(共30张PPT)
2．5.1 椭圆的标准方程
灯椭圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程 直观想象
天文学家是如何计算出日食(月食)出现的准确时间呢？
原来，地球(月球)运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周长．
[问题] (1)给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？
(2)在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？
知识点一 椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件 结论
2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
1．确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
提示：a，b的值及焦点所在的位置．
2．根据椭圆方程，如何确定焦点位置？
提示：把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的坐标轴上．
1．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：C
2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
答案：D
3．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．
答案：＋＝1或＋＝1
求椭圆的标准方程
[例1] (链接教科书第126页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.
[解] (1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆的定义，知2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，即焦点的位置由x2，y2项系数分母的大小决定，焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[跟踪训练]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
椭圆的定义及其应用
[例2] (链接教科书第128页练习B2题)(1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．
[解析] (1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又∵|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos ∠F1PF2＝＝，
∴∠F1PF2＝60°.
[答案] (1)20 (2)60°
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
[跟踪训练]
1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为____________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．如果椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是________．
解析：由题意知a＝10，|PF1|＝6，
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
所以|PF2|＝20－|PF1|＝20－6＝14.
答案：14
与椭圆有关的轨迹问题
[例3] (链接教科书第127页例2)求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
[解] 圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3，2a＝10，
所以a＝5，从而b＝4，
故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
定义法求椭圆标准方程的策略
利用椭圆的定义求轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是不是常数，且该常数(定值)大于两定点的距离，求出轨迹方程后，要检验方程上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在方程后注明．
[跟踪训练]
已知B，C是两个定点，顶点A为动点，|BC|＝6，且△ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程．
解：如图所示，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(x，y)，由题意知：
B(－3，0)，C(3，0)，|AB|＋|AC|＋|BC|＝16.
又|BC|＝6，
∴|AB|＋|AC|＝10.
∵|AB|＋|AC|＞|BC|，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆．
易知a＝5，c＝3，则b＝4，
又A，B，C构成三角形，
∴点A，B，C不共线，∴x≠±5.
∴点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±5).
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.
2．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
解析：选B |MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.
3．椭圆＋＝1的焦距为________．
解析：由椭圆方程得a2＝32，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝16.
∴c＝4，2c＝8.
答案：8
4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是______．
解析：由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，故△ABF2的周长等于|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝16.
答案：16
5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是________．
解析：|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，
∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
PAGE
7(共19张PPT)
灯第二课时 椭圆的几何性质(二)
求椭圆的离心率
角度一 直接法求椭圆的离心率
[例1] 已知直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F和一个顶点B，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
[解析] 由直线l：2x－y＋2＝0，令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝－1.又∵直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F和一个顶点B，∴椭圆的左焦点F(－1，0)，顶点B(0，2)，
∴c＝1，b＝2，∴a＝＝＝，∴该椭圆的离心率e＝＝＝.故选B.
[答案] B
角度二 构造方程或不等式求椭圆的离心率
[例2] (1)若一个椭圆长轴长与焦距之和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
[解析] (1)由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，
所以4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝(负值舍去).
(2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.
又因为0所以椭圆离心率的取值范围是.
[答案] (1)B (2)
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解；
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
[跟踪训练]
1．已知椭圆＋x2＝1(b＞0)的离心率为，则b等于( )
A．3 B．
C． D．
解析：选B 易知b2＋1＞1，由题意得＝＝，解得b＝或b＝－(舍去)，故选B.
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 如图，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
3．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是________．
解析：因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.因为a－c≤|PF1|≤a＋c，即a－c≤3c≤a＋c，解得≤≤.所以椭圆C的离心率e的范围为.
答案：
椭圆的实际应用问题
[例3] (链接教科书第133页例4)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程(精确到1 km).
[解] 如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点(记F1为左焦点)，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6 371＋439＝6 810，
a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝6 371＋2 384＝8 755，
∴a＝7 782.5≈7 783.
