(共38张PPT)
2．2.1 直线的倾斜角与斜率
灯直线的倾斜角与斜率
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 数学抽象
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象
3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向向量判定直线的平行 数学运算
三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程，大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区．俯瞰长江，泄洪观景区和185米水位线的观景区波澜壮阔、雷霆万钧．浩大工程展现了国人的智慧和匠心．大坝上不同位置有的坡度“陡峭”，有的“平缓”……
[问题] “陡峭”和“平缓”在数学中应该如何刻画？
知识点一 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；
(2)范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率：如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；
(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在．
1．倾斜角的范围是θ∈[0，π).
2．当θ＝时，直线l的倾斜角为，但斜率不存在．
已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？
提示：确定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( )
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.( )
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞).( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．－45°
解析：选B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A． B．
C．1 D．
解析：选A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.
4．已知过两点A(4，y)，B(2，－3)直线的斜率为－1，则y＝________．
解析：因kAB＝＝－1，
解得y＝－5.
答案：－5
知识点二 直线的方向向量和法向量
1．直线的方向向量
(1)定义：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l；
(2)直线的斜率与方向向量的关系
如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则：
①当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；
②当u≠0时，直线l的斜率k＝.
2．直线的法向量
如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.
1．设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？
提示：(1，1).
2．如果a＝(－1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？
提示：(2，1).
已知直线l经过点A(－1，3)与B(2，0)，则直线l的一个方向向量为________，斜率k＝________，倾斜角θ＝________．
解析：＝(3，－3)＝3(1，－1)，
则k＝－1，θ＝135°
答案：(1，－1) －1 135°
直线的倾斜角
[例1] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图).
[答案] D
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[跟踪训练]
1.如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选D 由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
直线的斜率
角度一 直线的斜率
[例2] 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2).
(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；
(2)若还存点Q4(a，3)，试求直线PQ4的斜率．
[解] (1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．
设它们的斜率分别为k1，k2，k3.
则由斜率公式得：k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
(2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在．
当a≠3时，其斜率k＝＝.
1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
2．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
角度二 斜率公式的应用
[例3] 已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
[解] (1)kMN＝＝1，解得m＝.
(2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.
[母题探究]
1．(变设问)若例3条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围．
解：由题意知，解得1＜m＜2.
2．(变条件)若将例3中的“N(2m，1)”改为“N(3m，2m)”，其他条件不变，结果如何？
解：(1)由题意知＝1，解得m＝2.
(2)由题意知m＋1＝3m，得m＝.
1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．
2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算．
[跟踪训练]
1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，又因为正切函数在[0，90°)递增且函数值大于0，在(90°，180°)递增且函数值小于0，所以tan α2＞tan α3＞0，tan α1＜0，故k1＜k3＜k2.
答案：k1＜k3＜k2
2．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a＝________．
解析：∵A，B，C三点共线，且3≠－2，
∴BC的斜率存在．
∴AB的斜率存在，且kAB＝kBC.
∵kAB＝＝，
kBC＝＝，
∴＝.
∴25＝27a＋21－9a2－7a，
解得a＝2或a＝.
答案：2或
求直线的方向向量或法向量
[例4] 已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[解] ＝(4－1，5－2)＝(3，3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，法向量可以为(－1，1).因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而θ＝45°.
求直线方向向量和法向量的方法
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)，直线的法向量和方向向量垂直；
(2)直线的方向向量和法向量不唯一．
[跟踪训练]
已知直线l经过点M(3，3)和N(2，3＋)，求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角．
解：＝(2－3，3＋－3)＝(－1，)，∴直线l的一个方向向量为(－1，)，
由于法向量与方向向量垂直，
∴法向量v＝(，1)，斜率k＝－，由tan θ＝－知θ＝120°.
1．若经过P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率为1，则m等于( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A 由题意知kPQ＝＝1，解得m＝1.
