第9章 专题:因式分解 计算力提升训练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
一、选择题
1、下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是
A. 8a2b=2a·4ab B. -ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b) C. 4x2+8x-4=4x D. 4my-2=2(2my-1)
2、下列各式分解因式结果是(a 2)(b+3)的是( )
A. 6+2b 3a+ab B. 6 2b+3a+ab C. ab 3b+2a 6 D. ab 2a+3b 6
3、代数式,,中的公因式是( )
A. B. C. D.
4、下列因式分解结果正确的是( )
A. B.
C. D.
5、下列四个多项式是完全平方式的是
A. B. C. D.
6、计算:
A. 0 B. 1 C. D. 39601
7、在多项式①-m4-n4,②a2+b2,③-16x2+y2,④9(a-b)2-4,⑤-4a2+b2中,能用平方差公式分解因式的有()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8、将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1
9、把分解因式得
A. B. C. D.
10、若有一个因式为,则k的值为( )
A. 17 B. 51 C. -51 D. -57
11、若x﹣y=3,xy=﹣1,则代数式2x2y﹣2xy2的值为()
A. 3 B. -3 C. -6 D. 6
12、已知n是正整数,则下列数中一定能整除的是
A. 6 B. 3 C. 4 D. 5
13、小东是一位密码爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:、、、、、依次对应下列六个字:科、爱、勤、我、理、学,现将因式分解,其结果呈现的密码信息可能是( ).
A. 勤学 B. 爱科学 C. 我爱理科 D. 我爱科学
14、已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面五个单项式①,②,③,④,⑤-1; 其中,正确的个数共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
15、与的公因式是______.
16、若x2﹣Kx+121是完全平方式,则K=____;
17、已知,则________.
18、已知三角形的三边a、b、c满足,则三角形是________三角形.
三、解答题
19、因式分解:
(1) (2); (3)(x+y)2-16(x-y)2
(4)-2x2y+12xy-18y (5)x4-1 (6)
(7)已知,,求的值.
20、因式分解:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
(10)
21、因式分解:
(1) (2)
22、将下列多项式进行因式分解:
(1); (2).
23、先因式分解再求值:已知 , 求的值.
24、把下列各式因式分解:
(1); (2)
(3); (4)
25、因式分解:
(1)a2﹣1+b2﹣2ab; (2)(p4+q4)2﹣(2p2q2)2.
26、分解因式:
(1)-2a3b+6a2b-8ab. (2)(x+y)(x﹣y)+y(y﹣x)
(3)(3a+2b)2﹣(2a+3b)2. (4)(n2+2n+2)(n2+2n)+1.
27、把下列各式因式分解
(1) (2)
(3) (4)
28、因式分解:
(1) (2)
(3) (4)
29、证明能被15整除.
30、阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
31、下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学因式分解的结果是否彻底 _________ .(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 _________ .
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
32、阅读下面的材料并完成填空:因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a﹒b=q,a+b=p,则有x2+px+q=(x+a)(x+b).
如分解因式x2+5x+6.
解:因为2×3=6,2+3=5,所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).
再如分解因式x2﹣5x﹣6.
解:因为﹣6×1=﹣6,﹣6+1=﹣5,所以x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?试试看.
因式分解:
(1)x2+7x+12; (2)x2﹣7x+12; (3)x2+4x﹣12; (4)x2﹣x﹣12.
33、学习了乘法公式后,老师向同学们提出了如下问题:
①将多项式x2+4x+3因式分解; ②求多项式x2+4x+3的最小值.
请你运用上述的方法解决下列问题:
(1)将多项式x2+8x-20因式分解;
(2)求多项式x2+8x-20的最小值.
34、某校“数学社团”活动中,小亮对多项式进行因式分解,
m2-mn+2m-2n =(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n) =(m-n)(m+2).
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”,请你在小亮解法的启发下,解决下面问题:
(1)因式分解a3-3a2-9a+27;
(2)因式分解x2+4y2-4xy-16;
(3)已知a,b,c是ABC的三边,且满足,判断ABC的形状并说明理由.
