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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题03 几何思想之矩形的判定与性质综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC＝6，BC＝8，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【标准答案】C
【思路指引】
连接，根据矩形的性质可得，则,当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
如图，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∠ACB＝90°，ME⊥AC， MF⊥BC，
四边形是矩形，
，
∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
，
点P是EF的中点，则，
当时，取得最小值，
，
．
．
故选：C
【名师指路】
本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键．
2．如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，根据含30度直角三角形的性质求出DE，根据矩形的性质求出EF，得到DF的长，进而求出CD即可．【出处：21教育名师】
【详解详析】
解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴DE=AD=2，
∵∠BED=90°，∠B=90°，∠CFE=90°，
∴四边形BCFE为矩形，
∴EF=BC=1，
∴DF=DE-EF=1，
∵∠ADC=120°，∠ADE=60°，
∴∠CDF=120°-60°=60°，
在Rt△CFD中，∠DCF=30°，
∴CD=2DF=2，
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．【版权所有：21教育】
3．如图，已知矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，E是AD上的一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 cm B．6cm C．7cm D．8cm
【标准答案】B
【思路指引】
先证∠AEF=∠ECD，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，然后结合题目中已知的线段关系求解．
【详解详析】
解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（2AE+4）=32，
整理得：2AE+4=16
解得：AE=6（cm）．
故选择：B
【名师指路】
本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P ( http: / / www.21cnjy.com )为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
【标准答案】C
【思路指引】
连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段最短可得AP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
【详解详析】
如图，连接AP．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选C．
【名师指路】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．21教育网
5．如图，在△ABC 中，AB=3，AC ( http: / / www.21cnjy.com )=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
【标准答案】C
【思路指引】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.
【详解详析】
在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由，可得AP=，
AM=AP=
故本题正确答案为C.
【名师指路】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
6．如图，矩形ABCD和矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（ ）
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A．3 B．6 C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH＝1，AF＝，由ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP＝RQ，则点R与点M重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．
【详解详析】
解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：
则四边形ABEH是矩形，
∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，
∵四边形CEFG是矩形，
∴FG∥CE，EF＝CG＝2，
∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝，
在△RFP和△RCQ中，，
∴△RFP≌△RCQ（ASA），
∴RP＝RQ，
∴点R与点M重合，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△CAF的中位线，
∴MN＝，
故选：C．
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【名师指路】
本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O ( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【标准答案】B
【思路指引】
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解详析】
连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OBOC＝BCOP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【标准答案】C
【思路指引】
证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；
根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论 ( http: / / www.21cnjy.com )③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.
【详解详析】
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∵FO=FC，BF=BF
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，FC=AE，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵FO=OE=FC=AE，
∴∠AOE=∠FOM=30°，
∴∠BOF=90°，
∴BE=BF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴结论②正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵FO=OE=FC=AE，
∴∠AOE=∠FOM=30°，
∴∠BOF=90°，
∴FB＞OB，
∵OB=OC，
∴FB＞OC，
∴③错误，
在直角三角形AMB中，
∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，
∴AB=2BM，
∴④错误，
设ED与AC的交点为N，
设AE=OE=2x，
则NE=x，BE=4x，
∴AB=6x，
∴BM=3x，
∴
=
=3:2，
结论⑤正确.
