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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21cnj*y.co*m】
专题02 几何思想之三角形中位线的应用提高专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）．
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【标准答案】D
【思路指引】
利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．
【详解详析】
解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．
∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．
∴EF=EH，EF⊥EH，
∴BD=2EF，AC=2EH，EF//BD，EH//AC
∴AC=BD，AC⊥BD，
即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，
选项D满足题意．
故选：D．
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【名师指路】
本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．
2．如图，在中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ）
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A．14 B．16 C．18 D．20
【标准答案】B
【思路指引】
根据勾股定理先求出BC的长 ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，即可求得其周长．
【详解详析】
在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE= 12 AC=3
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．
故选B．
【名师指路】
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定；熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．2·1·c·n·j·y
3．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是D ( http: / / www.21cnjy.com )C，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）．2-1-c-n-j-y
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A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
【标准答案】C
【思路指引】
因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF= AR，因此线段EF的长不变．
【详解详析】
如图，连接AR，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF= AR，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
4．如图，D是△ABC内一点，BD⊥C ( http: / / www.21cnjy.com )D，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．14 C．24 D．21
【标准答案】A
【思路指引】
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解详析】
∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12.
故选A.
【名师指路】
此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．60° C．70° D．80°
【标准答案】C
【详解详析】
试题分析：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥BC．∴∠C=∠AED=70°．
故选C．
6．如图，顺次连接任意四边形ABCD各 ( http: / / www.21cnjy.com )边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
连接AC，BD，根据三角形中位线定理“三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．
【详解详析】
解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，
∴EF//GH，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故选：B．
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【名师指路】
此题考查了三角形的中位线 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形．
7．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）
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A． B．2 C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
作出如图的图形，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长，利用三角形中位线定理以及勾股定理即可求解．
【详解详析】
解：如图，以BD为对称轴作△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABD的轴对称图形△A1BD，取A1B的中点M1，则点M和点M1关于直线BD对称，连接MN，MM1，M1N，AA1，AA1与BD交于点O，M1N与BD交于点P，
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时PM+PN最小，最小值为M1N的长，
在矩形中ABCD中，AB=2，BD=4，
则∠ABD=60°，∠BAO=30°，
∴BO=AB=1，
则AO==，
∴AA1=2，
∵点M，N，M1分别是AB，AD，A1B的中点，
∴MM1和MN分别是△ABA1和△ABD的中位线，且AA1⊥BD，
∴MM1//AA1， MN//BD， MM1=AA1=，MN=BD=2，MM1⊥M1N，
∴M1N=，
则PM+PN的最小值为，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60° ( http: / / www.21cnjy.com )，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（ ）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
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A．①③④
B．①④
C．①②③
D．②③④
【标准答案】A
【思路指引】
由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，因此，得出四边形是菱形，④正确；由菱形的性质得出，由证明，得出，得出②不正确；由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确；即可得出结果．
【详解详析】
解：四边形是菱形，
，，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中位线，
，①正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，④正确；
，
由菱形的性质得：，
在和中，
，
，
，②不正确；
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故③正确；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了菱形的判定与性质、全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．21教育网
9．边长为1的等边，分别取，边的中点，，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作照此规律作下去，则等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2021的值．
【详解详析】
∵E是BC的中点，EF∥AC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴
∵BC 边的中点为 D ，
∴，
∴四边形EDAF是菱形，
∴ ；
同理求得：，
∴．
故选C．
【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．【版权所有：21教育】
10．如图，在矩形ABCD中，，，点E为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
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A．2 B． C． D．1
【标准答案】D
【思路指引】
分别连接BD、；根据矩形和勾股定理的性质，得；根据轴对称性质，得；当点不在BD上时，根据三角形边角关系的性质，得，当点在BD上时，得，即可得到最小值，再结合三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
【详解详析】
如图，分别连接BD、
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∵矩形ABCD中，，
∴
∴
∵将沿DE折叠，点A落在处，
∴
当点不在BD上时，
∴
当点在BD上时，
∴最小值为2
∵F，G分别为，BC的中点
∴为的中位线
∴
∴FG的最小值为1
故选：D．
【名师指路】
本题考查了矩形、三角形、轴对称、勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、轴对称、三角形三边关系、三角形中位线的性质，从而完成求解．21cnjy.com
二、填空题
11．如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是______．21*cnjy*com
