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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题04 几何思想之菱形的判定与性质综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
2．如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2．5 B．3 C．4 D．5
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）www.21-cn-jy.com
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A．6 B．8 C．14 D．28
4．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，BH垂直AD于点H，若AC=4，BD=3，则BH的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
5．如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80 ，那么∠CDE的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．20 B．25 C．30 D．35
6．如图，菱形ABCD和菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2
7．如图，在菱形中，，，，点P是线段上一动点，点F是线段上一动点，则的最小值（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B．6 C． D．
8．将一张长为8，宽为4的矩形纸片按如下方式进行操作：
（1）如图1，将矩形纸片折叠，使顶点与重合，折痕为，然后展开恢复原状；
（2）沿着图1中虚线段，，，剪开，得到①、②、③、④四个三角形；
（3）将图1中的①、②、③、④这四个三角形拼成如图2的四边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
则四边形的面积为（ ）
A．32 B．25 C．7 D．5
9．如图，菱形的边长为1，，E、F分别是边上的两个动点，且满足，设的面积为s，则s的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
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A． B． C．5 D．4
二、填空题
11．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是_______2-1-c-n-j-y
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12．已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是___．
13．菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝____．21教育名师原创作品
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14．如图，在菱形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝6，BD＝9，M为对角线BD上一动点（M不与B和D重合），过点M作ME∥CD交BC于点E，连接AM，当△ADM为等腰三角形时，ME的长为___．21*cnjy*com
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15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝ ( http: / / www.21cnjy.com )60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE．当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．【版权所有：21教育】
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16．如图，在坐标系中放置一菱形OABC， ( http: / / www.21cnjy.com )已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2022次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2022的坐标为_____________．
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17．如图，四边形是菱形，，点是上一点，，点是延长线上一点，且，则菱形的周长是_______．21*cnjy*com
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18．如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB和BC的中点，于点P，则__________．
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19．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG＝2，则四边形BCDG的面积为 _____．
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20．如图，在菱形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )2，DE⊥BC于点E，F是CD的中点，连接AF，EF．若∠AFE=90°，则CE的长为_________．www-2-1-cnjy-com
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三、解答题
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
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22．如图，在四边形中，，，E是上一点，交于F，连接．
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（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形；
（3）在（2）的条件下，当与有什么样的位置关系时，，并说明理由．
23．在菱形ABCD中，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒． 【出处：21教育名师】
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（1）当t=2时，∠NMP=________度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．
24．如图1，四边形ABCD和四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．
（1）求证：△ABH≌△HEF；
（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；
（3）如图3，将菱形CEFG ( http: / / www.21cnjy.com )绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．21cnjy.com
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25．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
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（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E， ( http: / / www.21cnjy.com )F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，△AED＝60°，AE＝7，BF＝2，则DE=________．（只在图2中作辅助线，并简要说明其作法，直接写出DE的长度21·cn·jy·com
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本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题04 几何思想之菱形的判定与性质综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
【标准答案】C
【详解详析】
∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4．
∴对角线BD的长度为4．
故选C．
2．如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2．5 B．3 C．4 D．5
【标准答案】A
【思路指引】
根据菱形的性质，，且为的中点，为的中点，则.
【详解详析】
解：∵四边形为菱形，
∴，且为的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选A．
【名师指路】
本题考查菱形的性质，熟练掌握中位线的定义是解题关键.
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）2·1·c·n·j·y
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A．6 B．8 C．14 D．28
【标准答案】D
【思路指引】
首先根据题意求出的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．21*cnjy*com
【详解详析】
解：四边形是菱形，
，，
菱形的周长为24，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积三角形的面积，
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值．
4．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，BH垂直AD于点H，若AC=4，BD=3，则BH的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【标准答案】A
【思路指引】
根据菱形的性质利用勾股定理先求出菱形的边长，然后根据菱形的面积的两种求法列等式求出BH即可.
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=AC=2，OB=BD=，
∴AD=AB=，
∵菱形ABCD的面积，
，
故选：A.