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】本题考查了矩形的性质，等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
9．如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为E，F，连接，，下列结论：①；②；③与四边形的面积相等．其中正确的结论是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【标准答案】D
【思路指引】
连接PC，延长AP交EF ( http: / / www.21cnjy.com )于G，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，对应角相等可得∠BAP=∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC，由余角的性质可得AP⊥EF，再由△ABP和△CBP全等得S△APD=S△CPD，由矩形得△EFP和△CFP面积相等，等量代换即可求解．
【详解详析】
连接PC，延长AP交EF于点G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB，
在△ABP和△CBP中， ，
∴△ABP≌△CBP（SAS）．
∴AP=PC，∠BAP=∠BCP．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形．
∴PC=EF，∠BCP=∠PFE．
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①正确；
∵PE∥BA，
∴∠BAP=∠EPG．
∵∠PFE+∠PEF=90°，
∴∠EPG+∠PEF=90°．
∴AP⊥EF，故②正确；
∵△ABP≌△CBP，
∴S△ABP=S△CBP．
∴S△APD=S△CPD．
∵S四边形PEFD=S△PFD+S△PEF
=S△PCF+S△PFD=S△PCD，
∴△APD与四边形PEFD的面积相等，故③正确．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明△ABP≌△CBP是本题的关键．www-2-1-cnjy-com
10．如图，矩形ABCD的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )A（﹣3，0），B在x轴的负半轴上，顶点C（﹣1，3），D在第二象限内，对角线AC与BD的交点为M．将矩形ABCD沿x轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在x轴上，点M的对应点分别为M1，M2，M3，…，则M2021的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（5050，1） B．（5050，）
C．（5050，1） D．（5050，）
【标准答案】A
【思路指引】
先求出的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，根据此规律写出的坐标即可．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：矩形的顶点，顶点，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，．
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，算出前几个点的坐标找出规律是关键．
二、填空题
11．如图，在四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC于点E，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，点P从点A出发，沿边AD以1 cm/s的速度向点D运动，与此同时，点Q从点C出发，沿边CB以3 cm/s的速度向点B运动．当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．连接PQ，过点P作PF⊥BC于点F，则当运动到第__________s时，△DEC≌△PFQ．
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【标准答案】6或7
【思路指引】
分两种情况进行讨论，当在点的右侧时，在点的左侧时，根据△DEC≌△PFQ，可得，求解即可．
【详解详析】
解：由题意可得，四边形、为矩形，，、
∴，
∵△DEC≌△PFQ
∴
当在点的右侧时，
∴，解得
当在点的左侧时，
∴，解得
故答案为：或
【名师指路】
此题考查了全等三角形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是根据题意，求得对应线段的长，分情况讨论列方程求解．
12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为_____．
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【标准答案】5
【思路指引】
由菱形的性质可得BC＝CD＝5，AC⊥BD，由题意可证四边形ODEC是矩形，可得OE＝CD＝5．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝5，AC⊥BD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，且AC⊥BD，
∴四边形ODEC是矩形，
∴OE＝CD＝5，
故答案为5.
【名师指路】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，证明四边形ODEC是矩形是解题的关键．
13．如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片折叠，使点落在点处，折痕经过点交边于点．连接、，若，则的长为______cm．
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【标准答案】##
【思路指引】
如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，则，然后证明四边形ADFG是矩形，得到AG=DF，GF=AD，同理可证PH=BG=CF，HC=PF，设，，则，，，在直角△PHM中，，得到，①；由折叠的性质可得，AE=PE，在直角△DPF中，得到②；联立①②得：即，由此求出，，，
设，则，在直角△PEG中，得到，由此求解即可．
【详解详析】
解：如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，
∵∠BPC=90°，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADF=90°，
又∵GF⊥CD，
∴四边形ADFG是矩形，
∴AG=DF，GF=AD，
同理可证PH=BG=CF，HC=PF，
设，，则，，，
∵，
∴，
在直角△PHM中，，
∴，
∴①；
由折叠的性质可得，AE=PE，
在直角△DPF中，
∴②；
联立①②得：即，
∴③，
把③代入②中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设，则，
在直角△PEG中，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
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【名师指路】
本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．
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【标准答案】2.4
【思路指引】
根据三个角都是直角的四边形是矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解详析】
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
设斜边上的高为h，
则S△ABC=
∴
∴h=2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
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【名师指路】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
15．如图所示，长方形中，，，，点为上的任意一点（可与、 重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别为、、，则的最小值为___________．
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【标准答案】
