2＝4，当且仅当a＝b，且＝2 即a＝b＝1时取等号，故＋＋2的最小值为4.
答案：4
13．设z＝2y－x，式中x，y满足下列条件则z的最大值为________．
解析：不等式组
对应的可行域如图中阴影部分所示，三条直线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)．作直线l0：2y－x＝0，将l0向上平移过点C时z有最大值，
即zmax＝2×7－3＝11.
答案：11
14．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次的进货量相同，且每次的运费均为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，仓库一年的租金和一次进货的件数相同，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为________件．
解析：设每次进货量为x件，一年的运费和租金总和为y元，
则y＝×100＋x≥2＝2 000，
当且仅当＝x，
即x＝1 000时等号成立．
答案：1 000
三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知a、b、c为不等正数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.
证明：法一：∵a、b、c为不等正数，且abc＝1，
∴＋＋
＝＋＋<＋＋
＝＋＋.
故不等式成立．
法二：∵a、b、c为不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab
＝＋＋
> ＋＋＝＋＋.
故不等式成立．
16．(12分)已知不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1(1)求t，m的值；
(2)若函数f(x)＝－x2＋ax＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x的不等式loga(－mx2＋3x＋2－t)<0的解集．
解：(1)∵不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1∴得
(2)∵f(x)＝－(x－)2＋4＋在(－∞，1]上递增，∴≥1，a≥2.
又loga(－mx2＋3x＋2－t)＝loga(－2x2＋3x)<0，
由a≥2，可知0<－2x2＋3x<1，
由2x2－3x<0，得0由2x2－3x＋1>0得x<或x>1.
所以原不等式的解集为{x|017．(12分)已知集合A＝{x|≤1}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}．
(1)求集合A，B；
(2)若B?A，求m的取值范围．
解：(1)≤1?≤0?－2≤x<2，
即A＝{x|－2≤x<2}；
x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0?
(x－m)[x－(m＋1)]<0?m(2)B?A??－2≤m≤1.
∴m的取值范围为[－2，1]．
18．(14分)(2012·青岛检测)某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱可获利润40元，B种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min)
混合
烹调
包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多用机器12 h，烹调的设备最多只能用机器30 h，包装的设备最多只能用机器15 h，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？
解：设生产A种糖果x箱，生产B种糖果y箱(x，y∈N)，可获利润z元，即求z＝40x＋50y
在约束条件下的最大值．
作出可行域，如图．
作直线l0：40x＋50y＝0，平移l0经过点P时，z＝40x＋50y取最大值，解方程组
得点P坐标为(120，300)．
∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800.
所以生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱时，可以获得最大利润19 800元．

一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果A＝60°，c＝4,2A．两解 B．一解
C．无解 D．无穷多解
解析：由题设csin A答案：A
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A、B、C成等差数列，则sin C＝(　　)
A. B.
C. D．1
解析：在△ABC中，2B＝A＋C，∴B＝60°.
由＝，得sin A＝＝＝.
又a答案：D
3．若＝＝，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
解析：由正弦定理得b＝2Rsin B；c＝2Rsin C；a＝2Rsin A，
∴＝＝.
∴tan B＝tan C＝1.
∴B＝C＝45°.
答案：C
4．(2012·珠海质检)在△ABC中，若tan A＝，C＝120°，BC＝2，则AB＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：因为tan A＝，所以sin A＝，由正弦定理＝可得AB＝＝＝5.
答案：C
二、填空题
5．(2012·泉州高二检测)，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝4bsin A，则cos B＝________.
解析：∵a＝4bsin A，∴＝4b＝，得sin B＝.
∵△ABC为锐角三角形，∴cos B＝＝.
答案：
6．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin B＝，因为C＝π.故角B为锐角，所以B＝，
则A＝，再由正弦定理或等腰三角形性质可得a＝1.
答案：1
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边长为________．
解析：由三角形的性质，大角对大边知，b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°，由正弦定理得b＝＝＝.
答案：
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bc＝20，三角形的面积S△ABC＝5，△ABC的外接圆半径为，则a＝________.
解析：S△ABC＝bc·sin A＝10sin A＝5，
∴sin A＝.