35、如图1,在一个边长为的正方形中,剪去一个边长为的小正方形,再将余下的部分拼成如图2所示的长方形.
【观察】(1)比较两图中阴影部分的面积,可以得到等式:________________(用字母,表示);
【应用】(2)计算:;
【拓展】(3)已知,,求的值.
36、如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n(以上长度单位:cm)
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ;
(2)若每块小长方形的周长是20cm且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2,求这张长方形纸板的面积是多少平方厘米?
第9章 专题:因式分解 计算力提升训练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)(解析)
一、选择题
1、下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是
A. 8a2b=2a·4ab B. -ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)
C. 4x2+8x-4=4x D. 4my-2=2(2my-1)
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的意义,因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式.
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
【详解】解:A、是整式的乘法,故A不符合题意;
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故B不符合题意;
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故C不符合题意;
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式,故D符合题意;
故选D.
2、下列各式分解因式结果是(a 2)(b+3)的是( )
A. 6+2b 3a+ab B. 6 2b+3a+ab C. ab 3b+2a 6 D. ab 2a+3b 6
【答案】B
【解析】
【分析】依据多项式乘以多项式法则,将(a 2)(b+3)展开,与四个选项进行对比即得.
【详解】解:(a-2)(b+3)=-6-2b+3a+ab.
故选:B.
3、代数式,,中的公因式是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把5a2b(b a)变形为 5a2b(a b), 120a3b3(a2 b2)变形为 120a3b3(a+b)(a b),再根据确定公因式的方法确定公因式即可得出答案.
【详解】解:因为5a2b(b a)= 5a2b(a b), 120a3b3(a2 b2)= 120a3b3(a+b)(a b),
所以代数式15a3b3(a b),5a2b(b a), 120a3b3(a2 b2)中的公因式是5a2b(b a).
故选:A.
4、下列因式分解结果正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解,掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键
根据因式分解的方法进行计算即可判断.
【详解】解:A、,故该选项不符合题意;
B、,故该选项符合题意;
C、结果不是整式的积,故该选项不符合题意;
D、, 故该选项不符合题意;
故选:B.
5、下列四个多项式是完全平方式的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】完全平方式有a2+2ab+b2和a2-2ab+b2,根据式子的特点判断即可.
【详解】解:A、不是完全平方式,故本选项错误;
B、不是完全平方式,故本选项错误;
C、不是完全平方式,故本选项错误;
D、是完全平方式,故本选项正确;
故选D.
6、计算:
A. 0 B. 1 C. D. 39601
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可.
【详解】解:1002-2×100×99+992=(100-99)2=1.
故选B.
7、在多项式①-m4-n4,②a2+b2,③-16x2+y2,④9(a-b)2-4,⑤-4a2+b2中,能用平方差公式分解因式的有()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差.
【详解】解:①-m4-n4、②a2+b2两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式;
③,能用平方差公式分解因式;
④,能用平方差公式分解因式;
⑤ ,能用平方差公式分解因式.
故③④⑤能用平方差公式分解因式.
故选C.
8、将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
【详解】试题分析:先把四个选项中的各个多项式分解因式,即a2﹣1=(a+1)(a﹣1),a2+a=a(a+1),
a2+a﹣2=(a+2)(a﹣1),(a+2)2﹣2(a+2)+1=(a+2﹣1)2=(a+1)2,
观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C;
故答案选C.
9、把分解因式得
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式分解因式进而得出答案.
【详解】解:(a+b)2+4(a+b)+4
=(a+b+2)2.
故选C.
10、若有一个因式为,则k的值为( )
A. 17 B. 51 C. -51 D. -57
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组,多项式乘以多项式法则,因式分解等知识点,能得出方程组是解此题关键.
设另一个因式为(4x-n),根据多项式乘以多项式法则展开得出方程组,求出方程组的解即可.
【详解】解:设另一个因式为(4x-n),
则(4x-n)(x-3)=4x2+(-12-n)x+3n,
即4x2+5x+k=4x2+(-12-n)x+3n,
∴,解得:,
故k的值为-51.
故选:C.
