(共29张PPT)
灯
已知两个
向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b
则
叫做向量α与b的夹角
定义
柔
空间向量的夹角
范
围
图
示
b
A
a
B
b
非零
∠AOB
[0,π]
0
E
A
C
H
B第二课时 空间向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积及其性质 直观想象
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 数学运算
如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝|F||S|cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念．
[问题] (1)空间向量的数量积的定义是什么？
(2)空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？
知识点 空间向量的数量积
1．空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b；
2．空间向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b；
3．数量积的几何意义
(1)向量的投影
如图所示， 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′；
(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
4．空间向量数量积的性质
(1)a⊥b a·b＝0；
(2)a·a＝|a|2＝a2；
(3)|a·b|≤|a||b|；
(4)(λa)·b＝λ(a·b)；
(5)a·b＝b·a(交换律)；
(6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1．当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？
提示：0° 180°
2．空间向量a在向量b上的投影是向量吗？
提示：是向量．
1．下列命题中正确的是( )
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0
解析：选B 对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故A错误．
对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．
在D中，∵a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos 〈a，b〉≤1，
∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．
2．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．
解析：∵cos 〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.
答案：
3.如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，则〈，〉＝________，〈， 〉＝________．
解析：∵＝，∴〈，〉＝〈，〉．
又∵∠CAB＝45°，∴〈，〉＝45°.
〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－45°＝135°.
答案：45° 135°
4．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________，·＝________．
解析：如图，·＝·＝||·||·cos 〈，〉＝a·a cos 45°＝a2.
·＝·＝||·||·cos 〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2.
答案：a2 a2
空间向量的夹角
[例1] 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值．
[解] 如图，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1.
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则a·b＝b·c＝c·a＝.
∵＝(＋)＝(a＋b)，
＝－＝－＝c－b，
∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.
又||＝||＝，
∴cos 〈，〉＝ eq \f(·,||||) ＝－.
∴向量与夹角的余弦值为－.
求空间向量的夹角
求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式cosθ＝求解，当θ∈ a·b>0，θ∈ a·b<0转化为解不等式(组)．
[注意] 向量与向量的夹角为∠BAC而与的夹角为π－∠BAC.
[跟踪训练]
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则向量与的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选B 因为E，F，G，H分别是所在棱的中点．所以由三角形中位线定理可得，
与同向共线，与同向共线，∴〈，〉＝〈，〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，
∴〈，〉＝〈，〉＝60°，故选B.
数量积的运算及应用
角度一 空间向量数量积的运算
[例2] 如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)·；
(2)·；
(3)(＋)·(＋).
[解] (1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是
·＝||||cos 〈，〉
＝||||cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，
∴＝，
于是·＝||||cos 〈，〉
＝||·||cos 〈，〉
＝×1×1×cos 〈，〉
＝×1×1×cos 120°＝－.
(3)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝2＋·－2·＋·＋2－2·
＝1＋－2×＋＋1－2×＝1.
[母题探究]
(变条件，变设问)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长．
解：由题意知＝(＋)，＝，
∴＝－＝(＋－)，
∴||2＝(＋2＋2＋2·－2·－2·)，
又||＝||＝||＝1.且〈，〉＝60°，〈，〉＝60°，〈，〉＝60°.
∴·＝，·＝，·＝.
∴||2＝＝，
即||＝，∴EH的长为.
角度二 平面向量的投影
[例3] (2021·辽宁营口市高二月考)已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为( )
A．2 B．－2
C．－ D．
[解析] 由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，
则空间向量a在向量e方向上的投影数量为＝＝4×＝－2.故选B.
[答案] B
求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉求解．
[注意] 在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．
[跟踪训练]
1．平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD A1B1C1D1过顶点A的三条棱的夹角分别是，，，所有的棱长都为2，则AC1的长等于( )
A．3 B．2
C．2 D．2
解析：选D ∵＝＋＋，
∴||＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋＋))\s\up12(2))
＝ eq \r(2＋2＋2＋2（·＋·＋·)
＝＝＝2，故选D.
