2021-2022新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2.2空间中的平面与空间向量课件(共37张PPT)+学案(2份打包)

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名称 2021-2022新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2.2空间中的平面与空间向量课件(共37张PPT)+学案(2份打包)
格式 zip
文件大小 3.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-03-25 08:42:46

文档简介

(共37张PPT)
1.2.2 空间中的平面与空间向量

Ci
A1
B1
G
C
y
A
E
B
X
设向量
设平面的法向量为n=(x,y,z)
选向量
在平面内选取两不共线向量AB,AC
列方程组
(nB=0,

n-AC-o
列出等式
解方程组
解由
n.AB=0,
ln-AC-0
得出的方程组
赋非零值
取x,y,名中一个为非零值(常取士1)
得结论
得到平面的一个法向量空间中的平面与空间向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解平面的法向量 数学抽象
2.能用向量语言表述线面、面面的垂直、平行关系 数学运算
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 逻辑推理
牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线l与柱子所在的直线l1垂直,我们就能知道下边线l与地面α平行.
[问题] (1)柱子所在直线的方向向量是否可认为是地面α的法向量?
(2)能否用空间向量表示这一线面位置关系?
                                    
                                    
                                    
                                    
知识点一 平面的法向量
定义:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量,记作n⊥α.
平面法向量的性质
(1)如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量;
(2)如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都平行;
(3)如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量一定与向量n垂直,即·n=0,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 
1.一个平面的法向量唯一吗?
提示:不唯一.
2.一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面?
提示:不一定,若两个定方向向量共线时不能确定,若两个定方向向量不共线能确定.
知识点二 空间平行、垂直关系的向量表示
1.直线与平面位置关系的判断
如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则:n∥v l⊥α;
n⊥v l∥α,或l α.
2.平面与平面位置关系的判断
如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则:n1⊥n2 α1⊥α2;
n1∥n2 α1∥α2,或α1与α2重合.
1.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于(  )
A.2   B.-4   C.4   D.-2
答案:C
2.若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则(  )
A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l与α斜交
答案:B
知识点三 三垂线定理及其逆定理
1.三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
2.三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
1.定理中的已知直线是已知平面内的直线吗?
提示:一定是.
2.若直线l是平面α外的一条直线,直线m垂直于l在平面α内的投影,l与m垂直吗?
提示:不一定.若直线m在平面α外,例如m⊥α,尽管m垂直于直线l在平面α内的投影,也不能得出m⊥l.
1.(多选)如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是(  )
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
解析:选ABD 由题意有,PA⊥平面ABC,∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC,故A对;
∵AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC,故B对;
由AC⊥BC,有三垂线定理可得BC⊥PC,故D对;
若AC⊥PB,因为AC⊥BC,可得AC⊥平面PBC,则AC⊥PC,与已知矛盾,故C错.
2.如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,BD1为体对角线,当底面ABCD满足条件________时,有BD1 ⊥ A1C1.
解析:由三垂线定理的逆定理可知:当AC ⊥ BD时结论成立.
答案:AC⊥BD
求平面的法向量
[例1] (链接教科书第39页例2)在正方体ABCD A1B1C1D1中,棱长为1,G,E,F分别为AA1,AB,BC的中点,求平面GEF的一个法向量.
[解] 如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则E,F,G,
∴=,
=.
设平面GEF的法向量为n=(x,y,z).
由n⊥,n⊥,得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·=\f(1,2)y-\f(1,2)z=0,,n·=\f(1,2)x-\f(1,2)y=0,)) ∴
令y=1,可得平面GEF的一个法向量为n=(1,1,1).
利用待定系数法求法向量的步骤
 