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① ②BG垂直平分DE ③ ④ ⑤
【标准答案】①②⑤
【思路指引】
先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠B ( http: / / www.21cnjy.com )CG=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③．
【详解详析】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC，
∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC=22.5°，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=ED，
又∵M是DE的中点，
∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，
∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确，
∴∠MAG+∠MGA=90°，
∵∠CBG+∠CGB=90°，
∴∠DAC=∠GBC=22.5°，
∴∠GBE=22.5°，
∴2∠GBE=45°，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确；
∴CD=CG，
∵AC=BC=BD+CD，
∴AC=BE+CG，故⑤正确；
∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，
∴∠G≠2∠GBE，故④错误；
如图所示，延长BE交AC延长线于G，
∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵BC⊥AH，
∴C为AH的中点，
∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线，
∴BE≠HE，即E不是BH的中点，
∴CE不是△ABH的中位线，
∴CE与AB不平行，
∴BE与CE不垂直，故③错误；
故答案为：①②⑤．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件．21·世纪*教育网
12．如图，将长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，HE与AD交于点P，连接HF，当，时，则P到HF的距离是______．
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【标准答案】
【思路指引】
连接FC，过点H作，过点P作，线段PM长度即为所求，根据折叠及矩形的性质可得，，，，，，由全等三角形及平行线的判定得出，，，点A、H、G三点共线，且，点H为AG中点，设，则，，利用勾股定理可得，，由三角形中位线的判定及性质可得，，最后在两个三角形与中，利用等面积法求解即可得．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：如图所示：连接FC，过点H作，过点P作，线段PM长度即为所求，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，
∴，，，，，，
∴，，，
∴点A、H、G三点共线，且，点H为AG中点，
设，则，，
在中，
，
即，
解得：，
∴，，
∵且点H为AG中点，
∴HP为中位线，
∴，，
在中，
，
，即，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【名师指路】
题目主要考查矩形及图形折叠的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的性质及平行线的判定，中位线的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝5，BD＝12，则菱形ABCD的面积为_____．
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【标准答案】96
【思路指引】
根据菱形的性质和已知条件可得OE ( http: / / www.21cnjy.com )是Rt△DOC斜边上的中线，由此可求出DC的长，再根据勾股定理可求出OC的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解详析】
∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，
∴DO⊥CO，DO＝BO＝BD＝6，
∵E是DC边上的中点，
∴OE＝DC，
∴DC＝10，
∴OC＝＝8，
∴AC＝2OC＝16，
∴则菱形的面积＝×16×12＝96，
故答案为96．
【名师指路】
本题考查了三角形中位线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
14．如图，在Rt△ABC中，AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___．
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【标准答案】
【思路指引】
利用勾股定理求出AB，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，求出BK，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系解答．
【详解详析】
解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴,
如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，
∴，
∵M是AE的中点，F是EK的中点，
∴MF是△AEK的中位线，
∴，
在△ABK中，，
∴，即，
∴，
∴线段FM的最大值是，
故答案为：．
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【名师指路】
此题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．www.21-cn-jy.com
15．如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为________．
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【标准答案】13
【思路指引】
首先证明，求出的最小值即可，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小．
【详解详析】
解：如图，连接．
，，
，
，
求出的最小值即可，
作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，
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四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为13．
【名师指路】
本题考查轴对称最短问题，三角形中位线定理，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
16．如图，四边形是长方形，是的中点，将折叠后得到，延长交于点，若，，则的长为______．
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【标准答案】
【思路指引】
首先过点作于，交于，易证得，是的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得，由折叠的性质，可得，继而求得的值，又由勾股定理，即可求得的长．
【详解详析】
解：过点作于，交于，
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四边形是矩形，
，，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
在和中
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了矩形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17．如图，矩形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
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【标准答案】
【思路指引】
取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP⊥AH时，PB有最小值，即可求解．
【详解详析】
解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴AH//CE，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH//EC，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为，
故答案为．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
18．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别处，的中点，连接，则的长度为______．
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【标准答案】
【思路指引】
连接AH并延长交CD于点M，连接PM，根据ASA证明△AEH≌△MDH，得出H是AM的中点，AE＝DM＝2，根据勾股定理求出PM＝2，最后根据三角形中位线定理即可求解．
【详解详析】
解：连接AH并延长交CD于点M，连接PM，过点C作CN⊥PM，
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∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴∠C＝120°，AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，
∵点E，P分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CP＝×4=2，
∵AB∥CD，
∴∠AEH＝∠MDH，
∵H是DE的中点，
∴EH＝DH，
在△AEH和△MDH中，
∵ ，
∴△AEH≌△MDH（ASA），
∴AE＝DM＝2，AH＝MH，
∴CM＝CD DM＝2，
∵在△CMP中，∠C=120°，CP=CM=2，CN⊥PM，
∴∠CMP=∠CPM=30°，
∴CN=CM=1，
∴PN=MN=，
∴PM＝×2=2，
