2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《9-4矩形、菱形、正方形》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．
2．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．求证：四边形ABOE是菱形．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．
5．如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、DF、EF．
求证：△DEF为等边三角形．
6．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在探究过程中，老师发现班上的学生有两种不同辅助线添法，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
甲同学：以B为圆心，以BA长为半径作弧，交BC延长线于D，连接AD．
乙同学：以B为圆心，以BC长为半径作弧，交BA于D，连接CD．
请你选择上述一种做法进行证明．（要求写出已知，求证，证明过程）
7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝DF．
（2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
9．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．
（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　 　°时，四边形BFDE是菱形．
11．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．
12．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝4，求AC的长．
13．已知：在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．
14．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE．求证：△ABE≌△DCE．
15．已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．
17．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
18．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．
（1）求证：四边形DFBE是矩形；
（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．
19．如图，在 ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
20．（1）如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，AD＝CD，求AD的长．
（2）边长分别为a和b的两个正方形按图2的样式摆放，如果阴影部分的面积为20，a+b＝10，求ab的值．
21．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；（2）求证：CE⊥BG；（3）求：∠AME的度数．
22．已知：在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
25．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
参考答案
1．解：∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵BC＝12，
∴EF＝6，
取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，过点E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC边上的高，AD＝6，
∴OQ＝EG＝×6＝3，
∴点Q即为所求的使∠EQF＝90°的点，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE＝OQ＝3，
∴四边形OEQG是正方形，
∴GQ＝OQ＝3，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG＝AD＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴BG＝EG＝×3＝，
∴BQ＝BG+GQ＝3+．
2．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，周长为24，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，∠BAO＝∠BAD＝×60°＝30°，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）由（1）得：BD＝6，AB＝6，OB＝3，∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×6＝18．
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形．
4．解：∵∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，
∵CD是AB边的中线，
∴AD＝CD＝BD＝AB，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∵CE是BD边的中线，DE＝2，
∴BD＝2DE＝4，
∴AB＝8，
∴BC＝AB＝4，
∴AC＝＝4，
故AC的长为4．
5．证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AEC＝∠BEC＝∠AFB＝∠BFC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABF＝∠ACE＝30°，
∴∠FBC+∠ECB＝180°﹣∠A﹣∠ABF﹣∠ACE＝60°，
∵点D是BC的中点，
∴DE＝CD＝BC，DF＝BD＝BC，
∴∠DEC＝∠DCE，∠DBF＝∠DFB，DE＝DF，
∵∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2∠DCE，
∠CDF＝∠DBF+∠DFB＝2∠DBF，
∴∠BDE+∠CDF＝2∠DBF+2∠DCE＝2×60°＝120°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
6．解：甲同学：如图1，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
求证：BC＝AB，
证明：以B为圆心，以BA长为半径作弧，交BC延长线于D，连接AD，
则AB＝BD，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB，
∴BC＝CD＝BD＝AB；
乙同学：如图2，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
求证：BC＝AB，
证明：以B为圆心，以BC长为半径作弧，交BA于D，连接CD，
则BD＝BC，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BD＝BC，∠BDC＝∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD＝BD＝BC＝AB．
7．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE．
8．（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠BAD＝110°，
∴∠B＝70°
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝110°﹣20°﹣20°＝70°．
9．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°，
在△ADE和△DBF中，
，
∴△ADE≌△DBF（SAS）；
（2）如图②，延长GB到点H，使BH＝DG，连接CH、BD，
由（1）知△ADE≌△DBF，△CBD是等边三角形，
∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°，
∴∠DBF+∠CBH＝180°﹣∠CBD＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴BC＝CD，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，
∴∠ADE+∠CDG＝120°，
∴∠CBH＝∠CDG，
在△CBH和△CDG中，
，
∴△CBH≌△CDG（SAS），
∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG，
∵∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°，
∴∠BCH+∠BCG＝60°，
即∠GCH＝60°，
∴△CGH是等边三角形，
∴GH＝CG，
∵GH＝BG+BH＝BG+DG，
∴BG+DG＝CG．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当∠ABE＝12°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1＝32°，∠ADB＝22°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠ADB＝10°，
∵∠ABE＝12°，
∴∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝22°，
∴∠DBE＝∠ADB＝22°，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为：12．
11．证明：∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DF＝ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC的中点，
∴BE＝CE，
∴四边形BFCE是菱形．
12．（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝4，
∵AD＝2BC＝8，
∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，∵AD＝8，
∴CD＝4，AC＝4．
13．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF，
由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴DE＝DF＝BE，
∴AD＝DE，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∵DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，
同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，
即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．
14．证明：∵AE＝DE．
∴∠EAD＝∠EDA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠CDA，
∴∠EAD+∠BAD＝∠EDA+∠CDA，
∴∠EAB＝∠EDC，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
15．（1）证明：∵b＝2a，点M是AD的中点，
∴AB＝AM＝MD＝DC＝a，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴∠BMC＝90°．
16．（1）证明：在四边形ABCD中，∠B＝∠C，
∵GF＝GC，
∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，
∴AB∥GF，
即AE∥GF，
∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，
理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，
∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°．
∴∠EFG＝90°．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴四边形AEFG是矩形．
17．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴DE＝BF，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BF＝BC＝5，
∴DE＝BF＝5，
∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．
19．（1）证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM＝DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：AD与AB之间的数量关系：AD＝2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM＝CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AMB＝∠MBC＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD＝2AM
∴AD＝2AB．
20．解：（1）设AD＝CD＝x，则BD＝8﹣x，
∵∠B＝90°，BD＝8﹣x，BC＝6，CD＝x，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝，
即AD的长为；
（2）由图可得，
b2﹣a（b﹣a）＝20，
化简，得：a2﹣ab+b2＝40①，
∵a+b＝10，
∴（a+b）2＝100，
∴a2+2ab+b2＝100②，
②﹣①，得
3ab＝60，
解得ab＝20．
21．（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）证明：设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，
∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分线，
∴∠AMC＝45°，
∴∠AME＝135°．
22．（1）证明：∵CB＝CA，
∴∠A＝∠B，
∵∠ACM＝∠A+∠B，
∴∠A＝ACM，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACF＝ACM，
∴∠A＝∠ACF，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF；
（2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°，四边形ADCF是正方形，
证明：连接CD，AF，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACF＝ACM＝45°，
∴∠DAC＝∠ACF，
∴AD∥CF，
由（1）知AD＝CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∴矩形ADCF是正方形．
23．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
24．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．
25．解：四边形EFGH是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝DG＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°．
∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．