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5.2 探索轴对称的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并能够说出对称点所连线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质;
2.能够按要求作出简单的轴对称图形.
【过程与方法】
经历探索轴对称图形性质的过程,进一步认识轴对称的特征,发展空间观念.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生利用轴对称的性质尝试解决一些实际问题,进一步发展空间观念,培养学生分析问题和有条理的语言表达的能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
轴对称的基本性质,利用轴对称的性质解决实际问题.
【教学难点】
利用轴对称的性质解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察下面的轴对称图形和成轴对称的两个图形,它们有什么共同的性质呢
二、合作探究
探究点1 画轴对称图形
典例1 画出△ABC关于直线l的对称图形.
[解析] 如图所示.
【技巧点拨】我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时,先确定一些特殊的点,然后作这些特殊点的对应点,顺次连接即可.而找这些特殊点的对应点时,依据的是轴对称的性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
变式训练 如图,网格中每个小正方形的边长都为1,
(1)求△ABC的面积;
(2)画出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1,并求四边形BB1C1C的面积.
[解析] (1)S△ABC=3×4-×2×2-×4×1-×2×3=12-2-2-3=5.
(2)如图,△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形.
由图得四边形BB1C1C是等腰梯形,BB1=4,CC1=2,高是4,
所以·(BB1+CC1)·4=×(4+2)×4=12.
探究点2 应用轴对称的性质解决折叠问题
典例2 如图,将矩形ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上的点F处.若∠EFB=60°,则∠CFD= ( )
A.20° B.30°
C.40° D.50°
[解析] 根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE,所以∠EAD=∠EFD=90°.因为∠EFB=60°,所以∠CFD=30°.
[答案] B
【技巧点拨】折叠是一种轴对称变换,折叠前后图形的对应边和对应角相等.
变式训练 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点,将Rt△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则∠ADB'等于 .
[答案] 40°
探究点3 应用轴对称解决最短路线问题
典例3 如图,点A,B在直线l的同侧.用三角板和直尺作图.(不写作法,保留痕迹)
(1)试在直线l上取一点M,使MA+MB的值最小;
(2)试在直线l上取一点N,使NB-NA最大.
[解析] (1)如图所示.
(2)如图所示.
在一条直线上取一点,使这一点到在这条直线的同侧的两个点的距离和最短,一般都要利用轴对称的性质,先找到这两点中的一个点关于这条直线的对称点,这样就变为这两点在这条直线的两侧,要在直线上找一点,使它到在这条直线的两侧的两点的距离和最短的问题,只需连接这两点即可(两点之间线段最短).
三、板书设计
探索轴对称的性质
轴对称的性质
◇教学反思◇
学生比较容易接受轴对称的性质,应为学生提供充分展示自己的机会.新型课堂决定了学生是学习的主人,应注重培养学生自己发现、探索新知识及运用新知识的能力,要充分相信学生,把课堂还给学生.
在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.根据不同学生的不同特点应注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成.
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5.2 探索轴对称的性质
第五章 生活中的轴对称
七年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1．探索轴对称的基本性质，掌握对应点所连接的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等的性质.
2．通过本节课的学习，帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力.
3．通过环环相扣的、层层深入的问题设置，鼓励学生积极参与，培养学生自主、合作、探究的能力，培养学生学习数学的情趣.
如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
这条直线叫这个图形的对称轴.
轴对称图形：
说明：
（1）轴对称图形是一个图形
（2）对折
（3）重合
温故知新
对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴
两图形成轴对称：
说明：
（1）“轴对称”是两个图形。
（2）对折 （3）重合
温故知新
1、如图：△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则△ABC与△DEF具有怎样的关系？
2、若两三角形全等，则是否一定关于某条直线对称？
L
全等与轴对称的关系：
轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称
探究
对应点：沿某条直线折叠后，能够重合的一对点叫对应点
对应边：沿某条直线折叠后，能够重合的一对边叫对应边
对应角：沿某条直线折叠后，能够重合的一对角叫对应角
L
探究
探索轴对称的性质
如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：
打开
1、上图中，两个“14”有什么关系
关于直线m成轴对称
m
探究
对应线段：相等
2、线段 AB与A′B′,CD与C′D′ 有什么关系？
m
打开
∠1与∠2有什么关系？
∠3与∠4呢？
对应角：相等
打开
m
如果连接C、C′，F、F′那么所构造的线段与直线m有什么关系？
对应点所连接的线段被对称轴垂直平分
打开
m
轴对称的性质
1.对应点的连线被对称轴垂直平分
2.对应线段相等，对应角相等
小结
A
B
C
D
D1
C1
A1
B1
3
4
1
2
做一做：
右图是一个轴对称图形：
（1）你能找出它的对称轴吗
（2）连接点A与点A1的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
A
B
C
D
D1
C1
A1
B1
3
4
1
2
（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？线段BC与B1C1呢？为什么？
（4）∠1与∠2有什么关系 ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？
对应角相等.
对应线段相等，
练一练:
1、在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点。
2、下图是在方格纸上画出的一半，以树干为对称轴画出树的另一半。
试一试：
1、一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把 变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？
小结：
1．轴对称是 图形关于某条直线对称。
轴对称图形是 图形关于某条直线 对称。
两个
一个
2.轴对称的性质：
(1).对应点连线段被对称轴垂直平分
(2).对应线段相等，对应角相等。
如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主球，使主球 撞击桌边 EF后反弹来击中彩球.请在图中标明,主球撞在EF上哪一点才能达到目的 (以主球、彩球的球心A、B来代表两球)
E
F
主球
彩球
B
A
想一想
C
A
B
A′
E
F
解：1．作点A关于EF的对称点A′
2．连结A′B交EF于点C.则沿AC撞击黑球A，必沿CB反弹击中白球B。
C
如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主球，使主球 撞击桌边 EF后反弹来击中彩球.请在图中标明,主球撞在EF上哪一点才能达到目的 (以主球、彩球的球心A、B来代表两球)
例题解析
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
军官每天从军营A出发先到河边P处饮马，然后再去河岸同侧的B地去开会，应该怎样走才能使路程最短？
河
如图1所示，将军从山脚下的A点出发，
走到河旁边的P点饮马后再到B点开会．
请问怎样走才能使总的路程最短？
A
B
A`
p
l
B
A
P
A'
P'
作法:
1.作点A关于直线l的对称点 A’;
已知:直线l和l的同侧两点A、B.
2.连接A’B,交直线l于点 P.
∴ 点P就是所求的点.
求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小.
议一议
1
2
3
4
5
6
7
如图:
你能求出这七个角的和吗
课堂小结
1、轴对称图形是一个图形关于某条直线对称
2、轴对称是两个图形关于某条直线对称
3、轴对称的性质：
⑴对应点的连线被对称轴垂直且平分
⑵对应边相等，对应角相等
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