【名师指路】
本题主要考查了菱形的面积公式、菱形的性质以及勾股定理的运用，求出菱形边长是解题关键．
5．如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80 ，那么∠CDE的度数为（ ）【出处：21教育名师】
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A．20 B．25 C．30 D．35
【标准答案】C
【思路指引】
依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．21教育名师原创作品
【详解详析】
∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．
【名师指路】
考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．
6．如图，菱形ABCD和菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
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A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2
【标准答案】B
【思路指引】
先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可．
【详解详析】
解：如图，连接FH，
∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，
∴，
∴，
∴，
∴和同底等高，
∴，
∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2，
∴（cm2），
∴（cm2）．
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法．21*cnjy*com
7．如图，在菱形中，，，，点P是线段上一动点，点F是线段上一动点，则的最小值（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．6 C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先作点E关于AC的对称点G，再连接BG，过点B作于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在中，运用勾股定理求得BG的长，即为的最小值．
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
作点E关于AC的对称点G，连接PG、PE，则
连接BG，过点B作于H，则
中，，
中，，
当点F与点B重合时，（最短）
的最小值是．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质和轴对称-最短路线问题，解题关键是得到的最小值为BG的长度．
8．将一张长为8，宽为4的矩形纸片按如下方式进行操作：
（1）如图1，将矩形纸片折叠，使顶点与重合，折痕为，然后展开恢复原状；
（2）沿着图1中虚线段，，，剪开，得到①、②、③、④四个三角形；
（3）将图1中的①、②、③、④这四个三角形拼成如图2的四边形．
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则四边形的面积为（ ）
A．32 B．25 C．7 D．5
【标准答案】D
【思路指引】
先说明四边形ABCD为菱形可得BC=CD、AC⊥BD,OD=BD，设BC=CD=x，则BC=8-x,再运用勾股定理列方程求出x；然后用勾股定理求出BD，进而求出OD，由图2可得小正方形的边长，最后求面积即可．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为菱形
∴BC=CD、AC⊥BD,OD=BD
设BC=CD=x，则BC=8-x,
在Rt△DCH中，CD2=CH2+DH2,即x2=（8-x）2+42，解得x=5
在Rt△DBH中，BD= ,
∴OD=
在Rt△DCO中，OC=
∴图2中小正方形的边长为2-=
∴图2中小正方形的面积为5．
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质以及勾股定理的应用，灵活应用勾股定理成为解答本题的关键．
9．如图，菱形的边长为1，，E、F分别是边上的两个动点，且满足，设的面积为s，则s的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由题意易得△BED≌△BFC，从而可得△BEF是等边三角形，由等边三角形的面积公式可得，当BE与BD或AB重合时，BE最大，从而△BEF的面积最大；当BE⊥AD时，BE最小，从而△BEF的面积最小，从而可求得s的取值范围．
【详解详析】
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=BC=CD=AB=1
∵BD=1
∴AB=AD=BD
∴△ABD是等边三角形
∴∠A=∠ADB=∠C=∠DBC=60°
∵，AE+DE=1
∴DE=CF
在△BED和△BFC中
∴△BED≌△BFC
∴BE=BF，∠EBD=∠FBC
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°
∴△BEF是等边三角形
根据等边三角形的面积公式得：
当点E与A或D重合时，BE最大，此时BE=1，此时s最大，且最大值为；当点BE⊥AD时，BE最小，则AE=，由勾股定理得，此时s最小，且最小值为21·世纪*教育网
所以s的取值范围为：
故选：D．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的面积、垂线段最短等知识，证明△BED≌△BFC及△BEF是等边三角形是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
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A． B． C．5 D．4
【标准答案】A
【思路指引】
根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【详解详析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝ ×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．
二、填空题
11．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是_______
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【标准答案】
【思路指引】
根据菱形的性质，可得AC是BD的垂直平分线，可得AC上的点到D、B点的距离相等，连接BE交AC与P，可得答案．
【详解详析】
解：∵菱形的性质，
∴AC是BD的垂直平分线，AC上的点到B、D的距离相等．
连接BE交AC于P点，
PD=PB，
PE+PD=PE+PB=BE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
故答案为3