[跟踪训练]
如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O为底面ABCD的中心,求证:是平面PAC的一个法向量.
证明:如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0),B1(2,2,2),O(1,1,0),
∴=(1,1,2),=(-2,2,0),=(-2,0,1),
∴·=-2+2=0,·=-2+2=0,
∴⊥,⊥.
∵AC∩AP=A,
∴是平面PAC的一个法向量.
利用法向量证明空间中的位置关系
[例2] 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱BB1,CD,AA1的中点.证明:
(1)C1M∥平面ADE;
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[证明] (1)以D为原点,向量,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立坐标系如图,设正方体的棱长为1.
则D(0,0,0),A(1,0,0),E,C1(0,1,1),M,=(1,0,0),=,=.
设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·=0,,m·=0))
令c=2,得m=(0,-1,2),
∵m·=(0,-1,2)·=0+1-1=0,
∴⊥m.
又C1M 平面ADE,∴C1M∥平面ADE.
(2)由D1(0,0,1),A1(1,0,1),F,
得=(1,0,0),=,
设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·=0,,n·=0))
令y=2,则n=(0,2,1).
∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0,
∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.
[母题探究]
1.(变设问)本例条件不变,试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量.
解:如例题建系定坐标,D1(0,0,1),
E,M,
∴=,即直线D1E的一个方向向量.
设平面EFM的法向量为n1=(x1,y1,z1),
∵F,∴=,=(0,-1,0),
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·=0,,n1·=0,)) 即
∴令x1=1,则z1=-2.
∴平面EFM的一个法向量为(1,0,-2).
2.(变条件,变设问)在本例中设D1B1的中点为N,其他条件不变.试证:EN⊥平面B1AC.
证明:如例题建系,E,
N,A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0).
∴=,=(0,1,1),
=(-1,1,0),
∴·=0,·=0,
∴⊥,⊥,即EN⊥AB1,EN⊥AC.
又AB1∩AC=A,∴EN⊥平面B1AC.
利用向量法证明空间线面位置关系的思路
(1)线面平行:设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0;
(2)面面平行:若能求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v;
(3)线面垂直:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则要证明l⊥α,只需证明a∥u即可;
(4)面面垂直:①证明两平面的法向量垂直;②证明一个平面的法向量平行于另一个平面.  
  
[跟踪训练]
如图,四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.证明:A1C⊥平面BB1D1D.
证明:由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图.
∵AB=AA1=,
∴OA=OB=OA1=1,
∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).
由=,易得B1(-1,1,1).
∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,1),
∴·=0,·=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,
∴A1C⊥平面BB1D1D.
三垂线定理及逆定理的应用
[例3] 如图,已知在正方体ABCD A1B1C1D1中,连接BD1,AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C.
[证明] 如图,连接BD,A1B,∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
又DD1⊥平面ABCD,
∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影,
∴BD1⊥AC,而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影,
∴BD1⊥AB1,又AB1∩AC=A,∴BD1⊥平面AB1C.
利用三垂线定理证明垂直的步骤
(1)找平面(基准面)及平面的垂线;
(2)找射影线(平面上的直线与斜线在平面上的射影线);
(3)证明射影线与直线垂直,从而得线线垂直,更进一步证明线面垂直或面面垂直.  
  
[跟踪训练]
在四面体PABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证:PC⊥AB.
证明:如图,过P作PH⊥平面ABC,连接AH延长交BC于E,
连接BH并延长交AC于F,PH⊥平面ABC,PA⊥BC,
而PA在平面ABC内的射影为AH,由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH,
同理可证BF⊥AC.则H为△ABC的垂心,连接CH并延长交AB于G,
于是CG⊥AB,而CH是PC在平面ABC的射影,故PC⊥AB.
1.若直线l的方向向量a=(1,2,-1),平面α的一个法向量m=(-2,-4,k),若l⊥α,则实数k=(  )
A.2           B.-10
C.-2 D.10
解析:选A ∵直线l的方向向量a=(1,2,-1),
平面α的一个法向量m=(-2,-4,k),l⊥α,
∴a∥m,∴==,解得k=2.
2.已知平面α的法向量为a=(1,2,-2),平面β的法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(  )
A.4 B.-4
C.5 D.-5
解析:选D ∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=1×(-2)+2×(-4)+(-2)·k=0,∴k=-5.
3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z=________.
解析:由题意知u⊥v,∴u·v=3+6+z=0.∴z=-9.
答案:-9
4.点P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC.若点O和点Q分别是△ABC和△PBC的垂心,求证:OQ⊥平面PBC.
证明:因为O是△ABC的垂心,所以BC⊥AE.
因为PA⊥平面ABC,根据三垂线定理得BC⊥PE,
所以BC⊥平面PAE.
因为Q是△PBC的垂心,故点Q在PE上,
则OQ 平面PAE,所以OQ⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,所以BF⊥PA.
又因为O是△ABC的垂心,
所以BF⊥AC,故BF⊥平面PAC.
所以FM是BM在平面PAC内的射影.
因为BM⊥PC,由三垂线定理的逆定理,FM⊥PC,
所以PC⊥平面BFM.
因为OQ 平面BFM,所以OQ⊥PC,
综上知OQ⊥BC,OQ⊥PC,
所以OQ⊥平面PBC.
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