八年级下 18.1.1 勾股定理（一） 学案
主备人： Xiejun 教研组长： 审核： 班级： 姓名：
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
一、先学后议
【自学指导】
1、自学内容：课本P64－P66的内容
2、自学时间：5分钟
3、思考并回答下列问题
①仔细观察P64图18.1－1，你能发现等腰直角三角形有什么性质吗？你能说一说你是怎么发现的吗？
②思考回答课本P65探究中的问题
SA＝ SB＝ SC＝
三者的关系是：
三者的关系是：
联系每个正方形的面积与它们所围的直角三角形边长的关系，你能得到什么结论？
③由①②的结论猜想：
④你能利用赵爽弦图证明上述猜想吗？
【合作交流】
1、根据图18.1－3演示的剪拼过程动手操作
①以直角三角形ABC的两直角边a、b为边作两个正方形，此时两正方形的面积和是多少？
②按图18.1－3（1）所示裁出两个直角边为a、b的斜边为c的直角三角形，再按图18.1－3（2）所示拼接成一个边长为c的大正方形即是图18.1－3（3），此时大正方形的面积是多少？
③思考：以边长为a、b的两个小正方形的面积和与边长为c的大正方形的面积相等吗？为什么？由此你得到什么结论？
2、归纳得出勾股定理：
二、课堂展示
课本P72中的毕达哥拉斯的证法：
1、图1中（1）、（2）两图的面积相等吗？你是根据什么得到的？
2、（1）、（2）两图的面积有几种计算方法？由此你能得到哪些等式？它们能验证勾股定理吗？
三、巩固提升
1、下列说法正确的是（ ）
A.若a、b、c是三角形的三边长，则有a2+b2=c2
B.若a、b、c是直角三角形的三边长，则有a2+b2=c2
C.若a、b、c是直角三角形的三边长，且∠C=90°，则有a2+b2=c2
D.以上都不对
2、在直角三角形中，斜边长为3，则此三角形的三边的平方和为
3、如图所示，你能根据图中包含的面积关系证明定理吗？请写出证明过程。
【课堂小结】
这节课你学到了什么？还有什么困惑？
【布置作业】
1、写出课本P72中的美国第20任总统茄菲尔德的证法
2、P71 第11题
八年级下 18.1.2 勾股定理（二） 学案
主备人： Xiejun 教研组长： 审核： 班级： 姓名：
【复习导学】
1、什么是勾股定理？
2、如图在Rt△ABC中
∵a2＋b2＝c2
∴a2＝ ，c=
∴a＝
学习目标：
1．进一步掌握勾股定理的内容。
2．能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长。
3．会用勾股定理解决简单的实际问题。
一、先学后议
在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
勾股定理的常用变形：
二、课堂展示
探究一
一个门框的尺寸如图所示．若薄木板长3米，宽2.2米，它能否从门框通过呢？（注意解题格式）
思考：怎样判断能否通过呢？
探究二、
长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
③算一算，底端滑动距离的近似值
（结果均保留两位小数）．
三、巩固提升
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝20cm，AC＝15cm，则AB＝ 。
2、如果点P的坐标为（－3，4），则点P到坐标原点O的距离是 。
3、课本68页练习1、2
4、若直角三角形的三边长分别是2、4、x，求x的可能值。
【课堂小结】本节课你有什么收获？你对自己的学习评价是什么？
【作业布置】
1、必做题：习题18.1第2、3、4
八年级下 18.1.3 勾股定理（三） 学案
主备人： Xiejun 教研组长： 审核： 班级： 姓名：
学习目标：
1、进一步掌握勾股定理的内容。
2、利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
3、进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题
一、先学后议
【自学指导】
1、自学内容：课本第68－69页的内容
2、自学时间：4分钟
3、回答下列问题
（1）根据勾股定理长为的线段是两条直角边都为 的直角三角形的斜边，由此你知道如何在数轴上画出表示的点吗？请画出图形
（2）长为的线段是直角边为正整数 ， 的直角三角形的斜边，由此依照上述方法在数轴上画出表示的点。
（3）细心观察下列各式，然后解答问题
…… ……
①请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律？
②根据上述规律，你能画出长为（n是正整数）的线段吗？谈谈你的方法。
总结方法：利用勾股定理可以作出长为、、…的线段（如课本第69页图18.1-7）；按照同样的方法，可以在数轴上画出表示、、、…的点（如课本第69页图18.1-8）
二、课堂展示
1、在数轴上作出表示的点。
2、如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BC＝4cm，∠C＝60°，求AD、BD的长
3、如图所示一株荷叶高出水面1m，一阵风吹来，荷叶被风吹得贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，求荷叶高度及水深。
三、巩固提升
1、正方形的面积是16cm2，那么正方形对角线长为 。
2、若等腰直角三角形一条直角边长是3a，则其斜边长是 。
3、课本第69页练习2
4、甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？
