(共34张PPT)
2．3.1 圆的标准方程
灯圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程 直观想象、数学运算
“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高．
[问题] (1)游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？
(2)若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？
知识点 圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
提示：若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.( )
答案：(1)× (2)×
2．已知圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则圆心坐标________，半径为________．
答案：(2，－8) 3
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．
解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
求圆的标准方程
[例1] (链接教科书第99页例1)(1)求圆心为点C(－2，1)，且过点A(2，－2)的圆的方程；
(2)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
[解] (1)将圆心(－2，1)代入圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
有(x＋2)2＋(y－1)2＝r2，再将点A(2，－2)代入方程有r2＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝52.
从而圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25.
(2)法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二(几何法)：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.
[跟踪训练]
1．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________________．
解析：设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
2．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
解：因为A(1，1)，B(2，－2)，所以线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－3，
因此线段AB的垂直平分线l′的方程是
y＋＝，
即x－3y－3＝0.
圆心C的坐标是方程组的解．
解此方程组，得
所以圆心C的坐标是(－3，－2).
圆心为C的圆的半径长r＝|AC|＝＝5.
所以圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
点与圆的位置关系
[例2] (链接教科书第101页练习A3题)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[解] (1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a＞0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得，
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3.
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范围是(3，).
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)将点的坐标(x0，y0)代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系；
(3)下结论：若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d[跟踪训练]
已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
解：设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心坐标为C(4，6)，又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
分别计算点M，N，P到圆心C的距离：
|CM|＝＝＞，
|CN|＝＝，
|CP|＝＝＜，
所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．
圆的方程实际应用
[例3] (链接教科书第100页例3)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程组
解得b＝－10.5，r2＝14.52.
所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.
把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得
(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
即y＋10.5＝(P2的纵坐标y＞0，平方根取正值).所以y＝－10.5
≈14.36－10.5＝3.86(m).
故支柱A2P2的高度约为3.86 m.
坐标法解决此类问题的“三步曲”
[跟踪训练]
已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为
x2＋y2＝16(y≥0).
将x＝2.7代入，得y＝＝＜3.
即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．
与圆有关的最值问题
[例4] 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．
[解] 原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，
解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
[母题探究]
1．(变设问)在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．
解：设y－x＝b，
即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2．(变设问)在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题；
(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
(3)形如z＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
[跟踪训练]
1．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选A 设该圆的圆心为(a，b)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，∵该圆过点(3，4)，∴(3－a)2＋(4－b)2＝1，此式子表示点(a，b)在以(3，4)为圆心，1为半径的圆上，则点(a，b)到原点的最小值为－1＝4，故选A.
2．已知x，y满足(x＋1)2＋y2＝，试求：
(1)x2＋y2的最值；
(2)x＋y的最值．
解：(1)由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．
原点(0，0)到圆心(－1，0)的距离为d＝1，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，
最小距离为1－＝，
因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
(2)令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，
此时有＝，
解得z＝±－1，
即最大值为－1，最小值为－－1.
1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为( )
A．(2，1) B．(2，－1)
C．(－2，1) D．(－2，－1)
解析：选B 结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1).
2．以(2 020，2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为( )
A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212
B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212
C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021
D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021
解析：选A 由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212.
3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为________．
解析：因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－.
答案：(－∞，－)∪(1，＋∞)
4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．
解析：∵点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m.
∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.
答案：(x＋2)2＋y2＝10
5．已知圆M的圆心坐标为(3，4)，且A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．
解：∵|MA|＝＝5，
|MB|＝＝2，
|MC|＝＝，
∴|MB|＜|MA|＜|MC|，
∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，
∴圆的半径r＝|MA|＝5，
∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
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9(共23张PPT)
2．3.2 圆的一般方程
灯圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 直观想象、数学运算
在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
[问题] 如果把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当 D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为_．
1．圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？
提示：圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显．
2．求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？
提示：只要求出一般方程中的D，E，F，圆的方程就确定了．
3．所有二元二次方程均表示圆吗？
提示：不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )
(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )
答案：(1)× (2)√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3).
3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为______．
解析：该圆的圆心为，半径为，
故其标准方程为＋(y－2)2＝.
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.
答案：x2＋y2－3x－4y＝0
圆的一般方程的辨析
[例1] (链接教科书第104页例2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
[跟踪训练]
已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4) 5
求圆的一般方程
[例2] (链接教科书第102页例1)(1)已知△ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程；
(2)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
[解] (1)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵点A，B，C在所求的圆上，故有
故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
(2)法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得，或
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二(几何法)：由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).
又圆C的半径长r＝|CP|＝.(*)
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.
