初中数学人教版七年级下学期 第九章 9.1.2 不等式的性质

初中数学人教版七年级下学期 第九章 9.1.2 不等式的性质
一、单选题
1．已知aA．xy C．x＝y D．无法确定
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴(a-b)2>0，
即a2-2ab+b2>0，
左右两边同时加4ab，得：
a2-2ab+b2+4ab>4ab，
即a2+2ab+b2>4ab，
∴(a+b)2>4ab.
∵a∴a+b<0，
不等式(a+b)2>4ab左右两边同时除以(a+b)，得：
，
左右两边同时除以2，得：
即x故答案为：A.
【分析】本题要比较的代数式中含(a+b)，2ab等，所以考虑应用完全平方公式. 由a0，进而变形为(a+b)2>4ab. 由已知a4ab左右两边同时除以负数(a+b)，不等号方向改变，得到，进而推出，得解.
2．（2020八上·德江期末）已知 ，下列式子不成立的是（　　）
A． B．
C． D． ，那么
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. 不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B. 不等式两边同时乘以4，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C. 不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
D. 不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
3．（2020八上·苍南期末）对不等式a>b进行变形，结果正确的是（　　）
A．a-b<0 B．a-2>b-2 C．2a<2b D．1-a>1-b
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵a>b ，将不等式的两边同时减去b可得 a-b＞0，故A不正确；
B、∵a>b ，将不等式的两边同时减去2可得 a-2＞b-2，故B不正确；
C 、∵a>b ，将不等式的两边同时乘以2可得2a＞2b，故C不正确；
D、∵a>b ，将不等式的两边同时乘以-1可得 -a＜-b，然后将不等式两边同时加1可得1-a＜1-b，故D不正确.
故选B.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此逐一判断即可.
4．（2019八上·鄞州期中）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．1+a＞1+b C．﹣3a＞﹣3b D． ＜
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；
B、两边都加1，不等号的方向不变，故B正确；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、两边都除以3，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
5．（2019八上·苍南期中）在数轴上表示不等式 ，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：数轴上表示x≥-2，取表示-2的实心点，向右画出解集；
在数轴上表示x＜4，取表示4的空心点，向左画出解集.
故选：A．
【分析】根据不等式组 的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
6．（2019七下·惠阳期末）下列不等式变形中，一定正确的是（　　）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则am2＞bm2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若m＞n，则﹣
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、若ac＞bc，c＜0，则a＜b，所以A选项不符合题意；
B、若a＞b，m＝0，则am2＞bm2不成立，所以B选项不符合题意；
C、若ac2＞bc2，c2＞0，则a＞b，所以C选项符合题意；
D、若m＞n，则﹣ m＜﹣ n，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】据不等式的性质，对选项逐个分析判断即可。不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。
二、填空题
7．（2020八上·北仑期末）若a”<”或“=”)
【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b，
∴-5a＞-5b.
故答案为：＞.
【分析】在不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，据此可求解。
8．当 a=　 　时，关于 x 的不等式 2x-a＞-3
的解集如图．
【答案】1
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵2x-a＞-3，∴∵由图可知 x＞-1，∴ 解得a=1．
故答案为：1．
【分析】首先将a作为字母系数，求出不等式的解集，再根据数轴得出该不等式的解集，由于根据不同方法得出的同一个不等式的解集应该相等，从而列出方程，求解即可.