【思路指引】
如图，过点B作，并交于点M，根据平行线性质，得四边形为矩形，从而得到；再根据矩形性质，通过证明，得；再根据三角形边角关系性质，得当点P和点C重合时，取最小值；通过三角形面积计算公式，计算得，从而完成求解
【详解详析】
如图，过点B作，并交于点M
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根据题意得：，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴
∴
∵长方形
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴当点P和点C重合时，取最小值，即取最小值
∴
∴
∴，即最小值为
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了矩形、平行线、垂线、全等三角形、三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行线、全等三角形、三角形的性质，从而完成求解．21·cn·jy·com
16．如图，在四边形中，，平分，过点作交于点，于点若，则的长为________．
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【标准答案】3
【思路指引】
过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF．
【详解详析】
解：过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，
∵，
∴∠ABM=30°，
∴AM=AB=×6=3，
∵AM⊥CB，，
∴AM∥EF，
∵，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∵AM⊥CB，
∴四边形AMFE是矩形，
∴EF=AM=3，
故答案为：3．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【名师指路】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．21教育名师原创作品
17．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线AC是该四边形的“等腰线”，其中， ，那么的度数为_________．
【标准答案】
【思路指引】
根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线是该四边形的“等腰线”，所以和为等腰三角形，由于，中分两种情形：①，②．当时，由于，可得为等边三角形，，则，结论可得；当时，过点作，根据等腰三角形的三线合一，，过点作，交延长线于点，根据四边形为矩形，，可得，由于，可得，从而可求．
【详解详析】
解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，
和为等腰三角形．
由于，在中分两种情形：①，②．
当①时，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，．
．
为等边三角形．
．
，
．
，
．
当②时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点作，过点作，交延长线于点，
，，
．
，，，
四边形为矩形．
．
，
．
在中，，
．
，
．
，
．
，
．
综上，．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点．本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键．
18．如图， ABCD中，AE⊥BC与E，AF⊥CD于F，H是△AEF三条高的交点，已知AE＝a，EC＝b，EF＝c，则AH＝___．
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【标准答案】
【思路指引】
过点C作CM⊥AD于点M，连结M ( http: / / www.21cnjy.com )E，MF，构造平行四边形ECFH，矩形AECM，平行四边形AHFM，利用平行四边形的性质推知FM⊥EF，利用勾股定理求出FM，即可得解．
【详解详析】
解：如图，连结AC，过点C作CM⊥AD于点M，连结ME，MF，
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∵EH⊥AF，AF⊥CD，
∴EH∥CF，
同理，FH∥EC，
∴四边形ECFH是平行四边形，
∴FH=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，CM⊥AD，
∴∠AEC=90°，AE∥CM，
∴四边形AECM是矩形，
∴AM=EC，AC=EM，
∴AM∥FH，AM=FH，
∴四边形AHFM是平行四边形，
∴AH∥FM，AH=FM，
∵H是△AEF三条高的交点，
∴AH⊥EF，
∴FM⊥EF，
在Rt△AEC中，AE=a，EC=b，
∴AC2=AE2+EC2=a2+b2，
∴EM2=a2+b2，
在Rt△EFM中，EF=c，
∴FM==，
∴AH=，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，将△ACM沿AM翻折至△AEM，连结CE，BE，延长AM交EC于F，若，则BE＝___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】．
【思路指引】
根据四边形是矩形，可知，，，由是的中点，可知，由折叠性质可知，，即可证明
，再利用三角形的内角和，得到，根据，，可知垂直平分，即可得到，利用勾股定理得到，设，代入等式，即可求出的值，即可解决问题．
【详解详析】
四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
由折叠的性质可知，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，，
是的中点，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
设，
则，
解得：，
，
．
故答案为：．
【名师指路】
本题四边形的综合题，考查了矩形的性质，图形的折叠，全等三角形的性质，勾股定理等知识．
20．如图，M为矩形ABCD中AD边 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
如图，过点作于．设，则．由勾股定理得到，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如下图），作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值．
【详解详析】
解：如图，过点作于．设，则．
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如下图），
( http: / / www.21cnjy.com / )
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值，
，，
，
的最小值为，
故答案为．
【名师指路】
本题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)求证：；
(3)若点，，求DF的长．
【标准答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【思路指引】
（1）利用平行线的性质可得∠C=90°，再根据三个角是直角的四边形是矩形即可判定；
（2）根据折叠的性质和中点的定义得出EG=ED，再用HL定理证明Rt△EGF≌Rt△EDF即可；
（3）利用DF分别表示BF和FC，再在Rt△BCF中利用勾股定理求解即可．
(1)
证明：∵，
∴∠D+∠C=180°，
∵，
∴，
∴四边形ABCD为矩形；
(2)
证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴△ABE≌△GBE，
∴∠BGE=∠A，AE=GE，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
∵点E是AD的中点，
∴EA=ED，
∴EG=ED，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；
∴；
(3)
解：∵四边形ABCD为矩形，△ABE≌△GBE，
∴∠C=90°，BG=CD=AB=6，
∵；
∴，，
∴在Rt△BCF中，根据勾股定理，
，
即，
解得．
即．
【名师指路】