【名师指路】
本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
12．已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是___．
【标准答案】 或
【思路指引】
根据，则在的中垂线上，作的中垂线交于 交于，所以：如图的都符合题意，先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案．
【详解详析】
解： ，
在的中垂线上，
作的中垂线交于 交于，
所以：如图的都符合题意，
矩形
四边形是菱形，
，， ，
设 则
的长为： 或
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故答案为： 或
【名师指路】
本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．菱形ABCD中，AD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4，∠DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝____．
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【标准答案】
【思路指引】
过点E作AB的垂线分别交AB于N、交CD延长线于M，先证明△EMH≌△FNE得EM＝NF，EN＝MH，设MD＝x，用勾股定理表示DH＝，CH＝AF＝，由DH+CH＝4求出x，算出DH即可．
【详解详析】
解：过点E作AB的垂线分别交AB于N、交CD延长线于M，如图，
则
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∵四边形EFGH为正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠MEH+∠NEF＝90°，
∵∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠MEH＝∠EFN，
在△EMH与△FNE中，
，
∴△EMH≌△FNE（AAS），
∴EM＝NF，EN＝MH，
设MD＝x，
在菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴MD＝DE，
∴DE＝2x，
EM＝，
∴AE＝4﹣2x，AN＝＝2﹣x，
∴EN＝，
∴，，
∴，
∵AB＝CD，BF＝DH，
∴AF＝CH＝，
∵DH+CH＝4，
∴，
解得：，
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质，30°所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线MN构造全等三角形是解题的关键．21世纪教育网版权所有
14．如图，在菱形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝6，BD＝9，M为对角线BD上一动点（M不与B和D重合），过点M作ME∥CD交BC于点E，连接AM，当△ADM为等腰三角形时，ME的长为___．【来源：21·世纪·教育·网】
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【标准答案】2或；
【思路指引】
分AM=MD、AD=DM和AM=AD三种情况讨论，作AG⊥BD于G，MH⊥AD与H，延长EM交AD于点N，求出MN长即可．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：如图，当AM=MD时，作AG⊥BD于G，MH⊥AD与H，延长EM交AD于点N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD=6，
∴BG=GD=4.5，
，
设AM=MD=x，则DH=AH=3，
，
解得，x=4，
∵ME∥CD，
∴∠BME=∠CDB=∠CBD，EN=AB=6，
∴BE=EM，同理MN=ND，
，
设NM=ND=y，
，
解得，EM=6-MN=；
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如图，当AD=MD=6时，作AG⊥BD于G，MH⊥AD与H，延长EM交AD于点N，
由上面同理可知，，MG=6-4.5=1.5
∵AD=MD，
∴，AH=MG=1.5，DH=4.5，
设NM=ND=a，
，解得，，
EM=6-MN=2；
当AD=MA时，点M与点B重合，不符合题意；
综上，EM的值为2或；
故答案为：2或；
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【名师指路】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形，依据勾股定理列方程；注意分类讨论思想的运用．
15．如图，在菱形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE．当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．
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【标准答案】或
【思路指引】
分三种情况：
当DE=DC时，连接DM，过点 ( http: / / www.21cnjy.com )D作DG⊥BC交BC延长线于点G，由菱形的性质，在Rt△DCG中，可求得CG、DG的长度，由折叠的性质及菱形的性质，可证明△AMD≌△EMD，从而可得D、E、N三点共线．设BN=x，则NE=x，BG=3，DN=2+x，在Rt△DGN中，由勾股定理建立方程，可求得x；
当CE=CD时，此时点E与点A重合，点N与点C重合，△CDE是等边三角形，易得BN的值；
当CE=DE时，点E在线段CD的垂直平分线上，此时点E与点A重合，点N与点C重合，因而易得BN的值．
【详解详析】
①当DE=DC时，连接DM，过点D作DG⊥BC交BC延长线于点G，如图
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∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD
∴∠DCG=∠B=60゜，∠A=180゜-∠B=120゜，DE=CD=2
∵DG⊥BC
∴∠CDG=90゜-60゜=30゜
∴
由勾股定理得：
∴BG=BC+CG=2+1=3
∵M为AB的中点
∴AM=BM=1
由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=1，∠MEN=∠B=60゜
∴EM=AM
∵AD=DC，DE=DC
∴DE=AD
在△EMD和△AMD中
∴△EMD≌△AMD(SSS)
∴∠DEM=∠A=120゜
∴∠DEM+∠MEN=180゜
即D、E、N三点共线
设BN=x，则EN=x，DN=DE+EN=2+x，NG=BG-BN=3-x
在Rt△DGN中，由勾股定理可得：
解得：
即
②当CE=CD时，CE=CD=AD=2，此时点E与点A重合，点N与点C重合，如图
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∴BN=2