∴a＝2Rsin A＝2××＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知△ABC中，tan A＝，tan B＝，且最长边长为.求：
(1)C的大小；
(2)最短边的长．
解：(1)∵tan A＝，tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又∵A＋B＋C＝180°，
∴tan C＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－1.
∴C＝135°.
(2)由(1)知C为最大角，从而由已知得c＝，
∵tan B＞tan A＞0，∴b＞a.
故三角形最短边为a.
∵tan A＝，∴sin A＝.
又∵sin C＝，
∴由正弦定理得最短边a＝＝.
10．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围．
解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，
sin A＝，sin B＝，代入＝，得：
＝，∴b2－a2＝ab.①
∵cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C.
∴sin Asin B＝sin2C.
由正弦定理得，·＝()2，
∴ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2.
∴△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，∴A＋C＝.
∴C＝－A.
∴sin C＝sin(－A)＝cos A.
根据正弦定理，＝＝sin A＋cos A＝sin(A＋)．
∵0∴∴1即的取值范围是(1， ]．

1．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，则对应的三边之比a∶b∶c＝
(　　)
A．3∶2∶1　　　　　　　　 B.∶2∶1
C.∶∶1 D．2∶∶1
解析：设A＝3x，B＝2x，C＝x，由A＋B＋C＝π得x＝，
∴A＝，B＝，C＝.∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶＝2∶∶1.
答案：D
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
解析：由正弦定理得sin B＝＝＝，
∵a＝4，b＝4，a>b，∴A>B，∴B＝45°.
答案：C
3．不解三角形，判断下列命题，其中正确的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有两解
C．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．b＝9，a＝10，B＝60°，有两解
解析：对于A，a＝bsin A，有一解；对于B，a>b，A＝150°，三角形是钝角三角形，有一解；对于C，sin B＝＝>1，无解；对于D，asin B＝5<9＝b，有两解．故D正确．
答案：D
4．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，a＝15，则b＝________.
解析：B＝180°－A－C＝45°，由正弦定理得，
b＝＝＝5.
答案：5
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S＝________.
解析：sin B＝sin[180°－(A＋C)]＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝，
由正弦定理得b＝＝＝＋，
∴S△ABC＝ab·sin C＝×2×(＋)×sin 45°＝1＋.
答案：1＋
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若b＝acos C且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵b＝acos C，
由正弦定理得sin B＝sin Acos C，
由A＋B＋C＝π，得
sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)．
∴sin (A＋C)＝sin Acos C.
∴sin Acos C＋ cos Asin C＝sin Acos C.
∴cos Asin C＝0.
∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴sin C＞0.
∴cos A＝0，∴A＝.
∴△ABC为直角三角形．
(2)∵△ABC的最大边长为12，
由第(1)问知，斜边a＝12.
又∵△ABC的最小角的正弦值为，
∴Rt△ABC中最短直角边长为12×＝4.
另一直角边长为＝8.
∴S△ABC＝×4×8＝16.

一、选择题
1．(2011·重庆高考)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B．8－4
C．1 D.
解析：依题意得两式相减得ab＝.
答案：A
2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C
＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，
∴c＝5.
∴cos B＝＝＝.
答案：A
3．(2012·济宁高二检测)若a、b、c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离为d＝>1，即a2＋b2－c2<0.
∴cos C＝<0，
∴C为钝角．
答案：D
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由sin C＝2sin B可得c＝2b，
由余弦定理得cos A＝＝＝，
于是A＝30°.
答案：A
二、填空题
5．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．
解析：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos 60°＝a2＋c2－ac，而b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，
∴a＝c.又B＝60°，∴a＝b＝c.
故△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，c＝5，a＝7，则＝________.
解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)，
所以＝＝.
答案：
7．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1，则AB的长等于________．
解析：依题意∵2cos(A＋B)＝1，
即2cos(π－C)＝1.∴cos C＝－，由余弦定理得，
AB2＝a2＋b2－2ab·cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab·(－)
＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10.
答案：
8．已知△ABC的面积为15，周长为30，B＝60°，则b＝________.
解析：由题意得即
又∵b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac，
∴b2＝(30－b)2－180，解得b＝12.
答案：12
三、解答题
9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cos B＝，且·＝－21.若a＝7，求角C.