∴r2＝a2＋，代入(*)并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝.
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
[跟踪训练]
1．过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．
解析：将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
2. 已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴解得
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆．
1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．
解析：选A 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．
2．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为( )
A．2 B．－1
C．－2 D．0
解析：选D 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，
∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．
∴2－2＋m＝0得m＝0.
3．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程为________．
解析：设M(x，y)，则即
又(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
4．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________．
解析：根据题意，方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则
解得∴a＋b＋c＝2.
答案：2
5．求经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的一般方程．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得
解得
故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
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5(共37张PPT)
2．3.3 直线与圆的位置关系
灯直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
[问题] (1)图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
(2)结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？
(3)如何判断直线与圆的位置关系？
知识点 直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．( )
答案：(1)√ (2)√
2．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2
C． D．无解
解析：选B 由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2.
3．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3，4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4.
答案：4
直线与圆位置关系的判断
[例1] (链接教科书第107页例1)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系．
[解] 法一(代数法)：由方程组
消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0，
∴该方程组有两组不同的实数解，
即直线l与圆C相交．
法二(几何法)：圆心(7，1)到直线l的距离为d＝＝2.∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交．
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
[跟踪训练]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相交或相切 D．相切
解析：选C 直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．
2．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相交 D．不确定
解析：选C 由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交．
直线与圆相切的有关问题
[例2] (1)(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A． B．
C． D．
(2)经过点M(2，)，且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程为________；
(3)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是________．
[解析] (1)因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B.
(2)法一：因为22＋()2＝10，
所以点M在圆x2＋y2＝10上，由题意可知圆心为C(0，0)，则直线CM的斜率kCM＝.
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率k＝－.
故经过点M的切线方程为y－＝－(x－2)，整理得2x＋y－10＝0.
法二：显然点M(2，)在圆x2＋y2＝10上，又因为过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，故所求切线方程为2x＋y＝10，即2x＋y－10＝0.
(3)法一：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，依题意得圆心C(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上，
所以2a×(－1)＋b×2＋6＝0，即a＝b＋3，①
易知由点(a，b)向圆所作的切线长l＝，②
将①代入②，得l＝＝.
又b∈R，所以当b＝－1时，lmin＝4.
法二：因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意知圆心C(－1，2)，半径r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d′，易求得d′＝＝3，所以切线长的最小值为＝4.
[答案] (1)B (2)2x＋y－10＝0 (3)4
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
3．求切线长(最值)的两种方法
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
[跟踪训练]
1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
2．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，
所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|
＝2＝2.
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：|OP|min＝＝2.
故所求最小值为2＝8.
答案：8
直线截圆所得弦长问题
[例3] 直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
[解] 据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
法一：联立方程组
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k＞0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2).
∴|AB|＝
＝
＝
＝＝4.
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|＝×4＝2，
则|OH|＝＝.
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
求弦长的两种方法
涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有两种：
(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线(y＝kx＋b)与圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝·或|AB|＝·|y1－y2|＝·.
[跟踪训练]
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝＝2，所以|BD|min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
2．(2020·天津高考)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
解析：依题意得，圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋＝25，又r>0，所以r＝5.
答案：5
与圆有关的探究性问题
如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1，2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
[问题探究]
此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：
问题思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确．如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答．
[迁移应用]
1．对上述问题进行解答．
解：(1)直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
∵圆心O(0，0)到直线AB的距离d＝＝，
∴弦长|AB|＝2＝2＝.
(2)假设存在弦AB被点P0平分，
∴P0为弦AB的中点，又|OA|＝|OB|＝r，∴OP0⊥AB.
又∵k＝＝－2，∴kAB＝.
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x－2y＋5＝0.
2．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，由题意知
解得或
又因为S＝πr2＜13，
所以a＝1，r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)不存在这样的直线l.
理由如下：当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，
因为l与圆C相交于不同的两点，
所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，
解得k＜1－或k＞1＋.
x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3).
假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
所以3×＝，
解得k＝， ∪，
所以假设不成立．
不存在这样的直线l.
1．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选C 设l：y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0.
又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±.
2．在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵cos2θ＋sin2θ＝1，
∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
又x－my－2＝0表示过点(2，0)且斜率不为0的直线，
如图，可得点(－1，0)到直线x＝2的距离即为d的最大值．故选C.
3．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________．
解析：因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以＞，解得m＜－2或m＞2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，求直线l的方程．
解：由题意，直线与圆相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1).
又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，所以圆心到直线的距离
d＝＝＝.
解得k＝1或k＝.
所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.