【课堂小结】本节课你有什么收获？你对自己的学习评价是什么？
【作业布置】
习题18.1－6、7、8
八年级下 18.2.1勾股定理的逆定理（一） 学案
主备人： Xiejun 教研组长： 审核： 班级： 姓名：
学习目标：
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
一、先学后议
【自学指导】
请同学们仔细阅读教材P73－74页上面的内容，5分钟后正确回答下列问题。
1、勾股定理的题设是 结论是
2、什么样的两个命题是互逆命题？
3、具备什么条件的两个定理为互逆定理？
4、勾股定理的逆定理的内容是什么？
5、满足怎样条件的数为勾股数？
二、课堂展示
例1．写出下列命题的逆命题，并判断真假
（1）如果a＜0，b＜0，那么a＋b＜0
（2）全等三角形的面积全等
（3）两直线平行，同位角相等
（4）等腰三角形的两底角相等
例2．下列定理有逆定理的是（ ）
A．直角都相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．全等三角形的对应角相等 D．对顶角相等
例3.如图，若△ABC的三边长、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．
跟踪练习
1、写出下列命题的逆命题，并判断真假
（1）若a＝－2，则|a|＝2
（2）面积相等的两个三角表是全等三角形
（3）在一个三角形中，等角对等边
2、已经△ABC的三边a、b、c满足下列条件，试判断△ABC的形状
（1）a＝3，b＝4，c＝5
（2）a＝，b＝，c＝
（3）
三、巩固提升
1、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为 。
（1）锐角三角形 （2）直角三角形
（3）钝角三角形 （4）等腰直角三角形
2、下列各组数是勾股数的是（ ）
①4，5，6 ②8，12，15 ③8，15，17 ④10，24，25
A．①② B．①②③ C．③ D．③④
3、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是
A．9，12，15 B．，1， C．0.2，0.3，0.4 D．40，41，9
4、若一个三角形的三条边长分别为6、8、10，则这个三角形中最长边上的高是多少？
【小结反思】
1、勾股定理的逆定理在实际解题中灵活运用。
2、原命题与逆命题。
3、定理与其逆定理的前提是原命题与逆命题均为经过证明是真命题。
【作业】
1、习题18.2第1题、第2题
2、练习1、2、3
八年级下 18.2.2 勾股定理的逆定理（二） 学案
主备人： Xiejun 教研组长： 审核： 班级： 姓名：
学习目标：
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
一、先学后议
【自学指导】
请同学们仔细阅读教材P74－75页上面的内容6分钟后正确回答下列问题。
1、你已知道判断直角三角形有哪些方法？
方法一：
方法二：
2、利用勾股定理的逆定理如何判断一个三角形是不是直角三角形？
3、你还记得方位角的知识吗？
东北方向指 ，会画 西南方向指 ，会画
二、课堂展示
例1：某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿那个方向航行吗？
例2：已知：如图，CD是△ABC的高，D在AB上，
且CD2＝AD·DB，求证：△ABC为直角三角形。
跟踪练习
1、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝b＝，c＝10
C．a:b:c＝ D．a＝1，b＝2，c＝
2、若一个三角形的三边分别为1、、，则三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3、若6、a、8是一组勾股数，则a＝
三、巩固提升
1、△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2、定理“在角的平分线上的点到角的两边距离相等”的逆命题是 ，它是 命题。
3、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向
东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出
发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
4、已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋b＝4，ab＝1，
c＝，试判断△ABC的形状。
5、如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积。
6、若一个三角形三边之比为3:4:5，求这个三角形三边上的高之比。
【小结反思】
1、勾股定理的逆定理的运用
2、判断三角形形状的几种方法运用总结（等腰三角形、等边三角形、直角三角形）
【作业】 习题18.2 ④⑤⑥
孝南区车站中学 八 年级 数学 科课堂教学设计活页
上课时间： 2011 年 月 日 教研组长签字： 审定：
课题： 18.1.1 勾股定理（一） 主备人： Xiejun
教学目标：1．探索勾股定理，发展合情推理能力，体会数形结合思想。
2．通过拼图活动，证明勾股定理，发展形象思维。
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
一、先学后议
【自学指导】
1、自学内容：课本P64－P66的内容
2、自学时间：5分钟