解：∵·＝||||cos(π－B)
＝－accos B＝－ac＝－21，∴ac＝35.
又∵a＝7，∴c＝5.
∵cos B＝，且B∈(0，π)，∴sin B＝＝.
∴b2＝49＋25－2×7×5×＝32，∴b＝4.
由正弦定理，得＝，∴sin C＝.
又∵a>c，∴C∈(0，)，∴C＝.
10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，又A∈(0，π)，
∴A＝.
(2)法一：由(1)中a2＝b2＋c2＋bc及正弦定理可得：
sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
即：()2＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C，
又sin B＋sin C＝1，得sin Bsin C＝，从而sin B＝sin Cz＝.
∵0∴△ABC是等腰的钝角三角形．
法二：由A＝得B＋C＝，C＝－B，
∴sin B＋sin(－B)＝1.由两角差的正弦公式得
sin B＋cos B＝1，sin (B＋)＝1.
又于是B＝，C＝，
∴△ABC是等腰的钝角三角形．

1．以4,5,6为边长的三角形一定是(　　)
A．锐角三角形　　　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
解析：由余弦定理，得cos A＝＝>0，
且角A最大．∴最大内角为锐角．
答案：A
2．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶2∶4，则cos C的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：设a＝3x，b＝2x，c＝4x.
∵cos C＝＝＝－.
答案：D
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，a2－c2＋b2＝ab，则C＝(　　)
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
解析：由余弦定理得：cos C＝，
得cos C＝，∴C＝60°.
答案：A
4．已知锐角三角形的三边分别为3,5，x，则x的取值范围是________．
解析：若5是最大边则得4若x是最大边则得5所以4答案：(4，)
5．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是________．
解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，所以c＝3.根据三边的长度知道B为最大角，所以由余弦定理得cos B＝＝－.
答案：－
6．已知△ABC中，A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c，sin B.
解：在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝－.
将a＝7，b＋c＝8代入得bc＝15，
又b＋c＝8，
∴或
当b＝3时，
由正弦定理得＝，
∴sin B＝.
当b＝5时，同理可得sin B＝.

1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．9
解析：由余弦定理得：三角形第三边长为
＝3，
且第三边所对角的正弦值为 ＝，
所以2R＝?R＝.
答案：C
2．已知锐角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，△ABC的面积为2，则边BC的值为
(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．4
解析：由S＝AB·AC·sin A＝2，得
×4×2×sin A＝2，
∴sin A＝，
又△ABC为锐角三角形，∴cos A＝，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
BC2＝16＋4－2×4×2×＝12，
即BC＝2.
答案：A
3.四边形ABCD中，B＝105°，C＝90°，AB＝4，BC＝CD＝，则AD的长为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
解析：连结BD，在△BCD中，
BC＝CD＝，C＝90°，
则∠DBC＝45°，BD＝2，∠ABD＝60°.
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°
＝16＋4－2×4×2×＝12，
则AD＝2.
答案：B
4．半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，则此三角形三边长的乘积等于________．
解：设△ABC三边为a，b，c.则S△ABC＝acsin B
又由正弦定理得sin B＝.
∴S△ABC＝ac·＝，
∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0.25＝1
所以三角形三边长的乘积为1.
答案：1
5．(2012·福建四地六校联考)在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AC＝2AB＝2AD＝4，则BD＝________.
解析：如图所示，设BD＝DC＝x，因为∠ADB＋∠ADC＝180°，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，又AC＝2AD＝2AB＝4，由余弦定理得＝－，解得x＝(x＝－舍去)．
即BD＝.
答案：
6．在圆心角为60°半径为R的扇形铁板OAB中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积．
解：
如图，设PQ＝x，MP＝y，则矩形面积S＝xy，连接ON，令∠AON＝θ，0°<θ<60°，则y＝Rsin θ
在三角形OMN中：由正弦定理得：
＝?x＝×2Rsin(60°－θ)
S＝·2R2sin θsin (60°－θ)＝R2(sin θcos θ－sin2θ)
＝R2(sin 2θ＋cos 2θ－)
＝R2[sin (2θ＋30°)－]．
故当θ＝30°时，矩形的面积最大，其最大值是R2.