11、若x﹣y=3,xy=﹣1,则代数式2x2y﹣2xy2的值为()
A. 3 B. -3 C. -6 D. 6
【答案】C
【分析】此题主要考查了因式分解的应用,解题关键是熟练运用提取公因式法对多项式进行因式分解,树立整体思想,整体代入求值.
首先因式分解2x2y﹣2xy2,然后把x﹣y=3,xy=﹣1代入,求出算式的值即可.
【详解】解:2x2y﹣2xy2=2xy(x﹣y)
当x﹣y=3,xy=﹣1时,
原式=2×(﹣1)×3=﹣6.
故选:C.
12、已知n是正整数,则下列数中一定能整除的是
A. 6 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用,解题的关键是会因式分解的方法.
将题目中的式子分解因式即可解答本题.
【详解】解:(2n+3)2-25=[(2n+3)+5][(2n+3)-5]=(2n+8)(2n-2)=4(n+4)(n-1),
∴(2n+3)2-25一定能被4整除,
故选C.
13、小东是一位密码爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:、、、、、依次对应下列六个字:科、爱、勤、我、理、学,现将因式分解,其结果呈现的密码信息可能是( ).
A. 勤学 B. 爱科学 C. 我爱理科 D. 我爱科学
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方差公式,将多项式进行因式分解,即可求解.
【详解】解:
∵、、、依次对应的字为:科、爱、我、理,
∴其结果呈现的密码信息可能是我爱理科.
故选:C
14、已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面五个单项式①,②,③,④,⑤-1; 其中,正确的个数共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特点逐个进行判断,即可得出答案.
【详解】∵4x2+1+4x=(2x+1)2,4x2+1-4x2=12,4x2+1+4x4=(2x2+1)2,4x2+1-1=4x2=(2x)2,
而和-2x相加不能得出一个式子的平方,
∴正确个数是4,
故选D.
二、填空题
15、与的公因式是______.
【答案】
【分析】本题主要考查公因式的定义,掌握找公因式的正确方法是解题的关键.找公因式的方法:一是找系数的最大公约数,二是找相同字母的最低指数次幂.
根据公因式的定义,找出系数的最大公约数6,相同字母的最低指数次幂,然后即可确定公因式.
【详解】解:系数的最大公约数是6,
相同字母的最低指数次幂是,
∴与的公因式是;
故答案为:.
16、若x2﹣Kx+121是完全平方式,则K=____;
【答案】±22
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特点即可求解.
【详解】∵x2±22x+121= (x±11)2是一个完全平方式
∴﹣K =±22,
解得K=±22
故填:±22.
17、已知,则________.
【答案】2
【分析】本题考查了因式分解和整式的化简求值,解题的关键是掌握完全平方式的变形求值.
先把元二元二次方程化简,得到利用非负数性质求出x,y,即可求出x+y的值.
【详解】解:
整理得:
∴
∴,
∴,
∴;
故答案为:2.
18、已知三角形的三边a、b、c满足,则三角形是________三角形.
【答案】等腰
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的应用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
已知等式变形分解因式后,利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到,即可确定出三角形形状.
【详解】解:∵,、
∴,
∴
即,
∵,
,即,则三角形为等腰三角形.
故答案为:等腰.
三、解答题
19、因式分解:
(1) (2); (3)(x+y)2-16(x-y)2
(4)-2x2y+12xy-18y (5)x4-1 (6)
(7)已知,,求的值.
【答案】(1)(2);(3)(5x-3y)(5y-3x)(4)-2y(x-3)2(5)(x2+1)(x+1)(x-1)(6)(m-2)2(7)-12
【解析】
【分析】(1)利用提取公因式法即可因式分解;
(2)利用提取公因式法即可因式分解;
(3)利用平方差公式即可因式分解;
(4)先利用提取公因式法,再利用完全平方公式即可因式分解
(5)利用平方差公式即可因式分解;
(6)先化简,再利用完全平方公式因式分解;
(7)先把代数式因式分解,再代入即可求解;
【详解】(1)=
(2)==;
(3)(x+y)2-16(x-y)2 =[(x+y)+4(x-y)][ (x+y)-4(x-y)]=(5x-3y)(5y-3x)
(4)-2x2y+12xy-18y =-2y(x2-6x+9)= -2y(x-3)2
(5)x4-1 =(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1)
(6)=m2-4m+3+1= m2-4m+4= (m-2)2
(7)∵,,
∴==-3×(2)2=-12
20、因式分解:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
(10)
【答案】(1);(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);(8);
(9);(10).
