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5.3 简单的轴对称图形
第五章 生活中的轴对称
第1课时 等腰三角形的性质
七年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)
2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质，
能初步运用其解决有关问题．(难点).
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,
能找出对称轴吗？
复习巩固
情境导入
观察下列图片，它们有什么共同的特征？
等腰三角形
等腰三角形的性质
如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形.
它的各部分名称分别是什么？
A
B
C
(1)相等的两条边都叫腰;
腰
腰
底边
(2)另一边叫底边;
顶角
底角
底角
(3)两腰的夹角∠A叫顶角;
(4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角.
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴.
2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的
对称轴吗？
3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的
对称轴吗？底边上的高所在直线呢？
4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪
些特征？说说你的理由.
思考
等腰三角形是一类特殊的三角形．等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质呢？
拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发
现什么现象？
看看你本组其他同学的情况,共同交流, 能得出什么结论
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)∠B =∠C.
(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线.
(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高.
(5)BD=CD，AD为底边上的中线.
A
B
C
D
现象
归纳：
等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.
A
B
C
D
解：在ΔABC中，∵AD是角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在ΔABD和ΔACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD，
∴ΔABD≌ΔACD.
∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90 .
∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高.
三线合一吗？
1.等腰三角形是轴对称图形.
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和
底边上的高重合（也称“三线合一”），它
们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
3.等腰三角形的两底角相等.
等腰三角形的性质：
1.按下面的步骤做一做：
（1）将长方形纸片对折
（2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流.
议一议
2.你能尝试用圆规吗？
例1 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角
形的底角的大小是( )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
典例精析
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.
A
解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知）
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等边对等角）
设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠BDC+∠ADB=180°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.
∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，
∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）
解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°.
例2 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且
BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数.
C
D
B
A
1.填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ；
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的
顶角的度数是_________ ；
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这
个三角形的最小内角等于____________ .
20°或50°
练一练
100°
45°
(4)△ ABC中，AB=AC,∠A= 36 ,则∠B= ______，
∠C= ____.
(5)△ ABC中，AB=AC,∠B= 36 ,则∠A= ______，
∠C= ____.
72°
72°
108°
36°
方法总结：等边对等角！
2.如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，
请找出它的对称轴.
解：∵OA=AB，
∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°,
∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°.
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=30°，
∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°.
∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°,
∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°.
3.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
等腰三角形的性质
课堂小结
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）.
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5.3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解等腰三角形的对称性;
2.理解并能够说出等腰三角形的两底角相等、“三线合一”的性质,同时能应用它们证明或解决相关问题;
3.了解等边三角形的性质,并能应用它们证明或解决相关问题.
【过程与方法】
1.经历探索、归纳、验证等腰三角形性质和等边三角形性质的过程,进一步发展空间观念;
2.在应用等腰三角形性质和等边三角形性质证明或解决问题的过程中,注意应用分类讨论思想、方程思想和提高添加辅助线解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
在学生解决问题的过程中,激发学生的创新思维,提高学生学习的主动性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
等腰三角形和等边三角形相关性质的探索和应用.
【教学难点】
应用等腰三角形性质和等边三角形性质证明或解决相关问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.
这节课我们就从轴对称的角度来重新认识一些我们熟悉的几何图形.研究以下问题:三角形是轴对称图形吗 什么样的三角形是轴对称图形
二、合作探究
探究点1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
典例1 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC边上一点,BC=BD=AD,则∠A的大小是 ( )
A.36° B.54°
C.72° D.30°
[解析] 因为BD=BC=AD,所以△ABD,△BCD为等腰三角形.设∠A=∠ABD=x,则∠C=∠CDB=2x.又因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形,所以∠ABC=∠C=2x.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,即x+2x+2x=180°,解得x=36°,即∠A=36°.
[答案] A
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角),即在同一个三角形中,相等的边所对的角相等.解决此类问题,还常常用到方程思想,即利用方程解决问题,也常常用到分类讨论思想,即不知道哪一个角是顶角时,就要分类讨论.
变式训练 等腰三角形的一个内角是50°,则另外两个角的度数分别是 ( )
A.65°,65° B.50°,80°
C.65°,65°或50°,80° D.50°,50°
[答案] C
探究点2 等腰三角形的“三线合一”性质
典例2
如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,P是AD上任意一点.
求证:∠ABP=∠ACP.
[解析] 因为△ABC中,AB=AC,AD为BC边的中线,所以AD是角平分线,
所以∠BAP=∠CAP.
在△ABP与△ACP中,
所以△ABP≌△ACP(SAS),
所以∠ABP=∠ACP.
等腰三角形的“三线合一”性质:等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线是同一条线段.因此,如果已知某线段是等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三者中的一个,则它也满足其他两个,这样就为我们证明角相等、线段相等、两线垂直带来了很大的便利.
变式训练 如图所示的三角测平仪中,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂,移动架身,使点A恰好在重锤线上.试问:此时BC是否正好处于水平位置 为什么
[解析] 此时BC正好处于水平位置.
理由:因为D是BC的中点,所以BD=DC.
因为AB=AC,所以AD⊥BC(三线合一).
因为重锤线与地平线垂直,
所以BC正好处于水平位置.
探究点3 等边三角形的性质
典例3 如图,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在BC,AC上,且CD=AE,AD,BE相交于点P.试求∠BPD的度数.
[解析] 因为CD=AE,△ABC为等边三角形,
所以BD=CE.
在△ABD和△BCE中,
所以△ABD≌△BCE,所以∠BAD=∠CBE.
因为∠APE=∠ABE+∠BAD,∠APE=∠BPD,∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°,
所以∠BPD=∠APE=∠ABE+∠CBE=60°,
即∠BPD的度数为60°.
等边三角形的性质:①等边三角形的三个角都等于60°;②有三条对称轴;③具有等腰三角形的所有性质.
变式训练 如图,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
[解析] 因为BP=PQ=QC=AP=AQ,所以∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°,∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.
又因为∠BAP+∠ABP=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP,所以∠BAP=∠CAQ=30°,
所以∠BAC=∠BAP+∠CAQ+∠PAQ=120°.
三、板书设计
等腰三角形的性质
等腰三角
形的性质
◇教学反思◇
本节课的教学力求体现数学问题生活化,注重培养学生观察、交流、操作、探究能力,让学生经历知识的形成过程,在教学过程中以建构具有教育性、创造性、实践性、操作性的学生主题活动为主要形式,以鼓励学生主动参与、主动探索、主动思考为基本特征,以学生的自主活动和合作活动为主.
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