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6.1 平方根、立方根
第1课时 平方根
第6章 实数
沪科版七年级下册
为了趣味接力比赛,要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,这个正方形场地的边长为多少
10米
因为 =100
102
5 dm
因为 =25
52
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
学习目标
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
例如，由于102=100，（ -10）2=100，所以100的平方根是+10和-10（可以合写为±10）.
讲授新课
一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数.我们用 表示其中正的平方根，读作“根号a”，另一个负的平方根记为- .其中a叫做被开方数.
0的平方根是0；负数没有平方根.
练习：快速填空
４的算术平方根是 ；４的平方根是 ；
的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
0.25的算术平方根是 ；0.25的平方根是 ；
０的算术平方根是 ；０的平方根是 ．
－４的算术平方根 ；－４的平方 ．
例如，由于 ,5是25的算术平方根，
即 ．
规定：0的算术平方根是0 ，也就是说，若 ，则 ．
一般地，如果一个正数的平方等于 ， 即 ，那么这个正数 叫做 的算术
平方根． 的算术平方根记为 ，读作
“根号 ”, 叫做被开方数．
负数有没有算术平方根？为什么？
算术平方根中被开方数的取值范围是多少？
从例题的解答中可以看出：
被开方数与它对应的算术平方根有什么关系？
例： 求下列各数的算术平方根：
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
例： 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，则有3x 2x=300 ，
6x2=300 ，
x2=50，
，
故长方形纸片的长为 ，宽为 ．
长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
估算能力是一种重要的数学运算能力，对一个正数的算术平方根的估算，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较.
如何估算一个正数的算术平方根在哪两个整数之间？
1.求下列各数的算术平方根:
解: (1)
因为 =100，
10
2
所以100的算术平方根为10，
即 =10.
100
(1) 100; (2) 1; (3) 0 ; (4) ;
49
(5) -4
(5)
因为没有一个数的平方可能是负数,
所以-4没有算术平方根.
≥
0
算术平方根的非负双重性.
对于 :
a
0
≥
a
a
｝
课堂练习
2.你知道下列式子表示什么意思吗 你能求出它们
的值吗
25
=5
4
1
=
2
1
0.81
=0.9
0
=0
3、下列各式是否有意义，为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
解：
（1）无意义；
（4）有意义．
（3）有意义；
（2）有意义；
4.填空题：
① 正数的算术平方根是—— 0的算术平方根是—— 算术平方根是它本身的数是——
② （－4）2的算术平方根是——
③ 1/49的算术平方根的相反数的绝对值是——
正数
0或1
0
4
1/7
5、下列各数没有算术平方根的是（ ）
A 0 B 16 C －4 D 2
6、若实数a的算术平方根等于3，则a的值是（ ）
A 3 B －3 C －9 D 9
C
D
1．算术平方根的定义、表示方法和性质.
2．求一个非负数的算术平方根.
3．估算.
课堂小结
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第6章 实 数
6.1 平方根、立方根
第1课时 平方根
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示正数的平方根;
2.了解开方与平方互为逆运算,会求某些非负数的平方根.
【过程与方法】
通过对实际生活中问题的解决,体会数学与实际生活的紧密联系.
【情感、态度与价值观】
通过学习平方根,进一步认识数、数学与实际生活的密切联系,培养数感与符号感,为今后学习无理数做好准备.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平方根的概念.
【教学难点】
平方根的概念和符号表示的抽象性.
◇教学过程◇
一、问题导入
减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算.平方、立方运算是否也有逆运算呢
已知一个正方形的边长为5,根据正方形的面积公式可求得该正方形的面积为25.反过来,已知一个正方形的面积为25,你能求出这个正方形的边长是多少吗
面积为49的正方形的边长是多少 面积为2的正方形的边长是多少呢
二、合作探究
探究点1 平方根的概念与求法
典例1 求出下列各数的平方根,并用式子表示.
(1)25;(2);(3)0.49;(4)0.
[解析] (1)25的平方根是±5,即±=±5.
(2)的平方根是±,即±=±.
(3)0.49的平方根是±0.7,即±=±0.7.
(4)0的平方根是0,即=0.
变式训练 求下列各数的平方根,并用式子表示.
(1)100;(2);(3)1;(4)0.09.
[解析] (1)100的平方根是±10,即±=±10.
(2)的平方根是±,即±=±.
(3)1的平方根是±1,即±=±1.
(4)0.09的平方根是±0.3,即±=±0.3.
【技巧点拨】熟悉0~20这21个整数的平方值,有利于求某些特殊数的平方根.
探究点2 正数的两个平方根互为相反数
典例2 一个正数x的两个平方根是2a-3与5-a,求x的值.
[解析] 因为一个正数x的两个平方根是2a-3与5-a,
所以2a-3+5-a=0,解得a=-2,
所以2a-3=2×(-2)-3=-7,
所以x=(-7)2=49.
变式训练 一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2,则a的值为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
[答案] B
三、板书设计
平方根
平方根
◇教学反思◇
教师先通过问题导入本节内容,利用正方形的面积求边长,让学生了解25与5,49与7等的初步联系;接着提出平方根的概念与符号表示,并辅以典例,以培养学生的数感、符号感,同时用练习巩固新知,由量变到质变,进一步帮助学生牢固掌握平方根的主要知识.
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