三、计算题
9．利用不等式性质将不等式化成“x>a”或“x（1）6x-4≥2
（2）1-2x>9
【答案】（1）解：6x-4≥2不等式两边同时加上4，得6x-4+4≥2+4
即6x≥6
不等式两边同时除以6，得
x≥1
（2）解：1-2x>9
不等式两边同时减去1，得1-2x-1>9-1
即-2x>8
不等式两边同时除以-2，得
x<-4
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上4，再利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以6，可得到不等式的解集。
（2）利用不等式的性质1： 不等式两边同时减去1，再利用不等式的性质3，在不等式两边同时除以-2，不等号的方向改变，就可求出不等式的解集。
四、综合题
10．
（1）①如果 a-b＜0，那么 a　 　b；②如果 a-b=0，那么 a　 　b；
③如果 a-b＞0，那么 a　 　b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）解：(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=-x2 ≤ 0，
∴3x2-3x+7 ≤ 4x2-3x+7
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)①∵a-b＜0
∴a-b+b＜0+b，
∴a＜b
②∵a-b=0
∴a=b；
③∵a-b＞0
∴a-b+b＞0+b
∴a＞b
故答案为：＜，=，＞
【分析】（1）利用不等式的性质1，可分别得到a与b的大小关系。
（2）利用（1）的方法，可以利用求差法比较a，b的大小。
（3）利用求差法，求出两代数式的差，根据两代数式的差-x2的大小关系，可得到两代数式的大小。
11．（2019八上·霸州期中）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）试确定m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长；
（3）若△ABC为等腰三角形，试确定另外两边的长．
【答案】（1）解：根据三角形的三边关系得
，
解得3＜m＜5；
（2）解：∵△ABC的三边均为整数， ∴m＝4，
∴△ABC的周长＝m﹣2+2m+1+8＝19；
（3）解：当m﹣2＝2m+1时，
解得m＝﹣3（不合题意，舍去），
当m﹣2＝8时，
解得，m＝10＞5（不合题意，舍去），
当2m+1＝8时，
解得，m＝ ，
所以若△ABC为等腰三角形，m＝ ，
则m﹣2＝ ，2m+1＝8，
所以，另外两边的长为 和8．
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系，可得①（m-2）+（2m+1）＞8，（2m+1）-（m-2）＜8，解①②组成的不等式组可得；（2）根据题意和m的取值，即可得出m=4，从而得出边的长，三边相加即可求得三角形的周长；（3）分三种情况分别讨论即可求得m= ，代入m-2，2m+1即可求得另外两边的长．
五、作图题
12．（2019七上·句容期中）如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1且小于2的数（数轴上1与2这两个数的点空心，表示这个范围不包含数1和2）.
请你在数轴上表示出一个范围，使得这个范围：
（1）包含所有大于-3且小于0的数［画在数轴（1）上］；
（2）包含 这两个数，且只含有5个整数［画在数轴（2）上］；
（3）同时满足以下三个条件：［画在数轴（3）上］
①至少有100对互为相反数和100对互为倒数；
②有最小的正整数；
③这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4.
【答案】（1）解：画图如下：
（2）解：画图如下：
（3）解：画图如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【分析】（1）和（2）可以直接根据题意，在数轴上包含这个点，用实心圆点，不包含这个点，用空心圆圈即可；（3）由于数轴上-2到2之间有无数个实数，并且包含1和-1，也大于3，小于4，由此即可画出图形.
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一、单选题
1．已知aA．xy C．x＝y D．无法确定
2．（2020八上·德江期末）已知 ，下列式子不成立的是（　　）
A． B．
C． D． ，那么
3．（2020八上·苍南期末）对不等式a>b进行变形，结果正确的是（　　）
A．a-b<0 B．a-2>b-2 C．2a<2b D．1-a>1-b
4．（2019八上·鄞州期中）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．1+a＞1+b C．﹣3a＞﹣3b D． ＜
5．（2019八上·苍南期中）在数轴上表示不等式 ，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2019七下·惠阳期末）下列不等式变形中，一定正确的是（　　）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则am2＞bm2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若m＞n，则﹣
二、填空题
7．（2020八上·北仑期末）若a”<”或“=”)
8．当 a=　 　时，关于 x 的不等式 2x-a＞-3
的解集如图．
三、计算题
9．利用不等式性质将不等式化成“x>a”或“x（1）6x-4≥2
（2）1-2x>9
四、综合题
10．
（1）①如果 a-b＜0，那么 a　 　b；②如果 a-b=0，那么 a　 　b；
③如果 a-b＞0，那么 a　 　b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
11．（2019八上·霸州期中）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）试确定m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长；
（3）若△ABC为等腰三角形，试确定另外两边的长．
五、作图题
12．（2019七上·句容期中）如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1且小于2的数（数轴上1与2这两个数的点空心，表示这个范围不包含数1和2）.
请你在数轴上表示出一个范围，使得这个范围：
（1）包含所有大于-3且小于0的数［画在数轴（1）上］；
（2）包含 这两个数，且只含有5个整数［画在数轴（2）上］；
（3）同时满足以下三个条件：［画在数轴（3）上］
①至少有100对互为相反数和100对互为倒数；
②有最小的正整数；
③这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴(a-b)2>0，
即a2-2ab+b2>0，
左右两边同时加4ab，得：
a2-2ab+b2+4ab>4ab，
即a2+2ab+b2>4ab，
∴(a+b)2>4ab.
∵a∴a+b<0，
不等式(a+b)2>4ab左右两边同时除以(a+b)，得：
，
左右两边同时除以2，得：
即x故答案为：A.