一、选择题
1．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC外接圆的直径为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．6
C．5 D．6
解析：S△ABC＝acsin B＝×1×c·sin 45°＝c，
又∵S△ABC＝2，∴c＝4.
∴b2＝a2＋c2－2accos 45°
＝1＋(4)2－2×1×4×＝25.
即b＝5.
所以△ABC的外接圆直径2R＝＝5.
答案：C
2．(2012·烟台高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：如图等腰△ABC，设底边为BC＝a，AC＝b，AB＝c，
则a＋b＋c＝5a，∴b＋c＝4a.
∴b＝c＝2a，由余弦定理得：
cos A＝
＝＝.
答案：B
3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan ∠ECF＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝AB＝，
由余弦定理得
CE＝CF＝＝，
所以cos∠ECF＝＝.
所以tan ∠ECF＝＝＝.
答案：D
4．在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cos A等于(　　)
A. B.
C. D．0
解析：设∠ACB＝2θ，
∵B＝2A，
∴sin B＝sin 2A＝2sin A·cos A.
∴AC＝2BCcos A，
∴cos A＝·.
可知＝＝＝，
∴cos A＝×＝.
答案：C
二、填空题
5.(2011·福建高考)如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
解析：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，
∴cos C＝.∴sin C＝.在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.
答案：
6．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．
解析：∵D为BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×|AB|·|AD|·sin∠BAD
＝2×××1×sin 30°
＝
答案：.
7．(2011·安徽高考)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
解析：不妨设角A＝120°，c答案：15
8．(2011·全国新课标)在△ABC中，B＝，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
解析：在△ABC中，根据＝＝，
得AB＝·sin C＝sin C＝2sin C，
同理BC＝2sin A，
因此AB＋2BC＝2sin C＋4sin A
＝2sin C＋4sin(π－C)
＝4sin C＋2cos C
＝2sin (C＋φ)(tan φ＝)，
因此AB＋2BC的最大值为2.
答案：2
三、解答题
9.(2011·福州期中考试)△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADB＝30°，求AB，AC的长及△ABC的面积．
解：在△ABD中，∠BAD＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴AB＝BD·cos B＝2cos 60°＝1.
在△ACB中，由余弦定理得
AC2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，
∴AC＝.
S△ABC＝×1×3×sin 60°＝ .
10．在等边三角形ABC中，AB＝a，O为中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求＋的最大值．
解：由已知AO＝a，∠MAO＝∠NAO＝30°，
设∠MOA＝θ，则60°≤θ≤120°
在△AOM和△AON中，分别用正弦定理得：
OM＝，ON＝
∴＋＝[sin2(θ＋30°)＋sin2(θ－30°)]
＝{1－[cos(2θ＋60°)＋cos(2θ－60°)]}
＝[1－cos 2θcos 60°]＝(2－cos 2θ)，
∵120°≤2θ≤240°?－1≤cos 2θ≤－，
故当cos 2θ＝－1，即θ＝90°时，＋取得最大值是.

一、选择题
1．已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40°方向，灯塔B在观测站C的南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10°　　　 B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
解析：由条件可知如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，CA＝CB，
∴∠ABC＝50°.而∠CBD＝60°，
∴A在B的北偏西10°的方向处．
答案：B
2．(2012·广州高二检测)甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2 km到达B点时，两人距离恰好为 km，那么这时甲走的距离是(　　)
A．2 km B．2 km
C. km D．1 km
解析：假设甲走到了C，则在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°，即()2＝22＋AC2－2×2AC·，解得AC＝1.
答案：D
3．(2012·中山高二检测)某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　)
A．100 m B．100 m
C．50(＋) m D．200 m
解析：在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°，AC＝100，
由正弦定理得＝，
∴BC＝sin 45°＝100.
答案：A
4．(2011·大连模拟)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到D，测得∠BDC＝45°，则塔高为(　　)
A．10 m B．10 m
C．10 m D．20 m
解析：在△BCD中，CD＝10，
∠BDC＝45°，∠BCD＝90°＋15°＝105°，
∠DBC＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理得BC＝＝10，
在Rt△ABC中，AB＝BCtan 60°＝10( m)．
答案：C
二、填空题
5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物点C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________．
解析：设河宽为h m，则＋＝120.
tan 75°＝，
∴h＋ h＝120.解得h＝60 (m)
答案：60 m
6.(2011·厦门模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为______ m.