【解析】
【分析】本题考查了因式分解,一提,二套,三检查,分解要彻底.
(1)(2)直接提公因式分解,可得答案;
(3)根据平方差公式分解,可得答案;
(4)根据十字相乘法分解可得答案;
(5)先提公因式,再利用完全平方公式继续分解,可得答案;
(6)根据整式的乘法、合并同类项整理,再利用完全平方公式分解,可得答案;
(7)先提公因式,再根据平方差公式继续分解,可得答案;
(8)先提公因式,再根据十字相乘法分解可得答案;
(9)先利用平方差公式分解,再提公因式,可得答案;
(10)根据整式的乘法、合并同类项整理,再根据完全平方公式分解,可得答案.
【详解】(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10).
21、因式分解:
(1) (2)
【答案】(1);(2) .
【解析】
【分析】本题考查了因式分解,因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”,注意分解要彻底.
(1)先提公因式,再利用平方差分解因式即可;
(2)先利用平方差公式因式分解,再根据完全平方公式分解即可.
【详解】解:(1);
(2).
22、将下列多项式进行因式分解:
(1); (2).
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】此题考查了因式分解,涉及了平方差公式和完全平方公式,解题的关键是掌握因式分解的方法.
(1)提取公因式然后利用完全平方公式进行因式分解即可;
(2)提取公因式然后利用平方差公式进行因式分解即可.
【详解】解:(1)原式;
(2)原式.
23、先因式分解再求值:已知 , 求的值.
解:==;
把 ,代入,则
原式=;
24、把下列各式因式分解:
(1); (2)
(3); (4)
【答案】(1);(2);(3);(4).
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
(1)原式利用提取公因式法因式分解即可;
(2)先利用平方差公式,再利用完全平方公式分解即可;
(3)先用整式乘法计算,然后利用平方差公式分解即可;
(4)原式提取公因式,再利用完全平方公式和平方差公式分解即可.
详解】解:(1)原式==;
(2)原式==;
(3)原式===;
(4)原式==;
25、因式分解:
(1)a2﹣1+b2﹣2ab; (2)(p4+q4)2﹣(2p2q2)2.
【答案】(1)(a﹣b+1)(a﹣b﹣1);(2)(p2+q2)2(p+q)2(p﹣q)2.
【分析】本题考查利用完全平方公式和平方差公式分解因式,两道题都需要先对多项式整理,然后再利用公式.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,反之也成立.
(1)先利用完全平方公式分解,再利用平方差公式分解因式即可得答案;
(2)先利用完全平方公式及积的乘方法则展开、合并,再利用平方差公式分解因式即可得答案.
【详解】(1)a2﹣1+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab-1=(a-b)2-1=(a﹣b+1)(a﹣b﹣1).
(2)(p4+q4)2﹣(2p2q2)2=(p4)2+2p4q4+(q4)2-4p4q4=(p4)2-2p4q4+(q4)2=(p4-q4)2
=[(p2+q2)(p2-q2)]2=(p2+q2)2[(p+q)(p﹣q)]2=(p2+q2)2(p+q)2(p﹣q)2.
26、分解因式:
(1)-2a3b+6a2b-8ab. (2)(x+y)(x﹣y)+y(y﹣x)
(3)(3a+2b)2﹣(2a+3b)2. (4)(n2+2n+2)(n2+2n)+1.
【答案】(1)-2ab(a2-3a+4);(2)x(x-y);(3)5(a+b)(a-b);(4)(n+1)4
【分析】本题考查因式分解,提公因式法与公式法综合运用,还用了幂的乘方运算,掌握提公因式法与公式法综合运用,还用了幂的乘方运算是解题关键.
