10.5 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
5 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
知识梳理
1.定理：角平分线上的点到这个角的___________相等.
2.定理：在一个角的内部，并且到角的两边____________的点，在这个角的平分线上.
基础练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，CD=2，则BD的长为( )
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
第1题图 第2题图
2.如图，在△ABC中，∠B=42°，AD⊥BC于点D，E是BD上一点，EF⊥AB于点F.若ED=EF，则∠AEC的度数为( )
A.60° B.62° C.64° D.66°
3.如图，∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，D 为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F.若DE=2，则DF=___________.
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若BC=4，DE=1.6，则BD的长为___________.
5.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE 的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥
BA，交BA的延长线于点H.
(1)若点P到直线BA的距离为5，求点P到直线BC的距离；
(2)求证：点P在∠HAC的平分线上.
6.如图，两条公路EA和FB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路EA，FB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置(不写作法，保留作图痕迹)
巩固提高
7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A.8 B.7.5 C. 15 D.无法确定
第7题图 第8题图
8.如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，点M在OP上，且CM=MP=4，则点P到OB的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则BC的长为__________.
10.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为__________.
11.把两个同样大小的含30°角的直角三角形按如图所示的方式放置，其中M是AD与BC的交点.
(1)求证：MC的长度等于点M到AB的距离；
(2)求∠AMB的度数.
12.如图，AD∥BC，∠D=90°.
(1)若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，则P是线段CD的中点吗 请说明理由(点D，P，C在同一条直线上).
(2)若P是线段CD的中点，BP平分∠CBA，∠CPB=30°，求∠PAD的度数.
13.已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线.
(1)如图①，求证
(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
(3)如图③，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD 的长.
参考答案
[知识梳理]
1.两边的距离 2.距离相等
[基础练习]
1.B 2.D 3，4 4. 2.4
5.(1)过点P作PF⊥BE于点F.`.BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF∥BE，∴PF=PH=5.∴点P到直线BC的距离为5.
(2)∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥BE，∴PF=PD.由(1)，得PF=PH，∴PD=PH.又∵PD⊥AC，PH⊥BA，∴点P在△HAC的平分线上.
6.如图，点P1，P2即为货站P的位置.
[巩固提高]
7.B 8.C 10. 4
11.(1)过点M作MN⊥AB于点N.由题意，得∠CBA=∠DAB=30°，∠C=90°，则∠CAD=90°-30°=30° ∠DAB.∴AD平分∠CAB.又∵∠C=90°，MN⊥AB，∴MC=MN.∴MC的长度等于点M到AB的距离.
(2)由题意，知∠MAB=∠MBA=30°，∴∠AMB 30°=120°.
12.过点P作PE⊥AB于点E.(1)P是线段CD的中点 理由：∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°―∠D=90°，即PC⊥BC.∵∠DAB的平分线与∵CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE.∴PC=PD，即P是线段CD的中点.
(2)∵BP平分∠CBA，∴∠PBE=∠PBC.∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°-∠D=90°.∵PE⊥AB，∴∠PEB=∠C=90°.在△PBE和△PBC=中，∴△PBE≌△PBC,∴∠EPB=∠CPB=30°，PE=PC.∵P是线段CD的中点，∴PC=PD.∴PD=PE.
在Rt△PAD和Rt△PAE中，∴Rt△PAD≌Rt△PAE.∴∠APD=∠APE=∠DPE.
∵∠DPE=180°-∠EPB-△∠CPB=180°-30°-30°=120°，∴∠APD=
∴∠PAD=90°-∠APD=30°.
13.(1)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF.
∴
(2)∵BD=CD，∴易得S△ABD= 由(1)，得ACAB=AC
(3)过点A作AE⊥BC于点E.∵S△ABD=BD·AE
由(1)，得 即 .
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