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2．3.4 圆与圆的位置关系
灯
C
O
A
A
P
02
P
02
B
D
D
图①
图②
C
A
02
B
D
图③
图④圆与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 直观想象
2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算
下图为1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．
[问题] (1)根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？
(2)能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
(3)直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？
知识点 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，
两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
圆与圆位置关系的判断
[例1] (链接教科书第113页例1)已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
[解] 法一(几何法)：把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1，4)，半径长r2＝5.
圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3，
又圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋，两半径之差是r2－r1＝5－.
而5－<3<5＋，即r2－r1所以两圆的位置关系是相交．
法二(代数法)：将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0，③
由③得x＝－2y－1，把此式代入①，
并整理得y2－1＝0，④
所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3，1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．
判断两圆位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
[跟踪训练]
1．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为( )
A．相切 B．内含
C．外离 D．相交
解析：选B 圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，即(x＋1)2＋＝，∴C1，圆C1的半径r1＝.圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，即(x＋2)2＋＝，
∴C2，圆C2的半径r2＝.∴两圆的圆心距|C1C2|＝＝.又∵r1＋r2＝＋＝8，r2－r1＝－＝5，∴|C1C2|＝2．已知两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径长r的值是________．
解析：因为＝2＜5＋r，所以两圆不能外切，故两圆内切，所以＝|5－r|，解得r＝5±2.
答案：5±2
与两圆相交有关的问题
[例2] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解] 法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有＝ ，
解得a＝，故圆心为，
半径为 ＝.
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： 因为圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[跟踪训练]
求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．
法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或
所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.
法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.
圆与圆的相切问题
[例3] 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝，②
＝r.③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
[母题探究]
1．(变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”．
解：因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为 (a，0)，半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，
所以
解得
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
2．(变条件、变设问)将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值．”
解：圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1，0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B(4，4)，半径为r2＝.因为两圆相外切，
所以＝1＋，解得m＝16.
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论；
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟踪训练]
求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则
＝1.①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
两圆的公切线问题
同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线，探索平面内两个圆的公切线条数与它们的位置有什么关系，并求出圆C1：x2＋y2＝2与圆C2：(x－2)2＋y2＝8的公切线．
[问题探究]
1．两圆公切线的条数
(1)两圆外离，公切线有4条(外公切线2条，内公切线2条)，如图①；
(2)两圆外切，公切线有3条(外公切线2条，内公切线1条)，如图②；
(3)两圆相交，公切线有2条(外公切线2条，内公切线0条)，如图③；
(4)两圆内切，公切线有1条(外公切线1条，内公切线0条)，如图④.
2．公切线交点
设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，则外公切线的交点P满足＝；
内公切线的交点Q满足＝.
[迁移应用]
如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1，圆O2都与直线l：y＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程．
解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l组成角的角平分线上．
若直线l的斜率k＝tan α，设t＝tan ，则k＝.
圆心O1，O2在直线y＝tx上，可设O1(m，mt)，O2(n，nt).
交点P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0，
所以⊙O1：(x－m)2＋(y－mt)2＝(mt)2，⊙O2：(x－n)2＋(y－nt)2＝(nt)2.
所以
即
所以m，n是方程x2－(4＋4t)x＋8＝0的两根，于是mn＝8.
由半径的积(mt)(nt)＝2，得t2＝，故t＝.
所以k＝＝＝，直线l的方程为y＝x.
1．两圆x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．内切 D．外切
解析：选B 两圆圆心分别为(0，2)和(－2，－1)，半径分别为1和4，圆心距d＝＝，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|，故两圆相交．
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋n＝0内切，则n＝( )
A．21 B．9
C．19 D．－11
解析：选D C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，
其圆心为(3，4)，半径r＝，C1圆心为(0，0)，半径为1.
若两圆内切，则有＝－1，解得n＝－11.
3．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为( )
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选A 两圆方程相减消去二次项得4x－1＝0，此即为两圆公共弦所在直线方程．
4．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为________．
解析：两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A(2，2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4.
答案：4
5．求圆O：x2＋y2＝36与圆M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切线的方程．
解：如图，易知两圆相交，公切线有两条．
由圆M的方程易得M(0，5)，半径r＝3.
设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，则公切线方程为x0x＋y0y＝36.
∵点M到公切线的距离等于3，
∴ eq \f(|x0·0＋5·y0－36|,\r(x＋y)) ＝3.
∵x＋y＝36，又由图知y0<6，
∴－(5y0－36)＝18，即y0＝.从而x0＝± eq \r(36－y) ＝±.
故公切线方程为x＋y－36＝0或－x＋y－36＝0，
即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0.
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