解析：连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，
∴OC＝50.
答案：50
7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是________．
解析：由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，可得BC＝h，在Rt△ABD中，可得BD＝h，在△ABC中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得3h2＝h2＋5002＋h·500，
解之得h＝500( m)．
答案：500 m
8．甲船在B岛的正南A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是________．
解析：如图，设经过x h距离为S km，则在△BPQ中，由余弦定理知
PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos 120°，
即S2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－)＝28x2－20x＋100.
当x＝－＝时，S2最小，此时x＝ h＝ min.
答案： min
三、解答题
9．(2012·江门模拟)如图，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680 km的空间B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成θ角的方向直飞，在中途C处转向与原方向成45°角的方向直飞到达B处，已知sin θ＝.
(1)求tan C；
(2)求新的飞行路程比原飞行路程多多少 km(取≈1.414)
解：(1)∵sin θ＝，θ为锐角，∴tan θ＝.
tan C＝tan [180°－(45°＋θ)]＝－tan(45°＋θ)
＝－＝－＝－
(2)sin C＝sin (45°＋θ)＝(sin θ＋cos θ)＝
由＝＝，
得AC＝＝＝520，
BC＝＝＝200，
AB＋BC－AB＝520＋200－680＝200－160
≈122.8( km)
答：新飞行路线比原飞行路线多122.8 km.
10．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以10 n mile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以10 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需要的时间．
解：如图所示，设所需时间为t h，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.整理得2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－(舍去)．
舰艇需1 h靠近渔船．
此时AB＝10，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝，
所以∠CAB＝30°.
答：舰艇航行的方位角为75°，靠近渔船需要1 h.

1．某人向正东方向走了x km向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C．2或 D．3
解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC.
即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°.
∴x2－3x＋6＝0.
解得x＝2或x＝.
答案：C
2．海上A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(　　)
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
解析：依题意，A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝180°－A－B＝45°
由正弦定理得，BC＝＝＝5.
答案：D
3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
解析：如图，依题意得OC＝200，∠AOB＝60°－30°＝30°，∠OAB＝90°－60°＝30°，
∴OB＝AB.在Rt△OCA中OA＝＝＝.
在三角形OAB中，由正弦定理得
AB＝＝＝.
答案：A
4.如图，位于港口O正东20 n mile B处的渔船回港时出现故障．位于港口南偏西30°，距港口10 n mileC处的拖轮接到海事部门营救信息后以30 n mile/h的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要________h.
解析：由余弦定理得
BC＝＝10，
从而需 h到达B处．
答案：
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测得公路北侧远处一山在东偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山在东偏北30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD＝________ km.
解析：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°－15°＝15°，
∴BC＝AB＝5.
在△BCD中，
CD＝BC·tan ∠DBC＝BC·tan 15°＝5×(2－)．
答案：10－5
6.如图所示，海中小岛A周围37.5 n mile内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30 n mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
解：在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠BCA＝135°，
∴A＝15°.
由正弦定理知：＝，即＝.
∴AC＝＝60cos 15°＝60cos(45°－30°)
＝60(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝15(＋)．
于是，A到BC所在直线的距离为
ACsin 45°＝15(＋)×＝15(＋1)(n mile)．
由于37.5＝15×<15(＋1)
所以船继续向南航行，没有触礁的危险．

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)
1．(2012·福州高二检测)在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，则b等于(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：法一：由正弦定理得b＝＝＝.
法二：可知C＝90°，∴b＝atan B＝tan 60°＝.
答案：D
2．(2012·洛阳高二检测)在△ABC中，b＝1，c＝，B＝30°.则a的值为(　　)
A.或1 B．1
C．1或2 D．2
解析：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos B.
∴12＝a2＋3－2a··cos 30°，即a2－3a＋2＝0.
解得a＝1或2.
答案：C
3．在△ABC中，已知(a＋c)(a－c)＝b2＋bc，则A等于(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝－，
∴A＝120°.
答案：C
4．(2012·曲师大附中高二检测)已知△ABC中，AB＝，AC＝1，C＝120°，则△ABC的面积等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：设BC＝x，由余弦定理得，
()2＝x2＋1－2x·cos 120°，
∴x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2(舍去)．
∴BC＝1，∴S△ABC＝AC·BC·sin 120°＝×1×1×＝.