【分析】本题要比较的代数式中含(a+b)，2ab等，所以考虑应用完全平方公式. 由a0，进而变形为(a+b)2>4ab. 由已知a4ab左右两边同时除以负数(a+b)，不等号方向改变，得到，进而推出，得解.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. 不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B. 不等式两边同时乘以4，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C. 不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
D. 不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵a>b ，将不等式的两边同时减去b可得 a-b＞0，故A不正确；
B、∵a>b ，将不等式的两边同时减去2可得 a-2＞b-2，故B不正确；
C 、∵a>b ，将不等式的两边同时乘以2可得2a＞2b，故C不正确；
D、∵a>b ，将不等式的两边同时乘以-1可得 -a＜-b，然后将不等式两边同时加1可得1-a＜1-b，故D不正确.
故选B.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；
B、两边都加1，不等号的方向不变，故B正确；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、两边都除以3，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：数轴上表示x≥-2，取表示-2的实心点，向右画出解集；
在数轴上表示x＜4，取表示4的空心点，向左画出解集.
故选：A．
【分析】根据不等式组 的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、若ac＞bc，c＜0，则a＜b，所以A选项不符合题意；
B、若a＞b，m＝0，则am2＞bm2不成立，所以B选项不符合题意；
C、若ac2＞bc2，c2＞0，则a＞b，所以C选项符合题意；
D、若m＞n，则﹣ m＜﹣ n，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】据不等式的性质，对选项逐个分析判断即可。不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。
7．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b，
∴-5a＞-5b.
故答案为：＞.
【分析】在不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，据此可求解。
8．【答案】1
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵2x-a＞-3，∴∵由图可知 x＞-1，∴ 解得a=1．
故答案为：1．
【分析】首先将a作为字母系数，求出不等式的解集，再根据数轴得出该不等式的解集，由于根据不同方法得出的同一个不等式的解集应该相等，从而列出方程，求解即可.
9．【答案】（1）解：6x-4≥2不等式两边同时加上4，得6x-4+4≥2+4
即6x≥6
不等式两边同时除以6，得
x≥1
（2）解：1-2x>9
不等式两边同时减去1，得1-2x-1>9-1
即-2x>8
不等式两边同时除以-2，得
x<-4
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上4，再利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以6，可得到不等式的解集。
（2）利用不等式的性质1： 不等式两边同时减去1，再利用不等式的性质3，在不等式两边同时除以-2，不等号的方向改变，就可求出不等式的解集。
10．【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）解：(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=-x2 ≤ 0，
∴3x2-3x+7 ≤ 4x2-3x+7
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)①∵a-b＜0
∴a-b+b＜0+b，
∴a＜b
②∵a-b=0
∴a=b；
③∵a-b＞0
∴a-b+b＞0+b
∴a＞b
故答案为：＜，=，＞
【分析】（1）利用不等式的性质1，可分别得到a与b的大小关系。
（2）利用（1）的方法，可以利用求差法比较a，b的大小。
（3）利用求差法，求出两代数式的差，根据两代数式的差-x2的大小关系，可得到两代数式的大小。
11．【答案】（1）解：根据三角形的三边关系得
，
解得3＜m＜5；
（2）解：∵△ABC的三边均为整数， ∴m＝4，
∴△ABC的周长＝m﹣2+2m+1+8＝19；
（3）解：当m﹣2＝2m+1时，
解得m＝﹣3（不合题意，舍去），
当m﹣2＝8时，
解得，m＝10＞5（不合题意，舍去），
当2m+1＝8时，
解得，m＝ ，
所以若△ABC为等腰三角形，m＝ ，
则m﹣2＝ ，2m+1＝8，
所以，另外两边的长为 和8．
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系，可得①（m-2）+（2m+1）＞8，（2m+1）-（m-2）＜8，解①②组成的不等式组可得；（2）根据题意和m的取值，即可得出m=4，从而得出边的长，三边相加即可求得三角形的周长；（3）分三种情况分别讨论即可求得m= ，代入m-2，2m+1即可求得另外两边的长．
12．【答案】（1）解：画图如下：
（2）解：画图如下：
（3）解：画图如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【分析】（1）和（2）可以直接根据题意，在数轴上包含这个点，用实心圆点，不包含这个点，用空心圆圈即可；（3）由于数轴上-2到2之间有无数个实数，并且包含1和-1，也大于3，小于4，由此即可画出图形.
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