2．斜率不存在的直线一定是( )
A．过原点的直线
B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线
D．垂直于坐标轴的直线
解析：选B 只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．
3．若过两点M(3，y)，N(0，)的直线的倾斜角为150°，则y的值为( )
A． B．0
C．－ D．3
解析：选B 由斜率公式知＝tan 150°，∴＝－，
∴y＝0.
4．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是________．
解析：设直线的斜率为k，当0°≤α＜90°时，k＝tan α≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k＝tan α＜－1，故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞).
答案：(－∞，－1)∪[0，＋∞)
5．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
解：由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，
所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
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灯第二课时 直线的两点式和一般式方程
上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上．
[问题] 老师如此做的依据是什么？
知识点一 直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距为a，在y轴上截距为b
图形
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴及过原点的直线
利用两点式求直线方程必须满足什么条件？
提示：x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( )
(2)直线方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)和方程＝是相同的．( )
(3)截距式方程是两点式方程的特殊形式．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．直线x－2y＝4的截距式方程是____________．
解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．
答案：＋＝1
3．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线方程为____________．
解析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.
答案：x＋5y－27＝0
知识点二 直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式．
2．系数的几何意义
(1)当B≠0时，直线斜率k＝－，在y轴上的截距b＝－；
(2)当B＝0，A≠0直线斜率不存在，直线过点；
(3)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量．
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
提示：都可以．
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？
提示：都能表示一条直线．
3．直线与二元一次方程有怎样的关系？
提示：(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为，从而倾斜角为30°.
直线的两点式方程
[例1] (链接教科书第82页例3)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中．
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解] (1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝＝－3.
∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3，2).
∴由两点式得＝，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
求直线的两点式方程的策略及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
[跟踪训练]
已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
直线的截距式方程
[例2] (链接教科书第82页例4)求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[解] 法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
法二：由题意知直线的斜率一定存在．
设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.
根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.
当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y
＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3
＝0.
[母题探究]
(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0.
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，
又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可；
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
[跟踪训练]
1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1 B．－1
C．7 D．－7
解析：选B 直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.
2．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
解：设直线方程的截距式为＋＝1.
则＋＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
直线的一般式方程
[例3] (链接教科书第83页例5、第84页例6)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)经过点A(3，1)，v＝(3，－2)是直线的一个法向量．
[解] (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
整理得x－y＋3－5＝0.
(2)由两点式方程得＝，
整理得2x＋y－3＝0.
(3)法一：因为v＝(3，－2)是直线l的一个法向量，所以可以设l的方程为3x－2y＋C＝0，代入点A(3，1)，可求得C＝－7，因此所求方程为3x－2y－7＝0.
法二：设P(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与v＝(3，－2)垂直．又因为＝(x－3，y－1)，所以3×(x－3)＋(－2)×(y－1)＝0，
整理可得一般式方程为3x－2y－7＝0.
求直线一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
[跟踪训练]
1．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为____________，截距式方程为____________，斜截式方程为____________，一般式方程为____________．
解析：点斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0.
答案：y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
2．直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为________．
解析：令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝，
∴＝3，∴m＝－6.
答案：－6
1．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
解析：选A 点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.
2．直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：选B 因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0.
3．如果直线l过点P(－1，－2)，且直线l的方向向量为a＝(1，－2)，求直线l的方程．
解：直线l的方向向量a＝(1，－2)，则法向量v＝(2，1)，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0，代入点P(－1，－2)，得C＝4，因此所求直线方程为2x＋y＋4＝0.
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7(共24张PPT)
2．2.2 直线的方程
灯直线的方程
新课程标准解读 核心素养
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系 数学抽象、直观想象
第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．
[问题] (1)已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？
(2)若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？
知识点一 直线的方程与方程的直线
如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0.
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点(3，2)在直线y－2＝(x－1)上．( )
(2)若方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则直线l为方程F(x，y)＝0的直线．( )
答案：(1)× (2)×
知识点二 直线方程的点斜式、斜截式
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b
1．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：
(1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；
(2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.