答案：B
5．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据(　　)
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
解析：由A、B不可到达，故不易测量α，β.C正确．
答案：C
6．(2012·福建师大附中高二检测)在△ABC中，若acos B＝bcos A，则△ABC的形状一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：由已知得，sin Acos B＝cos A·sin B.
∴sin(A－B)＝0.∵0∴－π故△ABC一定为等腰三角形．
答案：D
7．如右图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点仰角分别是β，α(α＜β)，则A点离地面的高度AB等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：在△ACD中，由正弦定理得
＝，
所以AC＝.
在Rt△ABC中，AB＝AC·sin β，
所以AB＝.
答案：A
8．如图BC是圆O的直径，OB＝BP＝1，PA切圆O于点A，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为(　　)
A. B．2
C．7 D.
解析：在Rt△OAP中，OA＝1，OP＝2，则∠DOP＝60°.
在△ODP中，OD＝1，OP＝2，∠DOP＝120°.
由余弦定理得PD2＝1＋4－2×1×2×cos 120°＝7.
PD＝.
答案：D
9．在△AOB(O为坐标原点)中，＝(2cos α，2sin α)，＝(5cos β，5sin β)，若·＝－5，则S△AOB＝(　　)
A．10 B．5
C. D.
解析：∵·＝－5，||＝2，||＝5，
∴cos∠AOB＝＝－，
∴sin∠AOB＝.∴S△AOB＝×2×5×＝.
答案：C
10．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为(　　)
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
解析：由题意知PM＝68 n mile，∠MPN＝120°，
∠N＝45°.由正弦定理，知＝.
∴MN＝68××＝34(n mile)．∴速度为＝(n mile/时)．
答案：A
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
11．满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．
解析：法一：由正弦定理得＝，故＝，即sin C＝，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，可得B＝75°；当C＝120°时，可得B＝15°.
显然这两解均符合题意，故这样的三角形有2个．
法二：∵c· sin A＝×sin 45°＝∴△ABC有两个．
答案：2
12．(2012·北京东城区模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________.
解析：由正弦定理＝得，＝，
sin C＝，C＝30°，A＝C＝30°，a＝c＝.
答案：
13．(2012·宿豫区高二月考)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2－c2＝b2－bc，b＝2，△ABC的面积为2，则c＝________.
解析：由a2－c2＝b2－bc得，
b2＋c2－a2＝bc.
∴cos A＝＝.
∴A＝60°.∵S△ABC＝bcsin A＝×2c·sin 60°＝2.
∴c＝4.
答案：4
14．(2012·山东省实验中学一诊)在△ABC中，·＝|－|＝2，则△ABC面积的最大值为________．
解析：由·＝|－|＝2，
得b·ccos A＝a＝2.
cos A＝＝－≥1－＝1－cos A，
∴cos A≥.又0∴0S△ABC＝bcsin A＝·sin A＝tan A≤.
答案：
三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．
解：(1)设三边a＝k－1，b＝k，c＝k＋1，k∈N＋且k>1.
∵C为钝角，
∴cos C＝＝<0.
解得1∵k∈N＋，∴k＝2或3.
但k＝2时不能构成三角形应舍去
当k＝3时，
a＝2，b＝3，c＝4，cos C＝－，
(2)设夹C角的两边为x，y，x＋y＝4
S＝xysin C＝x(4－x)·＝·(－x2＋4x)
当x＝2时，S最大＝.
16．(12分)(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.
17．(12分)(2011·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B(p∈R)，且ac＝b2.
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．
解：(1)由题设并利用正弦定理，得
解得或
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝p2b2－b2－b2cos B，
即p2＝＋cos B，
因为0＜cos B＜1，得p2∈(，2)．
由题设知p＞0，所以＜p＜.
p的取值范围为(，)．
18．(14分)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.
又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，
所以BD＝BA.
在△ABC中，＝，
∠ABC＝75°－60°＝15°，
即AB＝＝，
因此，BD＝≈0.33 km.
故B、D的距离约为0.33 km.
答：A、B两点间距离与BD相等，BD约为0.33 km.