2．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．
解析：由已知·＝·＝·＝0，且＝(＋＋)，
故·(＋＋)＝(＋＋)2
＝(||2＋||2＋||2)
＝(1＋4＋9)＝.
答案：
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：选A A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A.
2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·eq \o(,\s\up7(―→)) ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：选B
如图，
令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·eq \o(,\s\up7(―→))，
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)，
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B.
3.如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则||＝__________．
解析：设＝a，＝b，＝c，∴|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈c，b〉＝60°
||2＝|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2c·b＝24，∴||＝2.
答案：2
4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则·＝________．
解析：如图，
由题意·＝(＋＋)·(－)＝－(·＋·＋·)
＝－||2＝－1.
答案：－1
5．已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·eq \o(,\s\up7(―→))，则 ________．(填“⊥”“∥”或“＝”)
解析：∵·＝·eq \o(,\s\up7(―→))，∴·(－eq \o(,\s\up7(―→)))＝· ＝0.∴⊥．
答案：⊥
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8(共35张PPT)
第一
章
空间向量与立体几何
1．1.1 空间向量及其运算
灯
F
E
D
B
1
C
i
A
D
B
C第一课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念 数学抽象
2.掌握空间向量的线性运算 直观想象、数学运算
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动．原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去．
[问题] 同学们，你知道为什么车会一动不动吗？
知识点一 空间向量
1．空间向量的概念
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量；
(2)模(或长度)：向量的大小；
(3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观地表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||；
②字母表示法：可以用小写字母a，b，c来表示向量，模为|a|，|b|，|c|.
2．几类特殊的向量
(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0；
(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量；
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量；
(4)相反向量：方向相反、大小相等的向量称为相反向量；
(5)平行(共线)向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行；
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量平行．( )
(2)向量的长度与向量的长度相等．( )
(3)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2. 如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与向量相等的所有向量；
(2)向量、与三个向量共面吗？
解：(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及．
(2)因＝，向量，与三个向量共面．
知识点二 空间向量的线性运算
名称 代数形式 几何形式 运算律
加法 ＝＋＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c
减法 ＝－_＝a－b
数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝；当λ＜0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
与空间向量的线性运算相关的结论
(1)＝－；
(2)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，有＝＋＋；
(3)若O为空间中任意一点，则：
①点P是线段AB中点的充要条件是＝＋；
②若G为△ABC的重心，则＝(＋＋).
1．向量线性运算的结果还是向量吗？
提示：是向量．
2．λa的长度是a的长度的λ倍吗？
提示：不是，应是|λ|倍．
1．化简－＋所得的结果是( )
A． B．
C．0 D．
答案：C
2．已知空间四边形ABCD中，＝a，eq \o(,\s\up7(―→))＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
解析：选B ＝＋＋＝－－eq \o(,\s\up7(―→))＋＝－a－b＋c＝c－a－b.
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________．
答案：3a－2b
空间向量的概念及简单应用
[例1] (1)下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
[解析] |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．
[答案] B
(2)如图所示，以长方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
①试写出与是相等向量的所有向量；
②试写出的相反向量；
③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] ①与向量是相等向量的(除它自身之外)有，及．
②向量的相反向量为，，，．
③||＝ eq \r(||2＋||2＋||2)
＝ ＝＝3.
空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加、减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.
[跟踪训练]
1．给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同；
②在正方体ABCD A1B1C1D1中，必有＝；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD A1B1C1D1中，必有＝成立，故②正确；③显然正确．故选C.
2．(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有( )
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
解析：选ACD ∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，∴A、C正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－(－)，∴D正确．
空间向量的加减运算
[例2] (2021·济宁一中月考)如图，在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
[解] 在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝．
同理＝，＝，＝，
所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图．
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变，化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
解：根据正六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，
所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝．如图．
解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
[注意] (1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；
(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
[跟踪训练]
在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A．＋＋ B．－＋
C．＋＋ D．＋＋
解析：选C 在选项C中，＋＋＝(＋)＋＝0.