2．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．
3．截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．
1．若直线的倾斜角为0°，且经过点P(x0，y0)，能用点斜式表示吗？
提示：能．
2．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？
提示：斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距).
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案：C
2．经过点(－1，1)，倾斜角为150°的直线方程为________．
答案：y－1＝－(x＋1)
直线的点斜式方程
[例1] (链接教科书第80页例1)若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：
(1)斜率k＝－3；
(2)倾斜角为150°；
(3)平行于x轴．
[解] (1)直线l的点斜式方程为y－1＝－3(x－2).
化简得y＝－3x＋7.
(2)直线的斜率为k＝tan 150°＝－，
所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)，
化简得y＝－x＋＋1.
(3)平行于x轴的直线的斜率k＝0，
故所求的直线方程为y＝1.
求直线的点斜式方程的步骤
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
[跟踪训练]
1．过点(－1，2)，且倾斜角为60°的点斜式方程为________．
解析：直线的斜率k＝tan 60°＝，
由直线的点斜式方程得y－2＝(x＋1).
答案：y－2＝(x＋1)
2．求过点A(3，3)且与直线l：y＝x－倾斜角相等的点斜式方程．
解：因为两直线的倾斜角相等，知斜率也相等，
由直线l：y＝x－，得该直线的斜率k＝.
故所求直线的点斜式方程为y－3＝(x－3).
直线的斜截式方程
[例2] (链接教科书第85页练习A4题)根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
[解] (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决一次函数的图像问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.
[跟踪训练]
求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
1．若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x－ D．y＝x－2
解析：选B 由题得直线l的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.
2．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4斜率相等的直线的斜截式方程为________．
答案：y＝－3x＋2
3．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点(1，1)
解：由直线的斜截式方程得直线方程为y＝2x＋m.
∵直线过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，
∴m＝－1即为所求．
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5(共33张PPT)
2.2.3 两条直线的位置关系
灯
两直线平行
两直线重合
←→
己知两直线的斜率存在：
设直线l1:y=k1x+b1
直线l2:y=k2x+b2·
两直线相交台
两直线垂直←台→
通过解方程组进行判断
己知两直线的一般方程：
方程组
台两直线平行：
设直线l:A1x+By+C1
方程组
台两直线重合；
=0(A2+B2≠0)，直线
方程组
台两直线相交
L2:A2x+B2y+C2=0(A2+
B2≠0)
两直线交点坐标
利用系数的关系进行判断
两直线平行
台
或
两直线重合台
或
两直线相交台
.两直线垂直台
无解
有无数组解
有唯一解
A1B2A2B1=0
A1B2A2B1=0
A1C2A2C1≠0
B1C2B2C1丰0
A1B2A2B1=0
A1B2A2B1=0
A1C2A2C1=0
B1C2-B2C10
A1B2A2B1≠0
A1A2+B1B2-0
y
al
A2
0
X
2两条直线的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学运算
2.能根据直线的斜率或方程的系数判定两条直线平行或垂直 逻辑推理
如图所示是人们平常所说的飞机拉烟……
[问题] 每一道拉烟之间有怎样的位置关系？
知识点 两条直线的位置关系
1．直线斜截式判定法
当两条直线都没有斜率时，它们互相平行或重合；当两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直．
2．直线一般式判定法
1．l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是什么？
提示：(1)两条直线的斜率都存在．(2)l1与l2不重合．
2．l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是什么？
提示：(1)两条直线的斜率都存在．(2)k1≠0且k2≠0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
解析：选D 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.
3．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4，1) B．(1，4)
C． D．
解析：选C 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
4．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，
∴m＝0.
答案：0
两条直线相交、平行、重合的判定
[例1] 已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
[解] ∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1.
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有
即即
即
∴m＝－1.
故当m＝－1时，直线l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有
即
∴∴m＝3.
故当m＝3时，直线l1与l2重合．
根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论．因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行．
[跟踪训练]
l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解：由题意：A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，A2＝a，B2＝a－2，C2＝1，
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，
即9(a－2)－a×(－1)≠0，∴a≠.