本题考查矩形的性质和判定，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定定理，折叠的性质，勾股定理等．（1）掌握矩形的判定定理是解题关键；（2）能结合重点和折叠的性质得出EG=ED是解题关键；（3）中能利用DF正确表示Rt△BCF中，BF和CF的长度是解题关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE与AD交于点F，连接OE，使得．在AD上截取，连接EH、ED．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若，，求EH的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）矩形，理由见解析；（2）
【思路指引】
（1）先根据平行四边形的性质得到OA=OC=AC，OB=OD=BD，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=AC=OA，则OA=OD，即AC=BD，由此即可证明四边形ABCD是矩形；
（2）先根据平行四边形ABCD是矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形，得到AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，则DH=AD－AH=4，然后证明△AEH≌△CED得到EH=ED，∠AEH=∠DEC，即可推出∠HED=90°，则EH2＋ED2=DH2，由此求解即可．
【详解详析】
解：（1）四边形ABCD是矩形，理由如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴OE⊥AC，OE=AC=OA，
∵OE=OD，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵平行四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，
∵AH=CD，
∴AH=2，
∴DH=AD－AH=4，
∵∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠DCF＋∠DFC=∠EAF＋∠AFE=90°
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠DCF=∠EAF，
∴△AEH≌△CED（SAS），
∴EH=ED，∠AEH=∠DEC，
∵∠AEH＋∠HEC=∠AEC=90°，
∴∠CED＋∠HEC=∠HED=90°，
∴EH2＋ED2=DH2，
∴2EH2=DH2，
∴EH=DH=×4=2．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定条件．
23．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）120°．
【思路指引】
（1）先说明四边形ABCD是平行四边形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，进而得到AC=BD，即可说明四边形ABC D是矩形；
（2）如图，连接OE与BD交 ( http: / / www.21cnjy.com )于F，由直角三角形斜边中线的性质可得EO=AO，即△AEO是等边三角形，再根据等边三角形的性质和平行线的性质即可求出答案．
【详解详析】
证：（1）∵OC＝AO，OD＝BO
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AC＝2AO，BD＝2BO
又∵AO＝BO
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图：连接OE与BD交于F
∵四边形AOBE是平行四边形
∴AE＝BO
又∵AO＝BO
∴AO＝AE
∵CE⊥AE
∴∠AEC＝90°
∵OC＝OA
∴OE＝AC＝AO
∴OE＝AO＝AE
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°
∵∠OAE＋∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用所学知识并正确添加辅助线成为解答本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
24．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E为BC的中点，直线FG经过点E，DG⊥FG于点G，BF⊥FG于点F．
（1）如图1，当∠BEF＝70°时，求证：DG＝BF；
（2）如图2，当∠BEF≠70°时，若BC＝DC，DG＝BF，请直接写出∠BEF的度数；
（3）当DG－BF的值最大时，直接写出∠BEF的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）证明见解析；（2）∠BEF =35°；（3）∠BEF=20°．
【思路指引】
（1）过C点作CH⊥FG于点F，证明△BFE≌△CHE，可得CH=BF，再证明四边形CHGD为矩形，即可得GD=CH=BF；21·世纪*教育网
（2）过C点作CH⊥FG于点F,证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△CHM≌△DGM，CM=DM，再结合BC＝DC，可得EC=MC，结合等腰三角形的性质即可得出相应角度；
（3）结合（1）（2）中的结 ( http: / / www.21cnjy.com )论，根据运动轨迹分析可知当DG≥CD时，∴DG－BF=DG-GM=MD≤CD，且当G在DC的延长线上时等号成立，由此可得结论．
【详解详析】
解：（1）过C点作CH⊥FG于点F,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CH⊥FG，DG⊥FG，BF⊥FG，
∴∠DGH=∠CHE=∠CHM=∠BFE=90°，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC，
又∵∠BEF=∠CEH
∴△BFE≌△CHE（AAS）
∴CH=BF，
∵∠BEF＝70°
∴∠CEH=70°，
∵∠C＝110°，
∴FG//DC，
∴∠CHE=∠HCD=∠DGH=∠GDC=90°，
∴四边形CHGD为矩形，
∴GD=CH=BF；
（2）如下图所示，过C点作CH⊥FG于点F,
( http: / / www.21cnjy.com / )
与（1）同理可证CH=BF，∠DGH=∠CHM=90°，BE=EC，
∵DG＝BF，
∴CH=DG，
又∵∠CME=∠DMG，
∴△CHM≌△DGM
∴CM=DM，
∵BC＝DC，
∴EC=MC，
∵∠C＝110°，
∴∠CEM=∠CME=35°，
∴∠BEF＝∠CEM=35°；
（3）当DG当DG≥CD时，如下图，过C点作CH⊥FG于点F,过点C作CM⊥DG于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DG⊥FG，CH⊥FG，CM⊥DG
∴∠DGH=∠CHG=∠CMG=90°，
∴CH=GM，
由（1）得CH=BF，
∴DG－BF=DG-GM=MD≤CD，且当G在DC的延长线上时等号成立，
此时如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∠BEF=∠CEG=∠BCD-∠G=110°-90°=20°．
【名师指路】
本题考查全等三角形综合，矩形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等．能正确作出辅助线，构造全等三角形是解决（1）（2）的关键；（3）中能正确分析运动轨迹是解题关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；
（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）t，40-2t，t；（2）时，四边形AQMP是菱形；（3）或时△PQM是直角三角形
【思路指引】
（1）根据题意求出求出BP=2t，AQ=t，然后利用含30度角的直角三角形的性质求出AB=2AC=40，由此求出AP=AB-BP=40-2t，；
（2）先证明四边形AQMP是平行四边形，然后根据菱形的判定：当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形，，解方程即可；
（3）分三种情况进行讨论：当∠MPQ=90°，当∠MQP=90°时，当∠PMQ=90°时，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解详析】
解：（1）由题意可得：BP=2t，AQ=t
∵∠C＝90°，∠A＝60°
∴∠B=30°，
∴，
∴，
∵PM⊥AC，
∴∠PMB=90°，
∴，
故答案为：t，40-2t，t；
（2）存在，理由如下：
由（1）知，
∵PM⊥BC，AC⊥BC
∴PM∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形，
∴当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形，
∴，
解得，