(1)直接提公因式-2ab即可因式分解;
(2)先调整互为相反数因式符号,再提公因式(x-y),然后合并同类项,按因式分解书写顺序即可;
(3)利用平方差公式因式分解,然后合并同类项,再提公因式即可;
(4)先展开(n2+2n)2+2(n2+2n)+1,再用完全平方公式因式分解(n2+2n+1)2,最后将括号内因式分解,利用幂的乘方计算即可.
【详解】解:(1)-2a3b+6a2b-8ab,=-2ab(a2-3a+4);
(2)(x+y)(x﹣y)+y(y﹣x),=(x+y)(x-y)-y(x-y),=(x-y)(x+y-y),=x(x-y);
(3)(3a+2b)2﹣(2a+3b)2,=[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)-(2a+3b)],
=(5a+5b)(a-b),=5(a+b)(a-b);
(4)(n2+2n+2)(n2+2n)+1,=(n2+2n)2+2(n2+2n)+1,
=(n2+2n+1)2,=[(n+1)2]2,=(n+1)4.
27、把下列各式因式分解
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1);(2);(3);(4)
【分析】
(1)提取公因式-2即可解答;(2)先提取(2a-b),再利用平方差公式即可解答;(3)先进行整式乘法,合并同类项,再利用完全平方公式分解因式即可解答;(4)先利用平方差公式,再利用完全平方公式分解因式即可解答.
【详解】(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
28、因式分解:
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1);(2);(3);(4)
【分析】此题考查了因式分解,涉及了平方差公式和完全平方公式,解题的关键是掌握因式分解的方法以及平方差公式和完全平方公式.
(1)先提取公因式,然后利用完全平方公式进行求解;
(2)提取公因式,即可求解;
(3)利用平方差公式进行求解,再利用十字相乘法进行求解;
(4)将式子进行展开在通过完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】解:(1)
(2)
(3)
(4)
29、证明能被15整除.
【分析】本题考查了因式分解的应用能力,观察原式提取公因数去分解因数是解决本题的关键.
先把原式化为的形式,然后提取公因式,进行化简,再判断结果是不是15的倍数即可.
【详解】解:=====;
∵是15的倍数,∴能被15整除.
30、阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
【答案】(1)提公因式,两次;(2)2004次,(x+1);(3) (x+1)
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.
(1)根据已知材料直接回答即可;
(2)利用已知材料进而提取公因式(1+x),进而得出答案;
(3)利用已知材料提取公因式进而得出答案.
【详解】(1)上述分解因式的方法是:提公因式法,共应用了2次.
故答案为提公因式法,2次;
(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+ x(x+1)2003]
=
=(1+x)2005,
故分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,
则需应用上述方法2004次,结果是:(x+1)2005.
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2…+x(x+1)n(n为正整数)的结果是:(x+1)n+1.
故答案为(x+1)n+1.
31、下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学因式分解的结果是否彻底 _________ .(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 _________ .
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
【答案】(1)不彻底,;(2).
分析】本题考查的是因式分解,在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用,以及灵活运用换元法可以使计算更加简便.
(1)根据因式分解的步骤进行解答即可;
(2)设,再根据完全平方公式把原式进行分解即可.
【详解】解:(1)∵,
∴;
∴该同学因式分解的结果不彻底,最后结果应是:;
故答案为:不彻底;;
(2)设,则
原式===,
∴原式=;
32、阅读下面的材料并完成填空:因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a﹒b=q,a+b=p,则有x2+px+q=(x+a)(x+b).
如分解因式x2+5x+6.
解:因为2×3=6,2+3=5,
所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).
再如分解因式x2﹣5x﹣6.
解:因为﹣6×1=﹣6,﹣6+1=﹣5,
所以x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?试试看.
因式分解:
(1)x2+7x+12; (2)x2﹣7x+12; (3)x2+4x﹣12; (4)x2﹣x﹣12.
【答案】(1)(x+3)(x+4) (2)(x﹣3)(x﹣4)
(3)(x+6)(x﹣2) (4)(x﹣4)(x+3)
【分析】本题考查十字相乘法分解因式,是x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解的应用,应识记:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
发现规律:二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,则x2+px+q=(x+a)(x+b).