空间向量的数乘运算
[例3] 设A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心．求证： ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋＋)) .
[证明] 如图，连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，
知＝．
由题意知E为CD的中点，
∴＝eq \o(,\s\up7(―→))＋．
∴＝＋＝＋
＝＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq \o(,\s\up7(―→))＋ ))
＝＋[(－)＋(－)]
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋＋)) .
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
[跟踪训练]
如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
解析：选A ∵＝＋，＝＝c，
＝＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－)) ＝(－)＝(b－a)，
∴＝c＋(b－a).故选A.
1．(多选)下列命题正确的是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相反向量的和为零向量
C．只有零向量的模等于0
D．空间中任意两个单位向量必相等
解析：选ABC 空间向量都是即有大小又有方向的量，所以任意两个向量不能比较大小，A正确；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；由向量的加法可知，B正确；C显然正确；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等，D不正确．
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是的为( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋eq \o(,\s\up7(―→))＋ D．＋＋
解析：选D 选项A中，＋＋＝＋＝；选项B中，＋＋＝＋(＋)＝＋＝；选项C中，＋eq \o(,\s\up7(―→))＋＝＋＝；选项D中，＋＋＝＋(＋)＝＋≠．故选D.
3．化简：(1)(a＋2b－3c)＋5＝________；
(2)(－)－(－)＝________．
解析：(1)原式＝a＋b－c＋a－b＋c＝a－b＋c.
(2)原式＝－－＋
＝＋－
＝－
＝0.
答案：(1)a－b＋c (2)0
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8(共40张PPT)
1．1.2 空间向量基本定理
灯
老
子
20空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题 数学抽象
2.了解空间向量的基本定理及其意义 直观想象
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章．《说文解字》有对这句话的注释．首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”．因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话．联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量．
[问题] (1)零向量能不能作为一个基向量？
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？
知识点一 共面向量定理
1．共线向量基本定理
空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A，B，C三点共线，则与共线．( )
(2)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．( )
(3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
解析：选D 由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面．
3．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以所以k＝±1.
答案：±1
知识点二 空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作基向量．若p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较
共线向量基本定理 共面向量定理 空间向量基本定理
存在唯一的实数λ，使得b＝λa 如果a，b不共线，则a，b，c共面 存在唯一实数对(x，y)，使c＝xa＋yb 如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
1．构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
提示：不可以．
2．在四棱锥O ABCD中，可表示为x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？
提示：对．
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案：C
2.如图，已知四面体ABCD的三条棱＝b，＝c，＝d，M为BC的中点，试用基向量b，c，d表示向量．
解：∵M为BC的中点，
∴＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝[(b－d)＋(c－d)]＝(b＋c－2d).
空间向量共线问题
[例1] (链接教科书第16页练习A组2题)如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
[证明] 如图，连接AO，AC1，A1C1.∵＝，
∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋．
∵＝2，＝＋＝－＝－2，
∴＝(－2)＋＝＋．
∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线．
1．要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
2．证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1).
[跟踪训练]
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝b，＝(－)
＝(＋－)
＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝．∴E，F，B三点共线．
空间向量共面问题
[例2] (链接教科书第13页例1)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，，是共面向量．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，
∵四边形B1BCC1为平行四边形，
∴＝c－a.
∵O是B1D1的中点，
∴＝(a＋b)，
∴＝－(a＋b)，
＝－＝b－(a＋b)＝(b－a).
∵＝，∴＝c，
∴＝＋
＝(b－a)＋c.
若存在实数x，y，使＝x＋y (x，y∈R)成立，则c－a＝x＋y
＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.
∵a，b，c不共线，
∴解得
∴＝＋，
∴，，是共面向量．
1．解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
(4)∥ (或∥或∥).