∵点G，H分别是AP，AM的中点，
∴GH＝PM＝．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质并由此证明△AEH≌△MDH是解题的关键．
19．如图，在中，点，点分别是的中点，点是上一点，，，，则_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】2
【思路指引】
延长AF交BC于H，根据DE是△ABC的中 ( http: / / www.21cnjy.com )位线判断出AF=FH，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CH=AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
【详解详析】
解：如图，延长AF交BC于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点D，点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AF=FH，
∵∠AFC=90°，
∴CF垂直平分AH，
∴CH=AC=6cm，
∵BC=10cm，
∴BH=BC-CH=10-6=4cm，
在△ABH中，DF是中位线，
∴DF=BH=×4=2cm；
故答案为2．
【名师指路】
本题考查了三角形的中位线平行于第 ( http: / / www.21cnjy.com )三边并且等于第三边的一半，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，作辅助线构造出以DF为中位线的三角形是解题的关键；方法二考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解更简便．
20．如图，△ABC的周长为64，E、F、 ( http: / / www.21cnjy.com )G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
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【标准答案】 16
【详解详析】
∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，
∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16，
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-1，
故答案为：16，64×（）n-1．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD是一个菱形绿草地，其周长为40m，∠ABC＝120°，在其内部有一个矩形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边中点，现准备在花坛中种植茉莉花，其单价为30元/m2，则需投资资金多少元？（ 取1.732）
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【标准答案】2598元
【思路指引】
根据菱形的性质，先求出菱形的一条对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )，由勾股定理求出另一条对角线的长，由三角形的中位线定理，求出矩形的两条边，再求出矩形的面积，最后求得投资资金．
【详解详析】
连接BD，AD相交于点O，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是一个菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵菱形的周长为40m，
∴菱形的边长为10m，
∴BD＝10m，BO＝5m，
∴在Rt△AOB中，m，
∴AC＝2OA＝m，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH＝BD ＝5m，EF＝AC＝5m，
∴S矩形＝5×5＝50m2，
则需投资资金50×30=1500×1.732≈2598元
【名师指路】
本题考查了二次根式的应用，勾股定理， ( http: / / www.21cnjy.com )菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理是解题的关键．21*cnjy*com
22．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【思路指引】
（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；21·cn·jy·com
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（ ( http: / / www.21cnjy.com )cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解详析】
（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．【出处：21教育名师】
23．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
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求证：（1）；
（2）和互相平分．
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析．
【思路指引】
（1）利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；
（2）由（1）的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线和互相平分．
【详解详析】
（1）在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG
（2）由（1）知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴和互相平分
【名师指路】
此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是解题关键．
24．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）6．
【思路指引】
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【详解详析】
证明：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．
25．小乾同学提出一种新图形定 ( http: / / www.21cnjy.com )义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：
①等垂四边形两个钝角的和为 °；
②若等垂四边形的两底平行，则它的最小内角为 °．
(2)拓展研究：
①小坤同学发现两底中点的 ( http: / / www.21cnjy.com )连线与腰长有特定的关系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°，请按此方法求出MN与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数．
②如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 ．
(3)实践应用：如图3，直线l1 ( http: / / www.21cnjy.com )，l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离带最长为多少米？
【标准答案】(1)①270；②45；
(2)①，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45°，理由见解析；②；
(3)650米
【思路指引】
（1）①延长CD与BA延长线交于点P，则 ( http: / / www.21cnjy.com )∠P=90°，可以得到∠B+∠C=90°，再由∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，即可得到∠BAD+∠ADC=270°；②延长CD交BA延长线于P，过点D作DE∥AB交BC于E，则∠DEC=∠B，由等垂四边形的两底平行，即AD∥BC，可证四边形ABED是平行四边形，得到DE=AB，再由AB=CD，AB⊥CD得到DE=CD，DE⊥CD，则∠DEC=∠C=45°，即四边形ABCD的最小内角为45°；
（2）①延长CD交BA延长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180°得到DE，连接CE，BE，由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，∠ABM=∠DEM，则CD=AB=DE，AB∥DE，即可推出∠DEC=∠DCE，∠EDC=∠EDP=∠BPD=90°，由勾股定理得到，∠DEC=∠DCE=45°，再证MN是△BCE的中位线，得到，MN∥CE，则∠NQC=∠DCE=45°，由此即可推出直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45°；②延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N连接PM，PN，同理可得∠APD=90°，则，，即，由（2）①可知，即可推出，再由∠PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，∠PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、C三点共线由勾股定理得：，则；
（3）仿照（2）②进行求解即可．
(1)
解：①如图所示，延长CD与BA延长线交于点P，
∵四边形ABCD为等垂四边形，即AB=CD，AB⊥CD，
∴∠P=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠BAD+∠ADC=270°，
故答案为：270；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图所示，延长CD交BA延长线于P，过点D作DE∥AB交BC于E，
∴∠DEC=∠B，
∵等垂四边形的两底平行，即AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
又∵AB=CD，AB⊥CD
∴DE=CD，DE⊥CD，
∴∠DEC=∠C=45°，
∴四边形ABCD的最小内角为45°，
故答案为：45；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
解：①，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45°，理由如下：
