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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 几何思想之平行四边形性质与判断综合提高专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，已知AD＝7，CE＝3，则AB的长是（ ）
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A．7 B．3 C．3.5 D．4
【标准答案】D
【思路指引】
先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而由EC的长求出BE即可解答．
【详解详析】
解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=7，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵EC=3，
∴BE=BC-EC=7-3=4，
∴AB=4，
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
2．如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ）
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A． B． C． D．不能确定
【标准答案】A
【思路指引】
如图（见解析），过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．
【详解详析】
如图，过点M作，交CD于点N，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
，
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．
3．如图，直线m经过点B且平行 ( http: / / www.21cnjy.com )于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）21*cnjy*com
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A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
【标准答案】C
【思路指引】
由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．
【详解详析】
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以与不一定全等，故A错误；
选项B，的周长是定值，而的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；
选项C，由于与都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道与属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．
故选：C．
【名师指路】
本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．
4．如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
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A．10° B．15°
C．20° D．25°
【标准答案】C
【思路指引】
先根据平行四边形，，平分得出△BAE是等边三角形，从而可求出△EAD≌△CDA，再求出∠ACE的度数，即可求出答案．
【详解详析】
∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE =，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴=120
∴=180 ∠ACE=20
故答案选C．
【名师指路】
本题主要考察了平行四边形，等边三角形，全等三角形等知识点，找出里面的全等三角形是解题关键．
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ( http: / / www.21cnjy.com )已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【标准答案】C
【思路指引】
利用轴对称性质作点B的对称点P1，与利用平行四边形性质作点P可得结论．
【详解详析】
解：点P关于x轴的对称点为点B，
点P1的坐标为（4，-2），
在△OAB和△OAP1中，
∵，
∴△OAB和△OAP1（SSS），
过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，
则四边形PABO为平行四边形，
所以OP=AB，AP=OB，
在△OAP和△AOB中，
∵，
△OAP≌△AOB（SSS），
∴，，
点P（-2，-2），
∴满足条件的P点的坐标（-2，-2）或（4，-2），
故选择C．
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【名师指路】
本题考查轴对称性质，平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形判定与性质，三角形全等判定，平幔直角坐标系中点的坐标，掌握轴对称性质，平行四边形判定与性质，三角形全等判定，平幔直角坐标系中点的坐标，是解题关键．
6．下列给出的条件能判定四边形 ABCD为平行四边形的是 （ ）
A．AB//CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
【标准答案】C
【思路指引】
根据平行四边形的判定定理依次分析解答．
【详解详析】
解：A、如图1，连接AC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AD=BC，AC=AC，
无法证明△ABC≌△CDA，
∴无法判断四边形 ABCD为平行四边形；
B、∠A=∠B，∠C=∠D，不能判断四边形 ABCD为平行四边形；
C、如图1，∵AB=CD，AD=BC，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AB//CD，
∴四边形 ABCD为平行四边形；
D、AB=AD，CB=CD，无法证明四边形 ABCD为平行四边形；
故选：C．
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【名师指路】
此题考查平行四边形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
7．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
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A．6 B．8 C．12 D．13
【标准答案】B
【思路指引】
由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC边长.
【详解详析】
解：∵在中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OA=3，
∴AC=2OA=6，
∵AC⊥BC，
∴，
∴BC=8.
故选：B
【名师指路】
此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.