[跟踪训练]
如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为AC上一点，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，
∵M为的中点，∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2，∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋＝＋．
∴，，为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．
基底的判断及应用
角度一 基底的判断
[例3] (链接教科书第15页例2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴，，不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底．
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
角度二 空间向量基本定理的应用
[例4] 如图，在三棱柱ABC A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．
[解] ＝＋＝＋
＝＋(＋eq \o(,\s\up7(―→)))＝＋＋(－)
＝b＋a＋(c－b)
＝b＋a＋c－b
＝a＋b＋c.
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋(－)
＝a＋b＋(c－b)
＝a＋b＋c.
[母题探究]
1．(变条件)若把本例中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？
解：＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝b＋(a－b)
＝a＋b.
＝＋
＝＋
＝－
＝－(－)
＝a－(c－b)
＝a＋b－c.
2.(变条件、变设问)如图所示，本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量．
解：＝＋＋
＝－－
＝(＋eq \o(,\s\up7(―→)))－－
＝[＋(－)]－－
＝(a＋c－b)－c－a
＝a－b－c.
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
[跟踪训练]
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝．由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
答案：3
1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则( )
A．，，共线
B．，共线
C．，共线
D．O，A，B，C四点共面
解析：选D 由，，不能构成基底，知，，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．
2．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由，，共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a，b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．
3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________．(用a，b，c表示)
解析：如图，＝－＝(b＋c)－a.
答案：－a＋b＋c
4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则2x＋4y＋2z＝________．
解析：如图，
由已知＝＝(＋)
＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))))
＝＋ [(－)＋(－)]＝＋＋，
∴x＝y＝z＝，∴2x＋4y＋2z＝2.
答案：2
5.如图所示，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)．
解：在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，
连接AC，AD1(图略).
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c).
(2)＝(＋)
＝a＋b＋c.
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12(共46张PPT)
1．1.3
空间向量的坐标与空间直角坐标系
灯
A
建系
建立恰当的空间直角坐标系
确定点
确定出所需点的坐标
的坐标
应用
利用空间两点间的距离公式求
公式
得所求线段的长空间向量的坐标与空间直角坐标系
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的正交分解及坐标表示 直观想象
2.掌握空间向量线性运算的坐标表示 数学运算
3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直 数学运算、直观想象
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．
[问题] (1)设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？
(2)空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||如何表示？
知识点一 空间中向量的坐标及运算
1．空间中向量的坐标
(1)单位正交基底：如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直；
(2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解；
(3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都成为p的坐标分量．
2．空间向量的运算与坐标的关系
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)；
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(4)|a|＝＝ eq \r(x＋y＋z) ；
(5)cos 〈a，b〉＝＝ eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋y＋z)·\r(x＋y＋z)) .
3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a∥b a＝λb x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
答案：B
2．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选A ∵b－c＝(－2，3，1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则向量p＝2e1＋3e2＋e3的坐标为________，q＝－e1＋e2－2e3的坐标为________．
答案：(2，3，1) (－1，1，－2)
知识点二 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz；
(2)相关概念：点O叫作坐标原点，x轴，y轴，z轴叫作坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．空间向量坐标的应用
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2).
(1)AB＝||＝；
(2)若M为线段AB的中点，M的坐标为．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在空间中，过x轴，y轴的平面叫作xOy平面．( )
(2)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( )
(3)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．( )
(4)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2).( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．在空间坐标系中，点A(2，－1，2)在坐标平面xOy内的投影坐标为________．
答案：(2，－1，0)
3．空间两点P1(1，2，3)，P2(3，2，1)之间的距离为________．
解析：|P1P2|＝＝2.
答案：2
空间向量的坐标运算
[例1] (1)如图，在棱长为1的正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
①，，；
②，，．
(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝．
求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q).
[解] (1)①＝＋＝＋＝＋＝；
＝＋＝＋＝；
＝＋＋＝＋＋＝.
②＝－＝；
＝－＝；
＝－＝＋－＝－＝.
(2)由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6).