∴当时，四边形AQMP是菱形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）当△PQM为直角三角形时有三种情况：
①当∠MPQ=90°，此时四边形CMPQ是矩形，
∴∠PQA=∠PQC=90°，
∴∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，
∴，
解得；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②当∠MQP=90°时，由（2）知MQ∥AP，
∴∠APQ=∠PQM=90°，
∴∠PQA=30°，
∴AQ=2AP，
∴，
解得；
( http: / / www.21cnjy.com / )
③当∠PMQ=90°时此种情况不存在，
∴综上所述，或时△PQM是直角三角形．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质与判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2·1·c·n·j·y
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题03 几何思想之矩形的判定与性质综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AC＝6，BC＝8，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
2．如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的 ( http: / / www.21cnjy.com )一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P ( http: / / www.21cnjy.com )为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
5．如图，在△ABC 中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
6．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．6 C． D．
7．如图，菱形ABCD的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．4.8 C．5 D．6
8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为E，F，连接，，下列结论：①；②；③与四边形的面积相等．其中正确的结论是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，矩形ABCD的顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点A（﹣3，0），B在x轴的负半轴上，顶点C（﹣1，3），D在第二象限内，对角线AC与BD的交点为M．将矩形ABCD沿x轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在x轴上，点M的对应点分别为M1，M2，M3，…，则M2021的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（5050，1） B．（5050，）
C．（5050，1） D．（5050，）
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC于点E，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，点P从点A出发，沿边AD以1 cm/s的速度向点D运动，与此同时，点Q从点C出发，沿边CB以3 cm/s的速度向点B运动．当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．连接PQ，过点P作PF⊥BC于点F，则当运动到第__________s时，△DEC≌△PFQ．21·世纪*教育网
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12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片折叠，使点落在点处，折痕经过点交边于点．连接、，若，则的长为______cm．【来源：21cnj*y.co*m】
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14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．【出处：21教育名师】
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15．如图所示，长方形中，，，，点为上的任意一点（可与、 重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别为、、，则的最小值为___________．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．如图，在四边形中，，平分，过点作交于点，于点若，则的长为________．21教育名师原创作品
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17．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线AC是该四边形的“等腰线”，其中， ，那么的度数为_________．
18．如图， ABCD中，AE⊥BC与E，AF⊥CD于F，H是△AEF三条高的交点，已知AE＝a，EC＝b，EF＝c，则AH＝___．21*cnjy*com
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19．在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，将△ACM沿AM翻折至△AEM，连结CE，BE，延长AM交EC于F，若，则BE＝___．21*cnjy*com
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20．如图，M为矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为________．
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三、解答题
21．如图，四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．
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(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)求证：；
(3)若点，，求DF的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE与AD交于点F，连接OE，使得．在AD上截取，连接EH、ED．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若，，求EH的长．
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23．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．21cnjy.com
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
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24．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E为BC的中点，直线FG经过点E，DG⊥FG于点G，BF⊥FG于点F．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，当∠BEF＝70°时，求证：DG＝BF；
（2）如图2，当∠BEF≠70°时，若BC＝DC，DG＝BF，请直接写出∠BEF的度数；
（3）当DG－BF的值最大时，直接写出∠BEF的度数．
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25．如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．2-1-c-n-j-y
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；
（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
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