8．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M．AF⊥BC，垂足为F．BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，连接AC、NE.若AE=BN，AN=CE，则下列结论中正确的有（ ）个．
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①；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④；⑤．
A．1 B．3 C．4 D．5
【标准答案】C
【思路指引】
证出∠NBF=∠EAF=∠MEC，再证明△NBF≌△EAF（AAS），得出BF=AF，NF=EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE=∠ABN，推出∠ABF=∠FAC=45°；再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出结论．
【详解详析】
解：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF（AAS）；
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，
∴△NFE是等腰直角三角形，故③正确；
∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，
∴∠ANB=∠CEA，
在△ANB和△CEA中，，
∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；
∵AN=CE，NF=EF，
∴BF=AF=FC，
又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；
在 ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，
∴∠ANE=∠BCD=135°，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；
∴CM=NE，
又∵NF=NE=MC，
∴AF=MC+EC，
∴AD=BC=2AF=MC+2EC，故⑤错误．
综上，①②③④正确，共4个，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21教育网
9．下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【标准答案】C
【思路指引】
根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【详解详析】
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；21cnjy.com
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．
【详解详析】
解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC＋∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°＋30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝，
故②错误；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，即：，
故④正确；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系．
二、填空题
11．如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是________．
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【标准答案】
【思路指引】
过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．
【详解详析】
解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，
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则四边形ADMN是平行四边形，
∴MD＝AN，AD＝MN，
作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，
则AM＝A′M，
∴AM＋AN＝A′M＋DM，
∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，
∵AD//BC，AO⊥BC，
∴∠DA＝90°，
∵，，，
∴BC＝
BO＝CO＝AO＝，
∴，
在Rt△AD中，由勾股定理得：
D＝
∴的最小是值为：，
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN转化为DM是解题的关键．21世纪教育网版权所有
12．如图，点O是平行四边形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为S1______S2．（填“>”或“=”或“<”）
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【标准答案】=
【思路指引】
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴OB=OD，
在△DEO与△BFO中
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴S△DEO=S△BFO，
∵S△ABD=S△CDB，
∴S1=S2．
故答案为：=．
【名师指路】
此题主要考查了中心对称，平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，，BE平分交DC于点E，连接AE，若，则为______度．
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【标准答案】22
【思路指引】
先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的判定证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质即可得．
【详解详析】
解：平行四边形中，，
，
，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：22．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
14．如图，在中，点为的中点，平分且于点，延长交于点若，则_______________________．
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【标准答案】
【思路指引】
通过平分且于点，即可得，，D为BN中点，为的中位线，即可通过NC求DM．
【详解详析】
解：平分且于点，
在和中
为以BN为底边的等腰三角形，D为BN中点
又
在中，
D为BN中点、M为BC中点
为的中位线
故答案为：3．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定定理及中位线定理，注意找到全等的条件是解题的关键，属于中考常考题型．
15．如图，在中，∠ACB＝90°，DEBC，DE＝AC，若AC＝2， AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝；③AB＝；④点F是AD中点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG＋GH的最小值为．正确的是_____．（填序号）
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【标准答案】①③④
【思路指引】
证明，结合DE＝AC，可判定结论①；假设∠ABE＝，在中，根据勾股定理得到，则假设不成立，可判断结论②；在中和中，利用勾股定理可求出AB的值，即可判断结论③；作点F关于BC对称的点F’，作于点H，与BC相交于点G，则，，根据“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG＋GH有最小值．通过勾股定理分别求得FG、GH的值，相加即可判断结论④．
【详解详析】
解：∵∠ACB＝90°，DEBC，
∴∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴
又∵DE＝AC，
∴四边形ACED是平行四边形；故结论①正确．
∵AD＝DB＝4，∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠DAB＝，
假设∠ABE＝，则，
∴在中，，
∴，
∴假设不成立；故结论②错误．
在中，，，
∴，
∴
∴在中，，，
∴，
即AB＝；故结论③正确．
如图所示，作点F关于BC对称的点F’，作于点H，与BC相交于点G，则，，根据“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG＋GH有最小值．
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连接AG，与BC相交于点M，
∵，∠ABC＝，
∴，
∴，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴，
∴，
∴
又∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵∠DAB＝，
∴，
∴在中，，
∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称，,
∴，,
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
即FG＋GH的最小值为；故结论④正确．
故答案为：①③④．
【名师指路】
本题考查勾股定理的应用．其中涉及平行线的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，“一定两动”求线段最小值等问题．综合性较强．
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形．21·世纪*教育网
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【标准答案】或或
【思路指引】
利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=QA时，以点A，Q， C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t= t；若 ，2t-3=t；若 时，2t-3=4-3(t-4)；若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值．
【详解详析】
∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2），
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若时，BP=2t，
PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1;
若时，BP=2t,
PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；
若时，BP=2t,
PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)；www.21-cn-jy.com
若t，BP＝2t，PC=2t-3， OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13;
综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
17．如图，中，平分于D，，F为中点，连结，给出下列结论：①，②，③，④．其中正确的是____________（填序号）21*cnjy*com
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【标准答案】①②③④
【思路指引】
延长CD交AB于G，延长BE交AC延长线于H，平分，可证△AGD≌△ACD（ASA），可得GD=CD，AG=AC，由平分，可证△ABE≌△AHE（ASA），可得BE=HE，由F为中点，GD=CD，可得DF∥BG，DF=，∠FDE=∠BAD，由F为中点，BE=HE，可得FE∥HC，∠FED=∠CAD，可证∠FDE =∠FED，DF=EF可判断①②，由∠DFE+∠FDE+∠FED=180°，可判断③，由AG=AC，EF=FD=可判断④．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：延长CD交AB于G，延长BE交AC延长线于H，
∵平分，
∴∠GAD=∠CAD，∠ADG=∠ADC=90°，
在△AGD和△ACD中，
∴△AGD≌△ACD（ASA），
∴GD=CD，AG=AC，
∵平分，
∴∠BAD=∠HAD，∠AEB=∠AEH=90°，
在△ABE和△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（ASA），
∴BE=HE，
∵F为中点，GD=CD，
∴DF为△CBG的中位线，
∴DF∥BG，DF=，
∴∠FDE=∠BAD，
∵F为中点，BE=HE，
∴FE为△BCH的中位线，
∴FE∥HC，
∴∠FED=∠CAD
∵∠GAD=∠CAD，
∴∠FDE =∠FED，
∴DF=EF，
故①，②正确；
∵∠DFE+∠FDE+∠FED=180°，
∴，
故③正确；
∵AG=AC，EF=FD=，
∴AB=AG+BG=AC+2DF=AC+FD+EF，
∴④正确；
其中正确的是①②③④．
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【名师指路】
本题考查三角形全等判定与性质，角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )定义，垂直定义，三角形中位线判定与性质，三角形内角和，等腰三角形判定，线段中点定义，涉及知识较多，习题难度中等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
18．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．2-1-c-n-j-y
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【标准答案】
【思路指引】
设，，根据平行四边形性质及翻折性质可得，，，过点任于，过作于，延长、交于点，根据轴对称性质及含30度角直角三角形性质可得，，最后由勾股定理可得答案．
【详解详析】
解：在平行四边形中，
，
设，，
，
，，
由翻折可得，，，，
过点任于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，，
，
，
设，过作于，
则，，
在直角三角形中，，，
，
，
，
延长、交于点，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查的是翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
19．如图，中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②③
【思路指引】
①由等腰直角三角形的性质可求得BD=BE；
②由余角的性质及平行四边形的性质可求得∠A=∠C=∠BHE；
③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH=CD，再由平行四边形的性质即可得AB=BH；
④在△BCF和△GDF中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等．
【详解详析】
解：∵∠DBC=45゜，DB⊥BC
∴∠DBE=∠BDE=45°
∴BE= DE
∴BD=BE
故①正确
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH=∠DEC=90°
∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C
∴∠C=∠BHE
∵四边形ABCD是平行四边形，
.∴∠A=∠C=∠BHE
故②正确
∵∠C+∠CDE=90
∠CDB=∠HBE
在△BHE和△DCB中
∴△BHE≌△DCE(ASA)
∴BH=CD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD
∴AB=BH
故③正确
在△BCF和△GDF中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等
故④错误
故正确的有①②③
故答案为：①②③
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．www-2-1-cnjy-com
20．如图，在 ABCD中，BC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝______，点G到AB的距离为______．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】 2 ##
【思路指引】
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：如图，GF⊥AB于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
在 ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，
∴∠D+∠C=180°，BG=AD，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，
根据勾股定理，得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，
解得AF=，
∴GF2=AG2-AF2=4-=，
∴GF=，
故答案为2，．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD中对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )、BD交于O，BD=2AB，点E是OA的中点，点F是OC的中点，点M是CB的中点，连接BE，DF，MF．
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(1)求证：DF=BE；
(2)已知AC=4，BE=，求FM的长．
【标准答案】(1)见解析
(2)FM的长为．
【思路指引】
（1）依据平行四边形的性质，证明△ABE≌△CDF，即可证明DF=BE；
（2）证明△ODC和△OAB都是等腰三角形，在Rt△BOE中，利用勾股定理求得BO的长，再利用三角形中位线定理即可求解．
(1)
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO=CO，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴DF=BE；
(2)
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AB=CD，AO=CO，BO=DO，
又∵BD=2AB，
∴BO=DO=AB=CD，
∴△ODC和△OAB都是等腰三角形，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，AC=4，
∴DF⊥OC，BE⊥OA，AE=EO=OF=FC=1，
在Rt△BOE中，BE=，EO=1，
∴BO==，
∵点F为OC的中点，点M是CB的中点，
∴FM=BO=．
∴FM的长为．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质勾股定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形中位线定理，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21教育名师原创作品
22．在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图①，在中，，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．
(2)如图②，若F是边CD上一点，连接BF，将沿着边BF所在的直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．
【标准答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【思路指引】
（1）延长AD，BF相交于点M，根据等边对等角可得，由垂直及等量代换可得，再由等角对等边及等量代换得出，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可得，由全等三角形的性质即可证明；
（2）延长DG，CB相交于点N，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性质及等量代换得出，由翻折的性质可得，，，根据等边对等角得出，利用等量代换得出，根据等角对等边及等量代换即可证明．
(1)
，证明如下：
如图，延长AD，BF相交于点M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
，证明如下：
如图所示：延长DG，CB相交于点N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵折叠到，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【名师指路】
题目主要考查平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
23．如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解详析】
分析：（1）证明AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE即可解决问题；
（2）只要证明FB⊥AD即可解决问题.