①p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)；
②3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
用坐标表示空间向量的步骤
(1)
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
[跟踪训练]
已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使：
(1)＝(－)；
(2)＝(－).
解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)，
∴－＝(6，3，－4).
(1)＝(－)＝(6，3，－4)＝，
则点P的坐标为.
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－2，y＋1，z－2).
∵＝(－)＝，
∴
即x＝5，y＝，z＝0，
则点P的坐标为.
空间中点的坐标确定及应用
[例2] 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，
故其坐标为.
过F作FM⊥AD于点M，FN⊥DC于点N，由平面几何知FM＝，FN＝，
则F点坐标为.
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为.
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝.
∴DK＝，故H点坐标为.
|GH|＝＝.
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
[跟踪训练]
如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
∵N为CD1的中点，
∴N.
∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1，1，2).由两点间距离公式，得
|MN|＝ ＝.
空间向量的平行与垂直
[例3] 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝．
(1)若|c|＝3，c∥eq \o(,\s\up7(―→))．求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解] (1)因为eq \o(,\s\up7(―→))＝(－2，－1，2)，且c∥eq \o(,\s\up7(―→))，
所以设c＝λeq \o(,\s\up7(―→))＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
故所求k的值为2或－.
[母题探究]
(变条件)若将本例(1)中“c∥eq \o(,\s\up7(―→))”改为“c⊥a且c⊥b”，求c.
解：a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2).
设c＝(x，y，z).
由题意得
解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，
即c＝(2，－2，1)或c＝(－2，2，－1).
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；
(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．
[跟踪训练]
已知向量a＝，b＝，c＝，d＝.求证：a⊥b，c∥d.
证明：∵a＝，b＝，
∴a·b＝1×＋2×＋×1＝0，∴a⊥b.
∵c＝，d＝，
∴c＝－2＝－2d，∴c∥d.
利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离
[例4] (链接教科书第19页例3、第24页例7)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．求：
(1)BN的长；
(2)cos 〈，〉的值．
[解] 如图，以，，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝ eq \f(·,||||) ＝.
1．利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
[跟踪训练]
1．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 设与的夹角为θ.由题意得＝(－1，1，0)，＝(0，3，3)，∴cos θ＝＝＝，∴θ＝60°，故选C.
2.如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为( )
A．3 B．
C．2 D．
解析：选B 由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以||＝＝，即线段OM的长为，故选B.
向量概念的推广
我们已经知道，(1)直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示a的方向，又可以求得|a|；
(2)平面向量a可以用两个有序实数对(x，y)表示，即a＝(x，y)，(x，y)称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求|a|；
(3)空间向量a可用三个有序实数组(x，y，z)表示，即a＝(x，y，z)，(x，y，z)称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求|a|.
[问题探究]
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组(a1，a2，…，an)表示n维向量，它构成了n维空间，a＝(a1，a2，…，an ).
对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算．
设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，
那么a±b＝(a1±b1，a2±b2，…，an±bn)，
λa＝λ(a1，a2，…，an)＝(λa1，λa2，…，λan)，λ∈R，
a·b＝(a1，a2，…，an)·(b1，b2，…，bn)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
|a|＝ eq \r(a＋a＋…＋a) ，
n维空间中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的距离|AB|＝.
[迁移应用]
某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i＝1，2，…，30)，其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自平均成绩．
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即
即可，
其中aij为第j门课程的平均成绩．
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则3a＋b＝( )
A．(－2，－3，－2) B．(2，3，2)
C．(－2，3，2) D．(4，3，2)
解析：选B 3a＋b＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2).
2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1，3，－5) B．(1，3，5)
C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5)
解析：选B P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1，3，5).
3．点P到原点O的距离是( )
A． B．1
C． D．
解析：选B PO＝＝1.
4．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝________，y＝________．
解析：由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2).
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴解得
答案： －4
5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是________．
解析：由于＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
所以·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，||＝，||＝，
所以cos θ＝cos 〈，〉＝＝－，则θ＝120°.
答案：120°
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