3、思考并回答下列问题
①仔细观察P64图18.1－1，你能发现等腰直角三角形有什么性质吗？你能说一说你是怎么发现的吗？
②思考回答课本P65探究中的问题
SA＝ SB＝ SC＝
三者的关系是：
三者的关系是：
联系每个正方形的面积与它们所围的直角三角形边长的关系，你能得到什么结论？
③由①②的结论猜想：
④你能利用赵爽弦图证明上述猜想吗？
【合作交流】
1、根据图18.1－3演示的剪拼过程动手操作
①以直角三角形ABC的两直角边a、b为边作两个正方形，此时两正方形的面积和是多少？
②按图18.1－3（1）所示裁出两个直角边为a、b的斜边为c的直角三角形，再按图18.1－3（2）所示拼接成一个边长为c的大正方形即是图18.1－3（3），此时大正方形的面积是多少？
③思考：以边长为a、b的两个小正方形的面积和与边长为c的大正方形的面积相等吗？为什么？由此你得到什么结论？
2、归纳得出勾股定理：
二、课堂展示
课本P72中的毕达哥拉斯的证法：
1、图1中（1）、（2）两图的面积相等吗？你是根据什么得到的？
2、（1）、（2）两图的面积有几种计算方法？由此你能得到哪些等式？它们能验证勾股定理吗？
三、巩固提升
1、下列说法正确的是（ ）
A.若a、b、c是三角形的三边长，则有a2+b2=c2
B.若a、b、c是直角三角形的三边长，则有a2+b2=c2
C.若a、b、c是直角三角形的三边长，且∠C=90°，则有a2+b2=c2
D.以上都不对
2、在直角三角形中，斜边长为3，则此三角形的三边的平方和为
3、如图所示，你能根据图中包含的面积关系证明定理吗？请写出证明过程。
【课堂小结】
这节课你学到了什么？还有什么困惑？
【布置作业】
1、写出课本P72中的美国第20任总统茄菲尔德的证法
2、P71 第11题
孝南区车站中学 八 年级 数学 科课堂教学设计活页
上课时间： 2011 年 月 日 教研组长签字： 审定：
课题： 18.1.2 勾股定理（二） 主备人： Xiejun
教学目标：1．运用勾股定理进行简单的计算
2．运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题
【复习导学】
1、什么是勾股定理？
2、如图在Rt△ABC中
∵a2＋b2＝c2
∴a2＝ ，c =
∴a＝
学习目标：
1．进一步掌握勾股定理的内容。
2．能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长。
3．会用勾股定理解决简单的实际问题。
一、先学后议
在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
勾股定理的常用变形：
二、课堂展示
探究一
一个门框的尺寸如图所示．若薄木板长3米，宽2.2米，它能否从门框通过呢？（注意解题格式）
思考：怎样判断能否通过呢？
探究二、
长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
③算一算，底端滑动距离的近似值
（结果均保留两位小数）．
三、巩固提升
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝20cm，AC＝15cm，则AB＝ 。
2、如果点P的坐标为（－3，4），则点P到坐标原点O的距离是 。
3、课本68页练习1、2
4、若直角三角形的三边长分别是2、4、x，求x的可能值。
【课堂小结】本节课你有什么收获？你对自己的学习评价是什么？
【作业布置】
1、必做题：习题18.1第2、3、4
孝南区车站中学 八 年级 数学 科课堂教学设计活页
上课时间： 2011 年 月 日 教研组长签字： 审定：
课题： 18.1.3 勾股定理（三） 主备人： Xiejun
教学目标：1．掌握在数轴上作（n为正整数）对应点的方法。
2．熟练运用勾股定理的各种表达形式解决问题。
学习目标：
1、进一步掌握勾股定理的内容。
2、利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
3、进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题
一、先学后议
【自学指导】
1、自学内容：课本第68－69页的内容
2、自学时间：4分钟
3、回答下列问题
（1）根据勾股定理长为的线段是两条直角边都为 的直角三角形的斜边，由此你知道如何在数轴上画出表示的点吗？请画出图形
（2）长为的线段是直角边为正整数 ， 的直角三角形的斜边，由此依照上述方法在数轴上画出表示的点。
（3）细心观察下列各式，然后解答问题
…… ……
①请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律？
②根据上述规律，你能画出长为（n是正整数）的线段吗？谈谈你的方法。
总结方法：利用勾股定理可以作出长为、、…的线段（如课本第69页图18.1-7）；按照同样的方法，可以在数轴上画出表示、、、…的点（如课本第69页图18.1-8）
二、课堂展示
1、在数轴上作出表示的点。
2、如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BC＝4cm，∠C＝60°，求AD、BD的长
3、如图所示一株荷叶高出水面1m，一阵风吹来，荷叶被风吹得贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，求荷叶高度及水深。
三、巩固提升
1、正方形的面积是16cm2，那么正方形对角线长为 。
2、若等腰直角三角形一条直角边长是3a，则其斜边长是 。
3、课本第69页练习2