③当CE=DE时，点E在线段CD的垂直平分线上，此时点E与点A重合，点N与点C重合，同理可得BN=2．
综上所述，BN的长为或
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，综合性强，证明三角形全等是本题的关键，注意分类讨论．21·cn·jy·com
16．如图，在坐标系中放置 ( http: / / www.21cnjy.com )一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2022次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2022的坐标为_____________．
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【标准答案】
【思路指引】
连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次 ( http: / / www.21cnjy.com )、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2022=337×6，因此点B向右平移1348即可到达点B2022，根据点B的坐标就可求出点B2022的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
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由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2022=337×6，
∴点B向右平移1348（即337×4）到点B2022．
∵B的坐标为（0，），
∴B2022的坐标为（1348，），
故答案为：（1348，）．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
17．如图，四边形是菱形，，点是上一点，，点是延长线上一点，且，则菱形的周长是_______．
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【标准答案】84
【思路指引】
如图，作AM⊥CD于M，CN⊥AD于N，EH⊥CD于H．想办法证明△AFM≌△CEN，推出AF＝CE＝，解直角三角形求出CD即可解决问题；
【详解详析】
解：如图，作AM⊥CD于M，CN⊥AD于N，EH⊥CD于H．
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AM＝CN（菱形的高相等），
∵∠F＝∠CEN，∠AMF＝∠CNE＝90°，
∴△AFM≌△CEN，
∴AF＝CE＝，
在Rt△DEH中，∵∠D＝∠B＝45°，，
∴EH＝DH＝3，
在Rt△CEH中， ，
∴CD＝18＋3=21，
∴菱形ABCD的周长为84.
故答案为84．
【名师指路】
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB和BC的中点，于点P，则__________．
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【标准答案】
【思路指引】
根据题意延长EF交DC的 ( http: / / www.21cnjy.com )延长线于H点．证明△BEF≌△CHF，得EF=FH．在Rt△PEH中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠FPC=∠FHP=∠BEF．在等腰△BEF中易求∠BEF的度数．
【详解详析】
解：延长EF交DC的延长线于H点．
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∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，
∴∠B=80°，BE=BF．
∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°．
∵AB∥DC，
∴∠FHC=∠BEF=50°．
又∵BF=FC，∠BFE=∠CFH，∠B=∠FCH，
∴△BEF≌△CHF(AAS)．
∴EF=FH．
∵EP⊥DC，
∴∠EPH=90°．
∴EF=FP=FH，则∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．
故答案为：50°．
【名师指路】
本题考查菱形的性质和全等三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，综合性较强．如何作出辅助线是难点．
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG＝2，则四边形BCDG的面积为 _____．
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【标准答案】
【思路指引】
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，先证明△ABD为等边三角形，求得，证明△CBM≌△CDN， 所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，是的角平分线，进而求得，根据S四边形BCDG=S四边形CMGN即可求得四边形BCDG的面积．
【详解详析】
如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
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四边形是菱形
，
是等边三角形
是等边三角形
，
又
是的角平分线
△CBM≌△CDN，
S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=CG，
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，
S四边形CMGN=．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，证明是解题的关键．
20．如图，在菱形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=2，DE⊥BC于点E，F是CD的中点，连接AF，EF．若∠AFE=90°，则CE的长为_________．
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【标准答案】；
【思路指引】
延长EF交AD的延长线于G，由菱形的性质得出AD＝CD＝AB＝2，AD//BC，证明△DFG≌△CFE（ASA），得出DG＝CE，GF=EF，由线段垂直平分线的性质得出AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，由直角三角形斜边上的中线性质得出GF＝EF＝CD=1，得出EG=2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解详析】
解：如图：延长EF交AD的延长线于G，
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD=AB=2，AD//BC，