延长CD交BA延长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180°得到DE，连接CE，BE，21世纪教育网版权所有
∵四边形ABCD是等垂四边形，
∴AB=CD，AB⊥CD，
∴∠BPC=90°，
∵M是AD的中点，
∴MA=MD，
由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，∠ABM=∠DEM，
∴CD=AB=DE，AB∥DE，
∴∠DEC=∠DCE，∠EDC=∠EDP=∠BPD=90°，
∴，∠DEC=∠DCE=45°，
又∵M、N分别是BE，BC的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴，MN∥CE，
∴∠NQC=∠DCE=45°，
∵∠BPC=90°，
∴∠QPF=90°，
∴∠QFP=45°，
∴直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45°；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图所示，延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N连接PM，PN，
同理可得∠APD=90°，
∴，，即，
由（2）①可知，
∵，
∴，
又∵∠PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，∠PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、C三点共线21教育名师原创作品
由勾股定理得：，
∴
故答案为：；
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(3)
解：如图所示，取AB，CD的中点M，N，连接MN，作点C关于M的对称点E，连接CE，AE，DE，设直线l1与直线l2交于点P，
由（2）可知，AE∥BC，AE=BC=240米，
∵l1⊥l2，
∴∠APB=∠PAE=90°，
∴∠DAE=90°，
∴米，
∵M、N分别是CE，CD的中点，
∴MN是△CED的中位线，
∴米，MN∥DE，
∵M为AB的中点，∠APB=90°，
∴米，
同理可得，即
∴米，
∴米，
∴隔离带最长为650米．
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【名师指路】
本题主要考查了等腰直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形三边的关系等等，解题的关键在于能够正确理解题意作出辅助线求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题02 几何思想之三角形中位线的应用提高专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）．A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形21·世纪*教育网
2．如图，在中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．14 B．16 C．18 D．20
3．如图，已知四边形ABCD，R， ( http: / / www.21cnjy.com )P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
4．如图，D是△ABC内一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．14 C．24 D．21
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点 ( http: / / www.21cnjy.com )，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B．2 C． D．
8．如图，在菱形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（ ）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．21教育网
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A．①③④
B．①④
C．①②③
D．②③④
9．边长为1的等边，分别取，边的中点，，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作照此规律作下去，则等于（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，，，点E为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
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A．2 B． C． D．1
二、填空题
11．如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是______．【来源：21·世纪·教育·网】
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① ②BG垂直平分DE ③ ④ ⑤【出处：21教育名师】
12．如图，将长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，HE与AD交于点P，连接HF，当，时，则P到HF的距离是______．21·cn·jy·com
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13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝5，BD＝12，则菱形ABCD的面积为_____．【版权所有：21教育】
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14．如图，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___．
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15．如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为________．21*cnjy*com
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16．如图，四边形是长方形，是的中点，将折叠后得到，延长交于点，若，，则的长为______．
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17．如图，矩形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
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18．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别处，的中点，连接，则的长度为______．
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19．如图，在中，点，点分别是的中点，点是上一点，，，，则_____．
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20．如图，△ABC的周长为 ( http: / / www.21cnjy.com )64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
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三、解答题
21．如图，四边形ABCD是一个菱形绿草地，其周长为40m，∠ABC＝120°，在其内部有一个矩形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边中点，现准备在花坛中种植茉莉花，其单价为30元/m2，则需投资资金多少元？（ 取1.732）
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22．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．21教育名师原创作品
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
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23．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
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求证：（1）；
（2）和互相平分．
24．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
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（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
25．小乾同学提出一种新 ( http: / / www.21cnjy.com )图形定义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底．21*cnjy*com
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(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：
①等垂四边形两个钝角的和为 °；
②若等垂四边形的两底平行，则它的最小内角为 °．
(2)拓展研究：
①小坤同学发现两底中点的连线 ( http: / / www.21cnjy.com )与腰长有特定的关系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°，请按此方法求出MN与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数．
②如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 ．
(3)实践应用：如图3，直线l1， ( http: / / www.21cnjy.com )l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离带最长为多少米？
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