10.3.2三角形三个内角的平分线 同步练习（含答案）

第十章 三角形的有关证明
5 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
知识梳理
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到＿__________的距离相等.
基础练习
1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下列结论中正确的是( )
A.∠1＞∠2 B.∠1=∠2 C.∠1＜∠2 D.∠1=2∠2
2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，OH⊥BC于点H.若∠BAC=60°，OH=3cm，则OA的长为( )
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是6，10，12，三条角平分线的交点为O，则
S△ABO:
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD-⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F，且AB=10 cm，BC=8 cm，CA=6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为＿＿＿＿＿.
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中修建一个小亭供人们休憩，使小亭的中心到三条马路的距离相等.试确定小亭中心的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
6.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与△ABC的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
巩固提高
7.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离(即OF，OD，OE的长)相等.若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为( )
A.70° B.120° C.125° D.130°
第7题图 第8题图
8.如图，△ABC的两条外角平分线AP，CP相交于点P，PH⊥AC于点H.若∠ABC=60°，则有下列结论：①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC.其中，正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D.有下列三个结论：①②EF=BE+CF；③设OD=m，AE+AF=n，则 其中，正确的是＿＿＿＿（填序号）.
10.如图，在△ABC中，AB+AC=20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，求图中阴影部分的面积.
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是(Rt△ABC的一条角平分线，点O在BD上，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，OE=OF，连接OA.
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC=5，BC=12，AB=13，求OE的长.
12.已知△ABC的角平分线AD，BE相交于点P.
(1)如图①，分别画出点P到边AC，BC，BA 的垂线段PF，PG，PH，这三条线段的长度相等吗？请说明理由.
(2)如图②，∠ABC=90°，∠C=60°，请判断PE与PD之间的数量关系，并说明理由.
参考答案
［知识梳理］
三条边
[基础练习]
1.B 2.A 3. 3∶5：6 4. 2cm，2cm，2cm
5.如图，点P即为小亭中心的位置
6.过点P作三边AB，BC，CA所在直线的垂线，垂足分别为Q，M，N，则垂线段PQ，PM，PN的长度即为点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离.∵P是∠ABC的平分线BD上的一点，∴PM=PQ.∵P是△ABC的外角平分线CE上的一点，∴PM=PN.∴PQ=PM=PN，即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等
[巩固提高]
7.C 8.D 9.①②③
10.如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=O3.同理，可得0×3=30 .
11.(1)过点O作OM⊥AB于点M.∵BD是，∠ABC的平分线，OE⊥BC，OM⊥AB，∴OOF,∴OF=OM.∴AO是∠BAC的平分线，即点O在∠BAC的平分线上
(2)连接OC.由(1)，得∵在R△ABC中，12×5=30.又∵,∴OE=2
12.(1)图略 PF=PG=PH 理由：∵△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥BA，∴PF=PH,PG=PH.∴
(2)PE=PD 理由：过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F，G，∵∠PFE=D=90°.∴∠ABC=90°,∠C=60°,∴∠BC=30°.∵∠PDG为△ADC的一个外角，AD是∠CAB的平分线，∴
是△ 的一个外角，BE是∠BC的平分线，∴∠PEF=∠CAB+ ∠PDG.由(1)，得PF=PG.
在△PFE和△PGD中，∴△PFE≌△PGD.∴PE=PD.