∴∠GDF=∠C，
∵F是CD的中点，
∴DF=CF ，
在△DFG和△CFE中，
∠GDF=∠C，DF=CF ∠DFG=∠CFE
∴△DFG≌△CFE（ASA）
∴DG=CE，GF=EF
∵∠AFE=90°
∴AF⊥EF
∴AE=AG，
设CE=DG=x，则AE=AG＝2+x，
∵AG//BC，DE⊥BC，F是CD的中点，
∴DE⊥AG，GF=EF＝CD=1，
∴EG=2EF=2
在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得：DE2＝AE2-AD2＝EG2-DG2
∴（2+x）2-22＝22-x2解得：x=或x=（舍去），
∴CE＝．
故填．
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【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾投定理等知识；本题综合性强、综合应用所学知识成为解答本题的关键．
三、解答题
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）．
【思路指引】
（1）根据菱形的性质可得OC＝AC，即可证明DE＝OC，可得出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，可证明OCED是矩形，根据矩形的性质可得OE＝CD即可；
（2）根据∠ABC＝60°，利用菱形的性质得出AC＝AB，即可求出OA的长，再根据勾股定理求出OD的长，再利用勾股定理得出AE的长度即可．
【详解详析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，AC⊥BD，
∵DE＝AC，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∵OA=AC=1，AC⊥BD，AD=2，
∴OD=，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，
∴在Rt△ACE中，AE＝．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质及勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理，菱形中出现了60°角要求线段的长度时，一般要考虑两点：①图形中会有等边三角形，②以60°角的某一边为直角边的直角三角形，再利用勾股定理求解．熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
22．如图，在四边形中，，，E是上一点，交于F，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形；
（3）在（2）的条件下，当与有什么样的位置关系时，，并说明理由．
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE⊥CD，理由见解析
【思路指引】
（1）利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC；
（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根 ( http: / / www.21cnjy.com )据等角对等边可得AD=CD，再由条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．
【详解详析】
解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD，
∴∠EFD=∠BCD．
【名师指路】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
23．在菱形ABCD中，∠B=60° ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当t=2时，∠NMP=________度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．
【标准答案】（1）30；（2）1；（3）t= 或t=时，△PNC是直角三角形．
【思路指引】
（1）当t=2时，此时点M、N分别为AB、BC的中点，点P与点C重合，易求得∠NMP的度数；
（2）若点P在线段CD上时，过 ( http: / / www.21cnjy.com )A作AE⊥CD于E，连接AP，根据平行四边形的性质可得关于t的方程，解方程即可；若点P在线段DC延长线时，这样的平行四边形不存在；
（3）满足条件的点P不可能在线段CD上，分 ( http: / / www.21cnjy.com )两种情况考虑即可：当∠NPC=90゜时；当∠PNC=90゜时；然后可30度直角三角形的性质通过建立方程，即可求得t的值．
【详解详析】
解：（1）如图所示，当t=2时，此时点M、N分别为AB、BC的中点，点P与点C重合
∵PM⊥AB
∴MN=BN=NC
∵∠B=60゜
∴∠NCM=∠NMP=30゜
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故答案为：30
（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，连接AP，如图2所示
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在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4，
∴∠DAE=30゜
∴DE=AD=2，
∴CE=DE=2
∵AB∥CD，AE∥MP，
∴四边形AMPE是平行四边形，
∴PE=AM=t，PC=CE PE=2﹣t，
要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC，
∴t=2﹣t，
∴t=1．
若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．
（3）若点P在线段CD上时，∠NCP=120゜，则不存在Rt△NPC，
∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，
如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，
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∴∠CNP=∠MNB=30°，
∴BM= BN，
∵BM=AB AM=4 t，
∴4﹣t=t，
解得，t= ．
如图4中，当∠PNC=90°时，
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∵∠B=60゜，MP⊥AB，
∴∠BGM=∠PGC=30゜，
∴BG=2（4﹣t），GP=2PN，
由勾股定理得：，
∵GN=BN BG=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，
∴PN=，
∵∠NPC=30゜，NP⊥BC，
∴PC=2NC，
由勾股定理得：，
∴ ，
∵NC=BC BN=4 t，
∴，
解得t=，
