22.4圆周角

22.4圆周角
教学目的
　　1．使学生正确理解圆周角的概念．
　　2．掌握圆周角定理及其证明的思路．
　　3．通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题和“转化”的思想和方法．
教学重点和难点
重点：圆周角的概念和圆周角定理．
难点：对圆周角定理证明中所使用的转化方法的理解和掌握．
教学过程
一、复习提问
　　1．什么叫圆心角．
　　强调顶点在圆心的角的两边一定和圆相交．
　　2．叙述圆心角定理的内容．
二、引入新课
　　如果把圆心角的顶点移动，就不再是圆心角了．当角的顶点移动到圆上时，如图7—92中，∠B1AC1的顶点在圆上，两边都不和圆相交；∠B2AC1的顶点在圆上，只有一边和圆相交；∠B2AC2顶点在圆上，两边都和圆相交，我们把顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．(写出课题)
三、新课
　　1．圆周角的定义顶点在圆上并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．
　　从定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交．
　　观察图7—93中，哪些角是圆周角．
　　圆(1)，(2)中的∠B1A1C1和∠B2A2C2不是圆周角，因为它们的顶点不在圆上(一个顶点在圆内，一个顶点在圆外)；图(3)中的∠B3A3C3、∠C3A3D3、∠B3A3D3都是圆周角，它们的顶点都在圆上，并且两边都和圆相交；图(4)中的∠B4A4D4、∠D4A4C4都不是圆周角，因为它们的顶点虽在圆上，但它们的两边中至少有一边不和圆相交．
　　2．圆周角定理
　　圆心角和圆周角都是和圆有关的角，圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢？圆周角与圆心角之间有什么关系呢？
　　观察图7—94中，∠BAC、∠BA1C、∠BA2C都是BC所对的圆周角，BC所对的圆心角是∠BOC．其中∠BAC与∠BOC关系很容易发现，因为O点在边AB上，∠BOC是△OAC的外角，又因为OA=OC，可知∠BAC=∠ACO，所以周角定理．(写出定理)
　　圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
　　已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．求
　　证明：分三种情况讨论．
　　
　　(1)如图7—95(1)中，圆心O在∠BAC一边上．
　　
　　(2)如图7—95(2)中，圆心O在∠BAC的内部．
　　作直径AD，由(1)可知，
　
　　
　　(3)如图7—95(3)中，圆心O在∠BAC的外部．
　　作直径AD，由(1)可知，
　　
　　总结：定理证明用的是“分类讨论”方法．先证明圆心在圆周角的边上这种特殊情况，再证明圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部的情况．对后两种情况，是通过添加辅助线——作过圆周角顶点的直径．转化成已证过的特殊情况加以解决．这种“转化”思想方法是一种重要的数学思想方法．解题时我们总是把复杂问题转化成简单问题，把一般情况转比成特殊情况，把未知问题转化成已知问题．如平行四边形的面积问题，是转比成矩形的面积问题解决的；三角形面积问题是转化成平行四边形的面积问题解决的．学习圆周角定理，不仅要掌握定理的内容，还要重视对定理证明过程中所使用的“分类讨论”和“转化”方法的理解．在今后的学习中和解决数学问题时，应逐步学会运用这些方法．
　　圆周角定理表明了圆心角和圆周角之间的倍半关系．因为“圆心角的度数和它所对弧的度数相等”，可以推知：
　　圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
　　例1 如图7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．
　　求证：∠ACB=2∠BAC．
　　证明：由OA、OB、OC都是⊙O的半径可知，
　　
　
　　例2 如图7—97，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．
　　解：∵⊙O是△ABC的外接圆
　　∴∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角．
　　又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°，
　　∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)
　　　　　 =180°-(50°＋47°)=83°．
　　
　　∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．
四、小结
　　强调要正确理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其证明的思路．
　　说明圆周角定理也可以理解成：“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍．”