详（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∵BC=BF，CD=DE，
∴BF=AD，AB=DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，2·1·c·n·j·y
∴∠ADE=∠ABF，
在△ABF与△EDA中，
∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD
∴△ABF≌△EDA．
（2）证明：延长FB交AD于H．
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∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD=∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFB=90°，
∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）①16；②m+k＝2．
【思路指引】
（1）根据 ABCD中，∠ADC=60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）①根据 ，可得AB=BC，证明∠BAC=90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积； ②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD=S△BOC，S△BOC=S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE=AB=mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【详解详析】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝＝，
∴，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质.21·cn·jy·com
25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为平面内一点，且AD＜AB，以A点为中心，将线段AD逆时针旋转180°－α，得到线段AE．
（1）如图1，当D点在线段BC上时，恰有AE∥BC，连接DE交AC于F点，求证：F为线段DE中点；
（2）连接BE、CD，取BE中点G，连接AG．
①如图2，当D点在△ABC内部时，用等式表示线段AG与CD之间的数量关系，并证明；
②令α＝90°，若当A、D、G三点共线时，恰有∠AGB＝120°，直接写出此时的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【思路指引】
（1）根据角度的计算，可得，根据旋转可得，根据等腰三角形的性质三线合一，即可证明F为线段DE中点；
（2）①延长至点，使得，即可证明四边形是平行四边形，进而证明，可得，进而可得；
②由①可知，根据已知条件和含30度角的直角三角形的性质，进而可得，，在中，设，进而求得．
【详解详析】
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题01 几何思想之平行四边形性质与判断综合提高专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，已知AD＝7，CE＝3，则AB的长是（ ）
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A．7 B．3 C．3.5 D．4
2．如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ）
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A． B． C． D．不能确定
3．如图，直线m经过点B且平行于AC， ( http: / / www.21cnjy.com )点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）21教育网
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A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
4．如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
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A．10° B．15°
C．20° D．25°
5．在平面直角坐标系中，O为 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
6．下列给出的条件能判定四边形 ABCD为平行四边形的是 （ ）
A．AB//CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
7．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）21·cn·jy·com
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A．6 B．8 C．12 D．13
8．如图，在 ABCD中，点E在边 ( http: / / www.21cnjy.com )BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M．AF⊥BC，垂足为F．BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，连接AC、NE.若AE=BN，AN=CE，则下列结论中正确的有（ ）个．2·1·c·n·j·y
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①；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④；⑤．A．1 B．3 C．4 D．5
9．下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）21·世纪*教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是________．
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12．如图，点O是平行四边形ABCD的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为S1______S2．（填“>”或“=”或“<”）www-2-1-cnjy-com
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13．如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，，BE平分交DC于点E，连接AE，若，则为______度．2-1-c-n-j-y
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14．如图，在中，点为的中点，平分且于点，延长交于点若，则_______________________．21*cnjy*com
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15．如图，在中，∠ACB＝90°，DEBC，DE＝AC，若AC＝2， AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝；③AB＝；④点F是AD中点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG＋GH的最小值为．正确的是_____．（填序号）
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16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形．www.21-cn-jy.com
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17．如图，中，平分于D，，F为中点，连结，给出下列结论：①，②，③，④．其中正确的是____________（填序号）【来源：21cnj*y.co*m】
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18．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．【来源：21·世纪·教育·网】
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19．如图，中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．【出处：21教育名师】
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20．如图，在 ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝______，点G到AB的距离为______．【版权所有：21教育】
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三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD中对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )、BD交于O，BD=2AB，点E是OA的中点，点F是OC的中点，点M是CB的中点，连接BE，DF，MF．21教育名师原创作品
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(1)求证：DF=BE；
(2)已知AC=4，BE=，求FM的长．
22．在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：
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(1)如图①，在中，，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．21*cnjy*com
(2)如图②，若F是边CD上一点，连接BF，将沿着边BF所在的直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．
23．如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
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24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
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25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为平面内一点，且AD＜AB，以A点为中心，将线段AD逆时针旋转180°－α，得到线段AE．21cnjy.com
（1）如图1，当D点在线段BC上时，恰有AE∥BC，连接DE交AC于F点，求证：F为线段DE中点；
（2）连接BE、CD，取BE中点G，连接AG．
①如图2，当D点在△ABC内部时，用等式表示线段AG与CD之间的数量关系，并证明；
②令α＝90°，若当A、D、G三点共线时，恰有∠AGB＝120°，直接写出此时的值．
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