综上所述，t= s或t=s时，△PNC是直角三角形．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识，运用了方程思想，涉及分类讨论思想．2-1-c-n-j-y
24．如图1，四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．
（1）求证：△ABH≌△HEF；
（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；
（3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）根据两个菱形中，点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE＝BH可证明相应的边和角分别相等，从而证明结论；
（2）由AB＝BC，∠ABC＝，可证明△ABC是等边三角形，从而证明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的长；
（3）作FM⊥BG于点M，当EH⊥BC时，可证明CH＝CM＝CG＝BH，从而求出BM、FM的长，再由勾股定理求出BF的长．
【详解详析】
解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AB＝BC，CE＝EF，
∵CE＝BH，
∴BH＝EF，
∵BH+CH＝CE+CH，
∴BC＝HE，
∴AB＝HE；
∵点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，
∴AB∥DG∥EF，
∴∠B＝∠E，
在△ABH和△HEF中，
，
∴△ABH≌△HEF（SAS）．
（2）如图2，设FH交CG于点P，连结CF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BH＝CH，
∴AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
由（1）得，△ABH≌△HEF，
∴∠HFE＝∠AHB＝90°，
∵DG∥EF，
∴∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，
∴PF⊥CG，
∵CG＝FG，∠G＝∠E＝∠B＝60°，
∴△GFC是等边三角形，
∴PC＝PG＝CG；
∵BC＝AB＝2，
∴CG＝EF＝BH＝BC＝1，
∴PC＝；
∵CD＝AB＝2，
∴PD＝+2＝，
∵CF＝CG＝1，
∴PF2＝CF2﹣PC2＝12﹣（）2＝，
∴．
（3）如图3，作FM⊥BG于点M，则∠BMF＝90°，
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∵EH⊥BC，即EH⊥BG，
∴EH∥FM，
∵∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴EF∥MH，
∴四边形EHMF是平行四边形，
∵∠EHM＝90°，
∴四边形EHMF是矩形，
∴EH＝FM；
∵EF＝EC，∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF，
∵∠EHC＝∠FMC＝90°，
∴Rt△EHC≌Rt△FMC（HL），
∴CH＝CM＝CG；
∵CG＝CE＝BH，
∴CH＝BH，
∴CM＝CH＝BC＝×2＝，
∴CF＝CG＝2CM＝2×＝，
∴＝（）2﹣（）2＝，
∵BM＝2+＝，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了几何综合，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )涉及到了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质等，熟悉掌握几何图形的性质和合理做出辅助线是解题的关键．
25．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
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（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，△AED＝60°，AE＝7，BF＝2，则DE=________．（只在图2中作辅助线，并简要说明其作法，直接写出DE的长度21教育网
【标准答案】（1）见解析；（2）△AHF是等腰三角形，理由见解析；类比迁移：9
【思路指引】
（1）根据矩形的性质得∠DAB=∠B= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，由等角的余角相等可得∠ADE=∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD=AB，即可得四边形ABCD是正方形；21cnjy.com
（2）利用AAS可得△ADE≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )BAF（AAS），由全等三角形的性质得AE=BF，由已知BH=AE可得BH=BF，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH=AF，△AHF是等腰三角形；www-2-1-cnjy-com
类比迁移：延长CB到点H ( http: / / www.21cnjy.com )，使BH=AE=6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，由已知DE=AF可得AH=AF，可得△AHF是等边三角形，则AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8，等量代换可得DE=AH=8．
【详解详析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB=∠AGD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF,
∵DE=AF，
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AD=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；：
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=AD，
∴∠ABH=∠BAD，
∵BH=AE，
∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH=DE，
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴△AHF是等腰三角形．
②延长CB到点H，使得BH＝AE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=AD,
∴∠ABH=∠BAD，
∵BH=AE，
∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=7+2=9，
∴DE=AH=9
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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