(共34张PPT)
2．7.1 抛物线的标准方程
灯抛物线的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
[问题] (1)这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
(2)抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
知识点一 抛物线的定义
设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示：不一定是．
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
答案：B
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为( )
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
答案：C
3．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
答案：x2＝8y
抛物线的标准方程
[例1] (链接教科书第152页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6，6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，
∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
[跟踪训练]
1．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．
解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝x，
∴2p＝，p＝，
∴焦点坐标为，
准线方程为x＝－.
答案： x＝－
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点到准线的距离是5；
(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.
解：(1)由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.
(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0).由|AF|＝3，得＋2＝3，所以p＝2.所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.
抛物线定义的应用
[例2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
(1)[解析] 法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))\s\up12(2)＋y) ＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
[答案] C
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
[母题探究]
1．(变结论)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或.
2．(变结论)若本例(2)中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．
解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(x0，2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2).
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
圆锥曲线的共性探究
(链接教科书第136页习题C1题、第149页习题C2题)设动点M到定点F(－c，0)的距离与它到直线l：x＝－的距离之比为.
(1)当a＞c＞0时，求点M的轨迹方程；
(2)当c＞a＞0时，求点M的轨迹方程．
(链接教科书第150页)抛物线的定义．
[问题探究]
由上述教材中两道典型习题结合链接教材抛物线的定义可知，三种曲线都是动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数，当这个常数大于0且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线．
结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即＝e.
(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；
(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；
(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫作圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．
[迁移应用]
(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明∠OMA＝∠OMB.
解：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x＝1，点A的坐标为或，又M(2，0)，∴AM的方程为y＝－ x＋或y＝x－.
(2)证明：由＋y2＝1结合圆锥曲线的统一定义可知，M点为椭圆的右准线x＝2与x轴的交点，如图所示．
当直线l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴不重合时，过点A，B分别作x＝2的垂线，垂足分别是C，D，则有AC∥BD∥x轴．
由结论可知＝e，＝e，∴＝，即＝，
又∵AC∥BD∥x轴，∴＝，∴＝，且∠ACM＝∠BDM＝90°，
∴△ACM∽△BDM，可得∠AMC＝∠BMD，
∴∠OMA＝∠OMB.
1．抛物线y2＝4x上的点M(4，y0)到其焦点F的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 由抛物线y2＝4x，得F(1，0)，如图，|FM|＝4＋＝4＋1＝5.
2．抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．y2＝16x D．y2＝8x
解析：选C 抛物线的准线为x＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y2＝2px(p＞0)，则＝4，p＝8，抛物线方程为y2＝16x.
3．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．
解析：因为准线方程为x＝－2＝－，即p＝4，所以焦点为(2，0).
答案：(2，0)
4．若抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则实数p＝________．
解析：因为椭圆＋＝1，所以a2＝6，b2＝2，
所以c2＝a2－b2＝4，故c＝2，
所以右焦点为(2，0)，所以＝2，p＝4.
答案：4
5．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
解：设焦点为F，
M点到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，
即9＋＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线的方程，
得y＝±6.∴M点坐标为(－9，6)或(－9，－6).
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8(共31张PPT)
2．7.2 抛物线的几何性质
灯
y
0
810
%
B
B
A
-6
建系
建立适当的坐标系
假设
设出合适的抛物线标准方程
计算
通过计算求出抛物线的标准方程
求解
求出需要求出的量
还原
还原到实际问题中，从而解决实际问题抛物线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用 数学运算
在现实生活中有许多抛物线的原型，如桥拱、卫星接收天线、曲线与轴截面的交线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛物线的一部分……
[问题] (1)类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图像，你能否猜想出抛物线的几何性质呢？
(2)参数p对抛物线开口大小有何影响？
知识点 抛物线的简单几何性质
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
y2＝ax 一次项为x项，对称轴为x轴 a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay 一次项为y项，对称轴为y轴 a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
1．抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？
提示：有一条对称轴．
2．抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？
提示：抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A.x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．y2＝±12x
解析：选C 可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.
2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞).
3．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．
答案：4
抛物线方程及其几何性质
[例1] (1)(链接教科书第156页例1)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程；
(2)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，求|PA|的最小值．
[解] (1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则y2＝4x，x≥0，
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.
当x＝1时，|PA|的最小值为2.
1．几何性质在求抛物线方程中的应用
(1)代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程(组)求出未知数；
(2)几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点到准线的距离，从而得到抛物线的标准方程．
2．研究抛物线的性质，把握三个要点
(1)开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；
(2)位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴；
(3)定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p.
[跟踪训练]
1．(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A． B．
C．(1，0) D．(2，0)
解析：选B 将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.
2．抛物线x2＝2y上与点M(0，2)距离最近的点的坐标为________．
解析：设抛物线x2＝2y上任意一点P.
由两点间的距离公式，得
|PM|＝ ＝，
∴当x2＝2时，|PM|取最小值．
此时，x＝±，y＝1，
∴抛物线x2＝2y上与点M(0，2)距离最近的点坐标为(±，1).
答案：(±，1)
焦点弦问题
[例2] 过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
[解] 由于抛物线的焦点F，
故可设直线AB的方程为x＝my＋.
由得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)＋＝；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
[跟踪训练]
已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1(图略)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p. ①
由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
同理可求出当抛物线焦点在x轴负半轴上时
抛物线的标准方程是y2＝－3x.
故所求抛物线标准方程为y2＝3x或y2＝－3x.
抛物线的实际应用
[例3] (链接教科书第158页习题A5题)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现有状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2).
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m).
而船体高为5 m，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(t)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
求抛物线实际应用的五个步骤
[跟踪训练]
汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为.
将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0).
因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处．
1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2，4) D．(2，±4)
解析：选D 抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有
所以符合题意的点为(2，±4).
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，
所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，
所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝.
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝.
答案：
5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
解：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得1＋＝2，得p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝.
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得k＝±1，
∴k的值为1或－1.
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