2021-2022学年人教版八年级下册17.2勾股定理的逆定理课后培优（Word版含答案）

17.2 勾股定理的逆定理
一、单选题
1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，4
2．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．如图①，分别以Rt△PMN（MN＞NP）的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，再按图②的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内，则下列结论不成立的是（ ）
A．CF＝AG
B．以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形
C．AE＋CG＝AB
D．四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等
4．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
5．若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
7．在如图的方格中， ABC的顶点 A、 B、 C都是方格线的交点，则三角形 ABC的外角ACD的度数等于（ ）
A．130 B．140 C．135 D．145
8．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．10 B．12 C． D．
9．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠C＝∠A+∠B
11．三角形三边长分别是6，10，8，则它的最长边上的高为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．4.8
12．小明向东走后，沿方向又走了，再沿方向走了回到原地，则方向是（ ）
A．南向或北向 B．东向或西向 C．南向 D．北向
13．已知，在中，，，D为BC边上的点，，，则DC的长是（ ）．
A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题
14．如图，以点为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过四点，它们依次是，，，，则______（填或“>”、“=”或“<”）
15．已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
16．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．
17．已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于______．
18．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．
19．已知一个三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，则这个三角形的面积为_____cm2．
三、解答题
20．省耕文化公园是昭阳区城市的新名片，公园内有一块四边形ABCD草坪．如图所示，∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，CD＝120米，AD＝130米，求四边形ABCD草坪的面积．
21．如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
22．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，AD⊥BC，垂足为D．求AD的长．
23．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．
24．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
(1)求修建的公路CD的长；
(2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
2．B
解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故选：B．
3．C
解：设Rt△PMN的边MP＝c，MN＝b，NP＝a，其中c＞b＞a，
则AB＝c，CD＝b，EF＝a，a2+b2＝c2．
∵△EFG，△CDG，△ABG为等腰直角三角形，
∴FG＝EG＝a，DG＝CG＝b，BG＝AG＝c．
∴CF＝＝＝＝c，
∵AG＝c，
∴CF＝AG．
∴A选项正确；
∵AB＝c，CD＝b，EF＝a，
∴CD2+EF2＝b2+a2，AB2＝c2，
∴CD2+EF2＝AB2．
∴以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形．
∴B选项正确；
∵AE+CG＝AC+CE+CG＝AG+EC＝AG+GC﹣GE＝（c+b﹣a），AB＝c，
∴AE+CG≠AB．
∴C选项错误；
∵四边形ABDC的面积＝S△ABG﹣S△GDC
＝ BG AG﹣DG GC
＝×c×c﹣b×b
＝ （c2﹣b2）
＝，
×FG EG＝＝ a2，
∴四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等．
∴D选项正确．
综上，结论不成立的是：C．
故选：C．
4．D
解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故选：D．
5．A
，
不能构成直角三角形，是锐角三角形，
故选：A．
6．B
如图，延长射线AB交格点于点D，
∵每个小正方形的边长为1
∴，
∵
∴∠D=90°
又∵BD=CD
∴△BCD是等腰直角三角形
∴∠DBC=45°
∴∠ABC=180°－∠DBC =180°－45°=135°
故选B．
7．C
解，设每个小方格的长为1
由勾股定理可得，，
∵，即，
∴为等腰直角三角形
∴，
∴
故选C
8．D
解：∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，
∵S△ABC=AB CE=BC AD，
∴13 CE=10×12，
∴CE=，
∴PE+PB的最小值为，
故选：D．
9．C
解:∵，，
∴，
又∵且，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
，即，故④正确；
∵，，，
∴，
∴，故③错误；
如图，连接，
若，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：C．
．
10．A
∵a2＝b2+c2
∴∠A＝90°
故选A．
11．D
解：∵三角形三边长分别是6，10，8
∴62+82=102
∴该三角形为直角三角形
∴该三角形的面积：6×8÷2=24
斜边上的高：24×2÷10=4.8
∴这个三角形最长边上的高是4.8．
故选：D．
12．A
解：设小明一开始的位置为O，向东走到的位置为C，沿A方向走到的位置为D，
∴由题意得OC=80m，CD=60m，OD=100m，
∴，
∴∠OCD=90°，
∵OC的方向为东，
∴CD的方向为南或北，即A的方向为南或北，
故选A．
13．B
解：如图所示：
∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC9，
故选：B．
14．＝
解：连接BC，
∵B（1，2），C（2，4），D（5，3），E（5，1），
∴AE＝DE＝2，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
又∵AB＝，
同理可得BC＝，
AC＝，
则在△ABC中，有AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE，
故答案为：＝．
15．
解：如图，BC=8， BC边上的中线AD=3，
故答案为：5
16．45°
解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：
∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA =2 +4 =20，QB =2 +1 =5，AB =5 =25，
∴QA +QB =20+5=25=AB ，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ =2 +1 =5=QB ，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
17．/4.8
∵三角形的三边分别是6，8，10，
又∵
∴这个三角形是直角三角形
∵最长边上的高
∴最长边上的高为：
故答案为：．
18．150°
解：连接PP′，
∵△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
19．
解：∵三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，
∴（）2+22＝32，
∴这个三角形是直角三角形，斜边长为3cm，
∴这个三角形的面积为2×＝（cm2），
故答案为：．
20．3600米2
解：连接AC，如图所示：
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝302+402＝2500，
∵AC＞0，
∴AC＝50，
在△CAD中，AC2+CD2＝2500+14400＝16900＝AD2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△ADCAB BCAC DC，
30×4050×120
＝3600(米2)，
答：这块四边形草坪ABCD的面积是3600米2．
21．(1)△BDC为直角三角形，理由见解析；
(2)△ABC的周长为=cm．
(1)
解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
(2)
解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．
22．4.8
解：在中，
，，，
，
，
，
，
．
23．点到的距离约为
解：过点作于点，则的长即点到的距离，
在中，
，，，
，，
，
为直角三角形，即，
，
，即，
，
答：点到的距离约为．
24．(1)修建的公路CD的长是12km；
(2)一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
(1)
解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∵AC×BC=AB×CD，
∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
(2)
解：在Rt△BDC中，BD= =16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
答案第1页，共2页