解:(1)x2+7x+12=(x+3)(x+4);
(2)x2﹣7x+12=(x﹣3)(x﹣4);
(3)x2+4x﹣12=(x+6)(x﹣2);
(4)x2﹣x﹣12=(x﹣4)(x+3).
33、学习了乘法公式后,老师向同学们提出了如下问题:
①将多项式x2+4x+3因式分解; ②求多项式x2+4x+3的最小值.
请你运用上述的方法解决下列问题:
(1)将多项式x2+8x-20因式分解;
(2)求多项式x2+8x-20的最小值.
【答案】(1)x2+8x-20=(x+10)(x-2);(2)最小值为-36.
【解析】
【分析】本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性,加上一次项系数一半的平方,可以构成完全平方公式,同时要减去加上一次项系数一半的平方,使整式的值不变.
(1)x2+8x加上16就可以用完全平方分解,然后再用平方差公式.
(2)利用(a±b)2≥0,就可以解决
【详解】(1)x2+8x-20=x2+8x+16-36=(x+4)2-36=(x+4+6)(x+4-6)=(x+10)(x-2)
(2)由题意得:x2+8x-20= x2+8x+16-36=(x+4)2-36
∵(x+4)2≥0,
∴(x+4)2-36≥-36,
∴当x=-4时,x2+8x-20的值最小,最小值为-36.
34、某校“数学社团”活动中,小亮对多项式进行因式分解,
m2-mn+2m-2n =(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n) =(m-n)(m+2).
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”,请你在小亮解法的启发下,解决下面问题:
(1)因式分解a3-3a2-9a+27;
(2)因式分解x2+4y2-4xy-16;
(3)已知a,b,c是ABC的三边,且满足,判断ABC的形状并说明理由.
【答案】(1)(a+3)(a-3)2;(2)(x-2y-4)(x-2y+4) ;(3)等腰三角形,见解析
【分析】本题主要考查了因式分解,三角形三边的关系,等腰三角形的判定,解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法.
(1)先根据题意得到a2(a-3)-9(a-3),然后利用提公因式法和平方差公式分解因式即可;
(2)先利用完全平方公式得到 (x-2y)2-42,再利用平方差公式分解因式即可;
(3)由即可得到则,再由三角形三边的关系即可得到a-c=0,从而得到答案.
详解】解:(1)a3-3a2-9a+27 =a2(a-3)-9(a-3)=(a2-9)(a-3) =(a-3)(a+3)(a-3) =(a+3)(a-3)2;
(2)x2+4y2-4xy-16 =(x2-4xy+4y2)-16 =(x-2y)2-42=(x-2y-4)(x-2y+4);
(3)△ABC是等腰三角形,理由如下:
∵,∴,
∴,∴,
∵a,b,c是△ABC的三边,∴a-c-b<0.
∴a-c=0,∴a=c,∴△ABC是等腰三角形.
35、如图1,在一个边长为的正方形中,剪去一个边长为的小正方形,再将余下的部分拼成如图2所示的长方形.
【观察】(1)比较两图中阴影部分的面积,可以得到等式:________________(用字母,表示);
【应用】(2)计算:;
【拓展】(3)已知,,求的值.
【答案】(1)(或);(2);(3)24
【解析】
【分析】(1)分别求出两个图形的阴影部分面积即可;
(2)根据(1)中结论计算即可;
(3)反用(1)中结论计算即可.
【详解】【观察】(或)
【应用】
【拓展】
36、如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n(以上长度单位:cm)
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ;
(2)若每块小长方形的周长是20cm且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2,求这张长方形纸板的面积是多少平方厘米?
【答案】(1);(2)221
分析】本题考查了因式分解,能通过两种方法表示纸板面积是解题的关键.
(1)根据两种方法计算纸板面积即可;
(2)由,得,所以,由,解得,,因此,,即可求出纸板的面积.
【详解】解:(1)由图形可知,,
故答案为:;
(2),,
①,
②,
联立①、②,解得,,
,,
纸板的面积(平方厘米).
答:纸板的面积为221平方厘米.
(
1
)