∴b＝
＝＝≈7 721，
∴卫星运行的轨道方程是＋＝1.
解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．
[跟踪训练]
神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R D．d1＋d2
解析：选D 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
1．椭圆＋＝1的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由椭圆＋＝1可得a＝3，b＝2，∴c＝＝，
∴椭圆的离心率e＝＝.故选B.
2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B 因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b＝c，所以a＝＝c，所以离心率e＝＝.故选B.
3．(2021·陕西商洛市高二月考)已知椭圆M：＋＝1，椭圆N：＋＝1，椭圆P：＋＝1，则( )
A．M与N的离心率相等，M与P的焦距相等
B．M与N的离心率相等，N与P的焦距相等
C．M与N的焦距相等，M与P的短轴长相等
D．M与N的焦距相等，M与P的离心率相等
解析：选D ∵k2＋16－(k2＋9)＝16－9，∴M与N的焦距相等；
∵＝，∴M与P的离心率相等．故选D.
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为________．
解析：因为长轴长为4，所以a＝2，
根据离心率为，得c＝，
所以b＝＝，
所以短轴长为2.
答案：2
5．已知椭圆＋＝1的离心率e＝.求k的值．
解：分两种情况进行讨论．
①当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得
c2＝k－1.
∵e＝，∴＝，解得k＝4.
②当椭圆的焦点在y轴上时，
由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.
∵e＝，∴＝，解得k＝－.
综上可得，k＝4或k＝－.
PAGE
5(共19张PPT)
灯椭圆的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想 数学运算
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现．
[问题] 你知道椭圆有什么样的性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 长轴长＝，短轴长＝
对称性 对称轴 x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率 e＝(0椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3， B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
答案：B
2．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
答案：
第一课时 椭圆的几何性质(一)
由椭圆方程研究几何性质
[例1] (链接教科书第132页例1)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[解] 把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.
两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3).
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[跟踪训练]
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
利用几何性质求标准方程
[例2] (链接教科书第134页练习A2题)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0).
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
[跟踪训练]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3，0)，离心率e＝；
(2)过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．
解：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝，所以＝，
把b＝3代入，得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
(2)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
椭圆几何性质的简单应用
[例3] (链接教科书第132页例3)已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，求|PA|的最小值．
[解] 设P(x，y)，则
|PA|＝＝，
因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，
所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7，
则|PA|＝
＝，
因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2.
解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用不等式的性质以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响．
[跟踪训练]
1．已知点P(3，4)在椭圆＋＝1上，则以点P为其中一个顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是( )
A．12 B．24
C．48 D．与a，b的值有关
解析：选C 根据椭圆的对称性，以点P为其中一个顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是6×8＝48.
2．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为( )
A． B．
C．2 D．2
解析：选D 由题意知，当椭圆上的点为短轴的一个端点时，三角形的面积最大，故·b·2c＝1，即bc＝1，c＝，∴a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，当且仅当b＝1时取等号，∴a≥，∴2a≥2.
1．对于椭圆＋＝1，下面说法正确的是( )
A．长轴长为2 B．短轴长为3
C．离心率为 D．焦距为1
解析：选C 根据题意，椭圆的方程为＋＝1，其中a＝＝2，b＝，则c＝＝1，则其长轴长为2a＝4，短轴长2b＝2，焦距2c＝2，其离心率e＝＝.故选C.
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )
A．(±10，0) B．(±，0)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±).
3．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 由已知得a＝9，2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72.
又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
4．已知椭圆的标准方程为＋＝1.
(1)求椭圆的长轴长和短轴长；
(2)求椭圆的离心率；
(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．
解：(1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4.
(2)c＝ ＝，
所以椭圆的离心率e＝＝.
(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为＋＝1，又椭圆过点P(－4，1)，
将点P(－4，1)代入得＋＝1，
解得a′2＝18.故所求椭圆方程为＋＝1.
PAGE
7(共8张PPT)
2．5.2 椭圆的几何性质
灯