故当a≠时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有
即∴
∴当a＝时，l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有
由(2)知不成立，∴直线l1与l2不重合．
两条直线垂直的判定
[例2] (1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
[解] (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，
则l1⊥l2，满足题意．
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得
k1＝＝，k2＝＝.
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝0.
综上所述，a的值为0或5.
利用斜率公式判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步；
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
[注意] 若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
[跟踪训练]
分别判断下列两直线是否垂直：
(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(2)直线l1经过A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)；
(3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行.
解：(1)直线l1的斜率为k1＝－10，直线l2的斜率为k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1.所以直线l1与l2垂直．
(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．
(3)直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直．
直线平行与垂直的综合应用
[例3] 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．
[解] 由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
[母题探究]
1．(变条件)将本例中的四个点，改为“A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”
解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
2．(变条件、变设问)将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，试求顶点R的坐标．”
解：因为四边形OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，
则由中点坐标公式知
解得所以R点的坐标是(－2t，2).
1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
2．判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标；
(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况；
(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，讨论可能出现的其他情况．
[跟踪训练]
已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为________．
解析：设点D的坐标为(x，y)，由已知得，直线AB的斜率kAB＝1，
直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－，直线AD的斜率kAD＝，
由AB⊥CD，且AD∥BC，得
解得
所以D的坐标为(10，－6).
答案：(10，－6)
1．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－1或2
解析：选B 由已知，得a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.
2.如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的斜率为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C ∵k1＝tan 30°＝，
又l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
∴k2＝－.
3．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．－8 B．0
C．2 D．10
解析：选A 由已知，得＝－2，∴m＝－8.
4．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．
解析：由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2.
答案：±2
5．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点C(3，2)，D(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点E(2，－3)，F(－4，9)的直线平行．
解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，
解得m＝－或m＝1.
(2)由kAB＝，且kCD＝＝3.
则＝－，解得m＝或m＝－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1.
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9(共26张PPT)
2.2.4 点到直线的距离
灯点到直线的距离
新课程标准解读 核心素养
探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 直观想象、数学运算
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
[问题] (1)平面直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴，y轴的距离分别是多少？
(2)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
知识点 点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝
1．已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．
2．点到直线距离的向量表示
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|.
1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
提示：直线方程为一般式．
2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B．
C．2 D．
解析：选D d＝＝.
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选B 由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝.
点到直线的距离
[例1] (链接教科书第94页例1)已知点A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，求△ABC的面积．
[解] 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.
|AB|＝＝.
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．
AB边所在直线的方程为＝，
即3x－y－5＝0.
点C(－2，－1)到直线3x－y－5＝0的距离h＝＝，所以S△ABC＝|AB|·h＝××＝5.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
[跟踪训练]
1．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．－1
C．＋1 D．2－
解析：选B 由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.∵a＞0，∴a＝－1，故选B.
2．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选B 法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B.
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B.
两平行线间的距离
[例2] (链接教科书第94页例2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
[解] 设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.
由直线l与两条平行线的距离相等，
得＝，即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
[跟踪训练]
求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．
解：法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，
∴|C＋1|＝2，C＝±2－1，
∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，
则点P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，
∴2x－y－1＝±2，
∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
距离的综合应用
[例3] 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其它三边所在直线的方程．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
得＝，得c＝7或c＝－5(舍去).
∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，
得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
[跟踪训练]
1．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B．
C． D．
解析：选B 由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即|PQ|的最小值为.
2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝ |m＋7|＝|m＋5| m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
答案：3
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5
C．3 D．2
解析：选A 直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7.
2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
由平行线间的距离公式得d＝＝.
3．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________．
解析：由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，∴a＋d＝10.
答案：10
4．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________．
解析：由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，
∴m＝或m＝－6.
答案：或－6
5．已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由点斜式方程得，y－5＝－(x＋2)，
∴3x＋4y－14＝0.
(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－14)，则由平行直线间的距离公式得＝3，∴c＝1或－29.
∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
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