4、甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？
【课堂小结】本节课你有什么收获？你对自己的学习评价是什么？
【作业布置】
习题18.1－6、7、8
孝南区车站中学 八 年级 数学 科课堂教学设计活页
上课时间： 2011 年 月 日 教研组长签字： 审定：
课题： 18.2.1勾股定理的逆定理（一） 主备人： Xiejun
教学目标：1．探索并掌握直角三角形判别思想，会用勾股定理角解决实际问题。
2．理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用。 3．理解勾股定理的逆定性的推导。
学习目标：
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
一、先学后议
【自学指导】
请同学们仔细阅读教材P73－74页上面的内容，5分钟后正确回答下列问题。
1、勾股定理的题设是
结论是
2、什么样的两个命题是互逆命题？
3、具备什么条件的两个定理为互逆定理？
4、勾股定理的逆定理的内容是什么？
5、满足怎样条件的数为勾股数？
二、课堂展示
例1．写出下列命题的逆命题，并判断真假
（1）如果a＜0，b＜0，那么a＋b＜0
（2）全等三角形的面积全等
（3）两直线平行，同位角相等
（4）等腰三角形的两底角相等
例2．下列定理有逆定理的是（ ）
A．直角都相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．全等三角形的对应角相等
D．对顶角相等
例3.如图，若△ABC的三边长、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．
跟踪练习
1、写出下列命题的逆命题，并判断真假
（1）若a＝－2，则|a|＝2
（2）面积相等的两个三角表是全等三角形
（3）在一个三角形中，等角对等边
2、已经△ABC的三边a、b、c满足下列条件，试判断△ABC的形状
（1）a＝3，b＝4，c＝5
（2）a＝，b＝，c＝（3）
三、巩固提升
1、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为 。
（1）锐角三角形 （2）直角三角形
（3）钝角三角形 （4）等腰直角三角形
2、下列各组数是勾股数的是（ ）
①4，5，6 ②8，12，15
③8，15，17 ④10，24，25
A．①② B．①②③ C．③ D．③④
3、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是
A．9，12，15 B．，1，
C．0.2，0.3，0.4 D．40，41，9
4、若一个三角形的三条边长分别为6、8、10，则这个三角形中最长边上的高是多少？
【小结反思】
1、勾股定理的逆定理在实际解题中灵活运用。
2、原命题与逆命题。
3、定理与其逆定理的前提是原命题与逆命题均为经过证明是真命题。
【作业】
1、习题18.2第1题、第2题
2、练习1、2、3
孝南区车站中学 八 年级 数学 科课堂教学设计活页
上课时间： 2011 年 月 日 教研组长签字： 审定：
课题： 18.2.2 勾股定理的逆定理（二） 主备人： Xiejun
教学目标：1．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 3．培养数学思维及推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
学习目标：
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
一、先学后议
【自学指导】
请同学们仔细阅读教材P74－75页上面的内容6分钟后正确回答下列问题。
1、你已知道判断直角三角形有哪些方法？
方法一：
方法二：
2、利用勾股定理的逆定理如何判断一个三角形是不是直角三角形？
3、你还记得方位角的知识吗？
东北方向指 ，会画
西南方向指 ，会画
二、课堂展示
例1：
某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿那个方向航行吗？
例2
已知：如图，CD是△ABC的高，D在AB上，且CD2＝AD·DB，求证：△ABC为直角三角形。
跟踪练习
1、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝b＝，c＝10
C．a:b:c＝ D．a＝1，b＝2，c＝
2、若一个三角形的三边分别为1、、，则三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3、若6、a、8是一组勾股数，则a＝
三、巩固提升
1、△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2、定理“在角的平分线上的点到角的两边距离相等”的逆命题是 ，它是 命题。
3、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
4、已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋b＝4，ab＝1，c＝，试判断△ABC的形状。
5、如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积。
6、若一个三角形三边之比为3:4:5，求这个三角形三边上的高之比。
【小结反思】
1、勾股定理的逆定理的运用
2、判断三角形形状的几种方法运用总结（等腰三角形、等边三角形、直角三角形）
【作业】 习题18.2 ④⑤⑥
